LIVRE II

quotient 17 à H2% on aura les limites encore plus approchées /=6, l'=\.

PROPOSITION XV

Trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres entiers A, B, C, D.

Supposons qu’on ait A<B<C<D. Le plus grand commun diviseur de A, B, C, D ne peut excéder le plus petit A des nombres proposés ; or A se divise lui-même, donc s’il divisait aussi B, C, D, il serait le plus grand commun diviseur demandé : on est ainsi conduit à diviser B, C, D par A; supposons qu'en effectuant ces divisions, on obtienne des restes B', C', D' ; le plus grand commun diviseur de A , B , C, I) est le même que celui des nombres A, B', C', IV : en effet, tout divisem" commun à A, B", C, ü, divisant le diviseur A et les dividendes B, G , I), divise les restes B', C', D' (ar. liv.l,pr. 19) et, par conséquent, est un diviseur commun à A , B', C', D' ; réciproquement , tout diviseur commun à A, B', G', 1)', divisant le diviseur A et les restes B', G', D', divise les dividendes B, G, D (ar. liv.l, pr. 19) et, par conséquent, est un diviseur commun à A, B,G, D; donc les nombres proposés A, B, G, 1) ont les mêmes diviseurs communs que les nombres A, B', G', D'; donc ils ont le même plus grand commun diviseur. En supposant qu’on ait B'<G'<iy , on divisera A , G' , D’ par B' , ce qui conduira à des restes A', G", D" tels que le plus grand commun diviseur de A, B', G', D' sera le même que celui des nombres A', B', G", D", et ainsi de suite ; d’où I on conclut cette règle générale : pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres entiers, on divise les nombres proposés, excepté le plus petit, par ce plus petit nombre; le nombre qu'on vient d'employer comme diviseur et tous les restes , excepté le plus petit, par ce plus petit reste; et ainsi de

COMPLÉMENT d’aBJTHMÉTIQDE.

suite, jusqu'à ce qu’on trouve un reste qui divise exactement tous les autres, ainsi que le diviseur correspondant ; ce reste est le plus grand commun diviseur demandé.

En appliquant cette règle aux nombres 432, 162, 36, 30, on trouve le môme plus grand commun diviseur 6 que par la méthode ordinaire (ar. liv. 2, pr. 13).

PROPOSITION XVI

Trouver la plus grande commune mesure de deux quantités, A et B, commensurables entre elles.

En supposant Â>B, la plus grande commune mesure demandée ne peut excéder B ; donc si B était contenue exactement dans A, elle serait la plus grande commune mesure demandée ; on est ainsi conduit h chercher combien de fois B est contenue dans A ; supposons qu'elle y soit contenue 2 fois avec un reste R < B ; la plus grande commune mcsui'e de A et B sera la môme que celle de B et R ; en effet , on a A=Bx2-(-R et R=A— Bx2; d’où il résulte que toute commune mesure de A et B est contenue exactement dans R, et que toute commune mesure de B et R est contenue exactement dans A ; donc les quantités A et B ont les mômes communes mesures que les quantités B et R et , par conséquent, la môme plus grande commune mesure ; ce qui conduit, comme précédemment, à chercher combien de fois R est contenue dans B ; en supposant qu’elle y soit contenue 3 fois avec un reste R'< R , on prouvera , comme précédemment, que la plus grande commune mesure de B et R est la même que celle de R et R', et ainsi de suite; d’où l’on conclut cette règle générale : pour trouver la plus grande commune mesure de deux quantités commensurables entre elles, on cherche combien de fois la plus petite est contenue dans la plus grande, combien de fois le reste est contenu dans la plus petite, combien de fois le second reste est contenu dans le premier, et ainsi de suite jusqu'à ce qu’on trouve un reste qui soit contenu exactement dans le reste