LIVRE II

précédent; ce reste est la plus grande commune mesure demandée.

Corollaire 1. Pour en déduire le rapport de A à B, supposons qu’on ait A=Bx2+R, B=Rx3+R', R=R'x5.

On en conclut B = R'x5 x 3 + R' = 16R', A = 16R' x 2 + 5R''=37R''; donc A: B::37: 16; de plus, ces deux nombres 37 et 16 sont premiers entre eux ; car, la plus grande commune mesure des quantités 37R' et 16R' étant R', le plus grand commun diviseur des nombres 37 et 16 est l’unité.

Corollaire 2. Pour trouver la plus grande commune mesure de plusieurs quantités A, B, C, D commensurables entre elles, on cherche la plus grande commune mesure des deux premières , la plus grande commune mesure de cette plus grande commune mesure et delà troisième quantité, et ainsi de suite; la dernière plus grande commune mesure obtenue est celle des quantités proposées. La démonstration est analogue à celle qu’on a donnée pour le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres entiers (ar. liv.2, pr. 13). On pourrait aussi procéder d’une autre manière, en cherchant combien de fois la plus petite des quantités proposées est contenue dans chacune des autres, etc. (pr. 15).

Ca>rollaire3. La plus grande commune mesure de plusieui-s nombres n’étant autre chose que leur plus grand commun diviseur, on peut appliquer la règle précédente à la recherche du plus grand commun diviseur de plusieurs fractions En divisant d’abord par on trouve

le quotient 1 +^; donc ^ est contenu 1 fois dans ^ avec un reste divisant ^ par ||, on trouve

le quotient 8+^; donc est contenu 8 fois dans^ avec un reste. ffxi=^<|i; divisant ff par ^ ou 36 par 12, on trouve le quotient entier 3 ; donc est le plus grand commun diviseur de ^ et en opérant de la même manière, on trouvera le plus grand commun diviseur de et donc est le plus grand commun diviseur des fractions proposées.

COMPLÉMENT d’aHITHMÉTIQUE.

PROPOSITION XVII

Tout commun multiple M de deux quantités, A et B, commensurables entre elles, est un multiple du produit DA'B' qui a pour fadeurs leur plus grande commune mesure D et les rapports A', B' de ces quantités à leur plus grande commune mesure; et réciproquement, tout multiple de ce produit est un commun multiple des deux quantités proposées.

1“ On a A=DA', B=DB'. Mais, M étant un multiple de A ou de DA', le rapport (M: D) est divisible par A'; on prouverait de' môme que ce rapport est divisible par B' ; or A' et B' sont premiers entre eux, donc le rapport (M : D) est divisible par A'B' ou , autrement , M est un multiple du produit DA'B'.

2° Tout multiple du produit DA'B' est aussi un multiple de DA' et de DB'; or DA' = A et DB'=B, donc tout multiple de DA'B' est un commun multiple de A et B.

Corollaire 1. On en conclut, comme pour le plus petit commun multiple de deux nombres entiers (ar.liv. 2, pr. 21, cor. 1) que le plus petit commun multiple de deux guaritités commensurables entre elles est égal au produit qui a pour facteurs la plus grande commune mesure de ces quantités et leurs rapports à cette plus grande commune mesure.

Corollaire 2. La règle pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs quantités A, B, C, D commcnsurables entre elles, est la môme que dans le cas particulier où ces quantités sont des nombres entiers (ar.liv.2,pr.23), et elle se démontre de la môme manière. En l’appliquant aux fractions on trouve , comme par la méthode

indiquée précédemment (ar.liv.3, pr.21),que leur plus petit commun multiple est