LIVRE H

P et qui n’est pas un résidu quadratique de p, est un rétiâu non qtiadratic/ue de ce nombre premier.

Remarque. Les nombres première 1 et 2 n’ont aucun résidu non quadratique.

PROPOSITION XXXIII

Tout 7 'ésidu quadratique d'un nombre premier p peut être considéré comme le reste de la division par p, du carré d'un nombre inférieur à p.

Car, en supposant a>p et a = pq+r, q et r étant le quotient et le reste de la division de a par p, oij a (ar.liv.4, pr.CetS)

+ 2pgr + r* ;

donc la différence des carrés a* et r* est égale à un multiple de p; donc les restes de leur division par p sont égaur entre eux (ar.liv. l,pr.21,cor.l).

PROPOSITION XXXIV

Tout nombre premier p>2 a y(P“0 f^sidus quadratiques et -^p—1) résidus non quadratiques.

!<- Chacun des nombres 1,2, 3...(p— 1) étant premier avec p, leurs carrés divisés par p donnent pour restes des résidus quadratiques de p (déf. 1). De plus, les restes provenant de la division des carrés a* et />* de deux nombres a et 6, compris entre o et sont inégaux; car si o“

et divisés par p donnaient un même reste , leur différence a’— é* serait un multiple de p, ce qui est impossible (pr.30), puisque le plus grand des nombres a et 6, étant au plus égal à {{p— 1), la somme a + b et la différence

COMPLÉUENT O’aRITHMÉTIQDE.

a— b sont moindres que p— 1 ; donc le nombre p a au moins i(p— 1) résidus quadratiques, qui sont les restes de la division par P des carrés des nombres 1, 2, 3...{(p— !)• •

2° Considérons, dans la suite des nombres

en progression arithmétique , deux termes quelconques a et a' également distants des extrêmes; la somme o + a' de ces nombres étant égale à la somme p des extrêmes t et p— 1 (liv. 5, pr.31), la différence a^—a'^ de leurs carrés est divisible par p (pr.30) ; donc les restes , qu’on obtient en divisant et a'^ par p, sont égaux entre eux ; donc le nombre premier p n’a que ^(p— 1) résidus quadratiques (pr. 33); donc il a ï(p— 1) résidus non quadratiques (déf. 2).

Prenant pour exemple le nombre premier 11 et divisant par 11 les carrés des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, on obtient les restes 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 ; donc 1, 4, 9, 5, 3 sont les 5 résidus quadratiques de 11 et, par suite, 2, 6, 7, 8, 10 sont ses résidus non quadratiques.

Re.uarque. En posant p— 1=2», on a |(p— 1) =»; donc tout nombre premier p , plus grand que 2 , a n résidus quadratiques a„ a„ Oj... et n résidus non quadratiques 6,, b„ by.. b^.

PROPOSITION XXXV

Lorsqu’on multiplie les n résidus quadratiques d’un nombre premier p, par un résidu quadratique a de ce nombre, et qu’on divise chacun des produits aà<, aaj, aaj... aa„ par p, on obtient des restes qui sont les n résidus quadratiques de p.

Considérons l’un quelconque de ces produits, aa, par exemple. Les nombres a et a„ étant des résidus quadratiques de p, sont les restes de la division par p des carrés

LIVKK 11.

et de deux nombres » et compris entre o et p (pr. 33) ; donc est un multiple de p, augmenté de a , et P un multiple de P , augmenté de a, ; donc ou ( 3 ^?)^ est égal à un multiple de p, augmenté du produit aa, ; donc le reste de la division de aa, par p est égal au reste de la division du carré de op par p, c'est-à-dire à un résidu quadratique de p (déf.l), puisque p, ne divisant ni a ni P, ne divise pas le produit aP. Il en résulte qu’en divisant par p chacun des produits a.7„ o»,, aa,... aa«, on obtient n restes qui sont des résidus quadratiques dep; de plus, ces n restes sont différents; car si deux produits m, et donnaient des restes égaux , leur différence «x(«, — «,) serait un multiple de p, ce qui est impossible, puisque a et (a,— aj sont moindres que p; donc les n restes, ainsi obtenus, sont les n résidus quadratiques de p.

PKOPOSITIOPi xxxvi.

Lorsqu’on multiplie les n résidus quadratiques d’un nombre premier p , par un résidu non quadratique b de ce nombre , et qu’on divise chacun des produits ba,, ba^, bas... ba* par p, on obtient des restes qui sont les n résidus non quadratiques île p.

En effet, chacun des facteurs de ces produits étant moindre que p, un reste quelconque est différent de zéro, et, par suite, égal à un résidu quadratique ou non quadratique de p; mais, si un produit ba^ divisé par p donnait un résidu quadratique de p, un des produits a, a,, aja„ a,a,... ano,, a, a, par exemple, divisé par p, donnerait le même reste (pr. 35); et, par suite, la différence a 3 X(ô — 0 ,) serait un multiple de p, ce qui est impossible , puisque a, et b— a, sont moindres que p ; donc les n restes ainsi obtenus sont des résidus non quadratiques dep; on prouverait d'ailleurs comme précédemment (pr. 35) que ces n restes sont diffé-

tl6 COMPLÉMENT D’ARITHMÉTIQUE.

rents ; donc ils représentent tous les résidus non quadratiques de p.

Remarque. On démontre de la même manière , en s’appuyant sur ce principe ou sur le précédent (pr. 35), que :

1° Lorsqu’on multiplie les n résidus non quadratiques d'un nombre premier p, par un résidu non quadratique b de ce nombre, et qu'on divise chacun des produits bb„ bb,, bb,... bbn par p, on obtient des restes qui sont les n résidus quadratiques de p.

2* Lorsqu’on multiplie les n résidus non quadratiques d’un nombre premier p, par un résidu quadratique a de ce nombre, et qu’on divise chacun des produits ab,, ab„ ab,... abii par p, on obtient des restes qui sont les n résidus non quadratiques de p.

PROBLÈMES A RÉSOUDRE