LIVRE II

parmi ces facteurs un nombre a' différent de a et tel que le produit aa' est égal à un multiple de p augmenté d’une unité. En faisant abstraction des facteure a et a', on voit qu’il existera de môme, pour tout autre facteur b, compris entre 1 et p—i, un facteur b' différent de a (pr.25) et de b et tel que le produit bb' sera un multiple de p , augmenté d’une unité, et ainsi de suite ; donc

2x3x4...x(p— 2)=«î + l, m étant un multiple de p; donc

1 x2x3...x(p— l)=(p— l)x(fft + l)=px(w + l)— »j— 1 et Ix2x3...x(p— 1) + 1 = px(»/H-l)— »n;

donc 1x2x3.. .x(p—l) + l est égal à un multiple de p et, par conséquent, divisible parp.

Ce principe est connu sous le nom de Théorème de Wilson.

Remarque. Réciproquement, un nombre entier p est premier, lorsqu il divise 1 x2x3...x(p— 1) + 1. Car tout diviseur d de p, moindre que p, étant égal à l’un des facteurs du produit 1 x2x3... x (p—1), divise ce produit; de plus, d, étant diviseur de p, divise aussi le nombre 1x2x3... X(p— 1) + 1 qu’on suppose égal à un multiple de p; donc d=\ (ar.liv.2, pr. 10, rem.l); donc le nombre p n’est divisible que par lui-mème et par l’unité ; donc il est premier.

PROPOSITION XXXII

a^, a^, a^... a^ étant les entiers premiers avec un nombre b et inférieurs à b, la différence (a^a^a^...a^)’ — 1 est divisible par h.

En supprimant dans le produit », 0,03... successivement chacun des facteurs, on obtient n produits «,0,0,. ., a ^. . ., a, «3 a,., .fln-i qui sont premiers avec b (ar. liv. 2 , pr. 19), et qui divisés par b donnent des restes premiers

62 cnMPLÉUENT n’AniTHUiTIQDE.

avecii (ar.liv.l,pr.l9). De plus, ces n restes sont différents: car si deux dividendes a, o, a,. a^a,a^.,.a^ donnaient des restes égaux, leur différence a,o,a,...a^ (a,— a,) serait divisible par b; or b est premier avec a,n,a^..,a^, donc il diviserait a,— O,, ce qui est impossible, puisque a, et a, sont inférieurs à b. Donc les n restes ainsi obtenus sont tous les entiers premiers avec b et inférieurs à 6; de sorte que chaque dividende est égal à un multiple de b , augmenté de l’un des restes a,,a„ a,... a^; donc le produit(a, a,a 3 ...aj"“* de tous ces dividendes est égal à un multiple de b, augmenté du produit a, a, a^... a^ ou, autrement, on a l’égalité

7/1 étant un multiple de b. On en déduit

(«, «, C'a- «„)"=»»«, a.- • • a„ + («. O. a." • aj* î

or ma,a^ay..a^ est un multiple de b, donc le reste de la division de (a, a^... aj* par b est égal au reste 1 de la division de {a,a,aj... aj" par b (pr.28,rem.) ou, autrement, la différence (a,ajaj...aJ“— 1 est divisible parft.

RÉSIDUS QUADRATIQUES.

DÉFINITIONS

1 . Le reste qu’on obtient en divisant, par un nombre premier p, le carré d’un nombre non divisible par p, est un résidu quadratique de p. Ainsi 9 est un résidu quadratique de 11, parce qu’en divisant le carré de 8 par 11 , on obtient le reste 9.

Remarque. Le nombre premier 1 n’a point de résidu quadratique, et l’unité est le seul résidu quadratique du nombre premier 2.