ARRANGEMENTS ET COMBINAISONS

DÉFINITIONS

1 . Les permutations de n lettres sont les résultats qu’on obtient en écrivant ces « lettres les unes à la suite des autres, de toutes les manières possibles. Ainsi les permutations des 3 lettres a, b, c sont abc, acb, cab, bac, bca, cba.

2. arrangements de m lettres n à n sont les résultats qu’on obtient en écrivant n quelconques de ces m lettres les unes à la suite des autres, et en les disposant de toutes les manières possibles. Ainsi, les arrangements des 3 lettres a, b,c2h2 sont ab, ba, ae, ca, bc, cb.

Reharqde. Les permutations de n lettres peuvent être considérées comme les arrangements de ces n lettres n à n (déf.l).

3. Les combinaisons ou produits différents de m lettres n à n sont les résultats qu’on obtient en écrivant « quelconques de ces m lettres les unes à la suite des autres, de manière que deux produits quelconques diffèrent entre eux au moins par une lettre. Ainsi, les combinaisons des 3 lettres a, 6, c 2 à 2 sont ab, ac, bc.

Reh.aeque. Le nombre des combinaisons de m lettres n à n est égal au nombre des combinaisons de ces m lettres m — nhm—n. Car à chaque combinaison de w lettres correspond évidemment une combinaison de jw — n lettres, et

70 COMPLÉMENT d’aRITIIMÉTIQDE.

réciproquement. Ainsi, par exemple, aux 10 combinaisons ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de

des 5 lettres a, b, c, d,e,2h 2, correspondent les 10 combinaisons

cde, bde, bce, bed, ade, ace, acd, abe, abd, abc de ces mêmes lettres, 3 à 3.

PROPOSITION I

Trouver toutes les permutations de n lettres et le nombre P„ de ces permutations.

La lettre a ne produisant qu’une seule permutation, on a P, = 1 : pour en déduire toutes les permutations de 2 lettres a et b, on écrit b successivement à la droite et à la gauche de a, ce qui donne ab, ba; donc P, = lx2. En écrivant la troisième lettre c successivement au troisième rang, au second et au premier dans les permutations ab, ba, on obtient 3 permutations de 3 lettres pour chaque permutation de 2 lettres, ce qui donne en tout 2x3 permutations de 3 lettres. On a, d’ailleurs, formé de cette manière toutes les permutations de 3 lettres ; car, étant donnée arbitrairement une permutation cba de 3 lettres, si l’on y supprime la lettre e, on obtiendra la permutation ba de 2 lettres dans laquelle on vient de faire occuper à la lettre c toutes les places possibles et , par conséquent , la première place ; donc la permutation cba est comprise dans les 2x3 permutations pbtenues précédemment; donc

Pa=lx2x3.

En introduisant la quatrième lettre d dans chaque permutation de 3 lettres successivement à la quatrième, à la troisième, à la seconde et à la première place, on obtiendra

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