LIVRE III

de même toutes les permutations de 4 lettres; donc le nombre P*=lx2x3x4, et ainsi de suite; de sorte qu’on a généralement

P« = l x2x 3...xn;

donc le nombre des permutations de n lettres est égal au produit qui a pour facteurs les n premiers nombres entiers.

PROPOSITION II

Trouver tous les arrangements dé m lettres n à n et le nombre Am,n de ces arrangements.

Les arrangements de m lettres 1 à 1 sont évidemment au nombre de m : pour en déduire les arrangements de m lettres 2 à 2, on écrit à la droite de chaque lettre successivement chacune des »n — 1 autres lettres, ce qui donne lieu é wi(»i — 1) arrangements de 2 lettres; on a, d’ailleurs, formé de cette manière tous les arrangements de 2 lettres; car, étant donné arbitrairement un arrangement be de 2 lettres, si l’on supprime à sa droite la lettre e, on obtiendra la lettre 6 à la droite de laquelle on vient d’écrire successivement chacune des m — i autres lettres et, par conséquent, la lettre e; donc l’arrangement 6e est compris dans les ?n {m — i) arrangements obtenus précédemment; donc Am,i = rn{m — i). En écrivant à la droite de chaque arrangement de 2 lettres successivement chacune des »m-2 autres lettres, on obtiendra de môme tous les arrangements de 3 lettres, dont le nombre = 1) (»i— 2), et

ainsi de suite ; de sorte qu’on a généralement

donc le nombre des arrangements de m lettres n à n est égal au produit qui a pour facteurs n nombres entiers consécutifs dont le plus grand est égal à m.

Corollaire. En supposant m=n dans la valeur de Âin,ii, on trouve comme précédemment (pr. 1 ]

P«=lx2x3...xn.

proposition III.

Trouver touS les arrangements de m lettres nà n, et le nojnbre de ces arrangements, en supposant que chaque lettre puisse entrer plusieurs fois dans le même arrangement.

Les arrangements de m lettres 1 à 1 sont évidemment au nombre de m; pour en déduire les arrangements de m lettres 2 à 2 , on écrit à la droite de chaque lettre successivement chacune des m lettres, ce qui donne lieu à mxm ou m® arrangements de 2 lettres, qui comprennent les arrangements aa, bb, ce... dans lesquels une même lettre entre deux fois : on a , d’ailleurs , formé de cette manière tous les arrangements de 2 lettres; car, étant donné arbitrairement un arrangement 6 e de 2 lettres, si l’on supprime à sa droite la lettre e, on obtiendra la lettre 6 à la droite de laquelle on vient d’écrire successivement chacune des w lettres et, par conséquent, la lettre e; donc l’arrangement be est compris dans les arrangements obtenus précédemment; donc Ara , 2 = >n*. En écrivant à la droite de chaque arrangement de 2 lettres successivement chacune des m lettres, on obtient de même tous les arrangements de 3 lettres, dont le nombre A »,, 3 = »i“Xffi ou vr', et ainsi de suite; de sorte qu’on a généralement A»,,» = »i".

PROPOSITION IV

Trouver toutes les combinaiso7is de m lettres n à n, et le nombre de ces combinaisons.