MULTIPLICATION

PROPOSITION III

Étant donnée une limite S des erreurs commises sur les facteurs d’un produit abc...kl, trouver îtne limite de l’erreur e commise sur le produit; et réciproquement.

Il y a plusieurs cas à considérer suivant qu’on modifle 1“ un seul facteur du produit ; 2“ tous les facteurs du produit en leur substituant des valeurs approchées par défaut; 3° tous les facteurs du pi'oduit en leur substituant des valeurs approchées par excès; tous les facteurs du produit en leur substituant des valeurs approchées les unes par défaut et les autres par excès ; 5° plusieurs des facteurs du produit.

1" L’égalité a{b±S)c...kl= abc...kl±Sac.,.kl montre que lorsqu'un facteur d’un produit augmente ou diminue d'un nombre S , le produit augmente ou diminue de ce nombre multiplié par le produit des autres facteurs ; d’où il résulte que Lorsqu'un facteur d'un produit augmente ou diminue d^n nombre moindre que B, le produit augmente ou diminue d’un nombre e moindre que ^ multiplié par le produit des autres facteurs.

récipkoquement, supposons qu’on demande avec quel degré d’approximation il sufiit de prendre un des facteurs d'un produit pour que l’erreur e commise sur le produit soit moindre qu’un nombre donné t. En désignant par $ la limite demandée et par p le produit des autres facteurs, l’erreur e sera moindre que ^p; donc en posant Sp—e. ou y» valeur de S répondra à l’énoncé; donc, pour que l’erreur commise sur un produit dont on modifie un seul facteur soit moindre qu’un nombre e, il suffit de

LIVKE VI.

prendre ce fadeur avec une erreur moindre que e divisé par le produit des autres facteurs.

2” Soient a', b', c', etc., les valeurs de a, b,c, etc., approchées par défaut à moins de S. En remplaçant a par a', on a diminué le fadeur a d’un nombre moindre que S, et le produit abc. ..kl d’un nombre moindre que ^bc...kl [V]', pareillement, en remplaçant b par b' dans le produit a'bc...kl, on a diminué ce produit d’un nombre moindre que Sa'c...kl et, à plus forte; raison, d’un nombre moindre Sac. ..kl; et ainsi de suite jusqu’à ce qu’en remplaçant l par l' dans le produit a'b'c'...k'l, on ait diminué ce produit d’un nombre moindre que Sab...k; donc, en définitive, on aura e<Ss»-i, Sn-i désignant la somme des produits »*— 1 à n— 1 des» facteurs a,b,e...k,l; donc l'erreur commise sur un produit de n facteurs, auxquels on subslitue des valeurs approchées par défaut, est moindre que la limite des erreurs commises sur les facteurs multipliée par la somme des produits n—i à n— 1 de ces mêmes facteurs.

RÉcipnoguEME.NT, $i l’on veut déterminer S de manière que l’erreur e soit moindre que e, on posera e ou

= et cette valeur de S sera la limite demandée ; donc,

pour que l’erreur commise sur un produit, dont on veut modifier les n facteurs, en leur substituant des valeurs approchées par défaut, soit moindre qu’un nombre donné e, il suffit que l’erreur commise sur chaque facteur soit moindre que e divisé parla somme des produits n— 1 à n— 1 de ces mêmes facteurs.

3° Lorsque les valeurs a', b', c', etc., sont toutes approchées par excès, on trouve, en raisonnant comme précédemment (2°), que l’erreur e commise sur le produit est moindre que ^sn-i, Sn-t désignant la somme des produits n— 1 à n—\ des nombres a',6',c',etc. ; donc terreur commise sur un produit de n facteurs, auxquels on substitue des valeurs approchées par excès, est moindre que la limite des erreurs commises sur les facteurs multipliée par la somme

t(>8 COMPLÉMB.NT D’AHITllMÉTigUE.

des produits n— 1 à n— 1 des n valeurs approchées par excès.

Réciproquement, pour déterminer ^ de manière que l’erreur e commise sur le produit soit moindre qu’un nombre donnée, on posera ou J=— î— .

Mais les nombres a', b', e', etc. , n’étant pas connus , on déterminera la valeur de S en les remplaçant par des valeui’s quelconques de a, è,e, etc., approchées par excès ; ensuite on effectuera le produit demandé en substituant aux facteurs a, 6,c,etc. , des valeurs qui non-seulement soient approchées par excès à moins de S, mais qui, de plus, n’excèdent pas les valeurs données précédemment à a',b',c', etc.

4" Lorsque les nombres a', etc., sont des valeurs de n,6,f,etc., approchées les unes par défaut et les autres par excès, l’erreur commise est moindie que si toutes les erreurs successives étaient produites dans le même sens (2* et 3“) ; donc on aura, à plus forte raison, e<Ss„i, s#-» désijiînant la somme des produits »— 1 à n — 1 des facteui’S 0 , 6, c, etc., dans lesquels chaque facteur b par exemple, modifié par voie d’augmentation, est remplacé par sa valeur b' approchée par excès ; donc l'erreur commise sur un produit de n facteurs, auxquels on substitue des valeurs approchées par défaut ou par excès, est moindre que la limite des erreurs commises sur les facteurs multipliée parla somme des produits n— t à n — 1 de ces mêmes fadeurs, en supposant que chaque fadeur modifié par voie d’augmentation soit remplacé pur sa valeur approchée par excès.

Réciproquement, si l’on veut déterminer S de manière que l’erreur e soit moindre que t, ou posera îs«t=e ou S = et cette valeur de S sera la limite demandée (3°,

•’ii-i

réc.).

ô* En désignant par p le produit des facteurs non modifiés, l’erreur commise sur le produit des n facteurs modifiés étant moindre que (2“, 3", 4°), l’erreur commise sur le produit de tous les facteurs sera moindre que Spsn^t , donc