DIVISION

PROPOSITION IV

Étant donnée une limite è des erreurs commises sur le dividende et le diviseur, trouver une limite de l'erreur e commise sur le quotient ; et réciproquement.

■ Il y a plusieurs cas à considérer, suivant qu’on modifie 1" le dividende seul; 2° le diviseur seul en le remplaçant par une valeur approchée par excès ; 3” le diviseur seul en le remplaçant par une valeur approchée par défaut; 4“ le dividende et le diviseur, en les remplaçant par des valeurs approchées, l’une par défaut et l’autre par excès; 5” le dividende et le diviseur, en les remplaçant par des valeurs approchées, l’une par excès et l’autre par défaut; 6° le dividende et le diviseur, en les remplaçant par des valeurs approchées par excès; 7° le dividende et le diviseur, en les remplaçant par des valeurs approchées par défaut.

i” La relation ±: montre que lorsqu’on aug-

mente ou qu!on diminue le dividende a d’une quantité , le quotient augmente ou diminue de cette même quantité divisée par le diviseur; donc l'erreur commise sur un quotient est moindre que la limite de l'erreur commise sur le dividende divisée par le diviseur.

oo

C<>M1*LÉME^T D’aKITHMÊTIQDE.

Réciproqüement , supposons qu’on demande avec quel degré d’approximation il suffit de prendre le dividende pour que l’erreur commise sur le quotient soit moindre qu’une quantité donnée g. En désignant par î la limite demandée, l’erreur commise sur sera moindre que

donc en posant -^ = £OuS = ex*, cette valeur de S répondra à l’énoncé; donc pour que l’erreur commise sur un quotient soit moindre qu'une quantité t , il suffit de prendre le dividende avec une erreur moindre que le produit de cette quantité par le diviseur.

2“ Soit b' la valeur de b approchée par excès à mojns de î. L’erreur y — commise sur le quotient S(>ra moindre que

a a aî ^ » v. ® .

T ~ ôTî “ b{b+ ) ^

donc l'erreur commise sur un quotient, en remplaçant le diviseur par une valeur approchée par excès, est moindre que la limite de l'erreur commise sur le diviseur multipliée par le quotient qu’on obtient en divisant le dividende par le carré du diviseur.

Réciproquement, pour déterminer i de manière que l’erreur commise sur le quotient soit moindre que e , on posera

«XTr=£ ou S=ex— ,

et cette valeur de S sera la limite demandée ; donc pour que l’erreur commise sur un quotient, en remplaçant le diviseur par une valeur approchée par excès, soit moindre qu'un nombre donné t , il suffit que l’erreur commise sur le diviseur soit moindre que t multiplié par le quotient qu’on obtient en divisant le carré du diviseur par le dividende.

3“ Soit b' la valeur de b approchée par défaut à moins de î. L’erreur y — y commise sur le quotient sera moindre que

LIVKE VI.

donc l'erreur commise sur un quotient, en remplaçant le diviseur par une valeur approchée par défaut, est moindre que la limite de l'erreur commise sur le diviseur multipliée par le quotient qu'on obtient en divisant le dividende par le produit qui a pour facteurs le diviseur et l'excès du diviseur »ur cette limite.

Réciproqdehe.nt, si l’on veut déterminer ^ de manière que l’erreur e soit moindre que e , on posera

-7- — Tv = s OU a^ = b^t — bSt, b[b — s)

d’où l’on déduit

S(a + be) = bh et * = — — ra + bt

4* Soient a' et b' les valeurs de a et b approchÔÆS l’une par défaut et l’autre par excès à moins de L’erreur commise sur le quotient sera moindre que

donc l'erreur commise sur un quotient, en remplaçant le dividende et le diviseur par des valeurs approchées l'une par défaut et l'autre par excès à moins de S, est moindre que S multiplié par le quotient qu’on obtient en divisant la somme du dividende et du diviseur par le carré du diviseur.

Réciproqüement, si l’on veut déterminer S do manière que l’erreur e commise sur le quotient soit moindre qu’un nombre donné : , on posera -

SX— 77- = e ou S=£X— — ,

et cette valeur de S sera la limite demandée; donc pimr que l’erreur commise sur un quotient, en remplaçant le dividende et le diviseur par des valeurs approchées l’une par défaut et l’autre par excès, soit moindre qu’un nombre

donné e, il xufflt que la limite des erreurs commises sur le diridende et le diviseur soit éqale à e multiplié par le quotient qu’on obtient en divisant le carré du dvnseur par la somme du dividende et du diviseur.

5” Soient a' et b' les valeurs de a et approchées l’une par excès et l’autre par défaut à moins de î. L’erreur Y — J commise sur le quotient sera moindre que

'b^~T~ ^b{b-sy

donc terreur commise sur un quotient, en remplaçant le dividende et le diviseur par des valeurs approchées tune par excès et l’autre par déjaut à moins d'un nombre donné J , est moindre que S multiplié par le quotient qu’on obtient en divisant la somme du dividende et du diviseur par le produit qui a pour facteurs le diviseur et l’excès du diviseur sur h.

Réciproquement, si l'on veut déterminer j de manière que l'erreur e soit moindre que e, on posera

d’où l’on déduit

OU

J {a + b) = b’‘e — bSt

J( O + è + éï) = 6*e et S =

a + b + be

6® Soient o' et b' les valeurs de a et è approchées par excès à moins de J. En remplaçant b par b' dans , on a diminué d’un nombre moindre que ^ (2®); mais en remplaçant O par a' dans , on a augmenté y d’un nombre moindre que y (1®) et, à plus forte raison, moindre que y; donc, en définitive, l’erreur commise sur le quotient y est moindre que le plus grand des nombres