LIVRE I

En désignant par a, b, c les valeurs absolues de A, B, C et supposant d'abord A positif, il s’agira de démontrer les égalités

* (I) a+6-rc = o+c+6

Cela étant, si l’on change , dans ces égalités, le signe de chaque terme, on aura trois nouvelles égalités (pr. 1 cor. et déf.7), relatives au cas où A serait négatif; de sorte qu’en définitive, il suffit de démontrer les égalités (0, (*), ( 3 ).

1” L’égalité C) existe en vertu de l’axiome 3 (ar. princ.).

2° En supposant d’abord c<o, on a (déf.lOetO)

a+6 + (— c) = (a+6)— c = (a— c) + 6 (ar.liv.l, déf.2, 3”)

et n + (— c) + 6 =(a— c) + 6,-

donc o+6 + {— c) = a +(— c)+ô.

En supposant c>a et posant c=a + c', on a (déf.9, rem.2") 0 + 6+ ( — c) =(<i +6) 4- [ — (a + c^)]=ù-(-( — c')

et o-l-(— c) + ô=a +[— (a+e')]-l- b=(—</)+b;

* donc (déf.9, rem.l“) a + ft + (— c)=a+(— c) + 6.

3° En supposant d’abord 6+c<o, on aura ô<a — c et v<a—b; donc (ar . liv. 1 , déf. 2, rem 2”)

et a+{—c) + {—b) = (a— c) + (— ô)= [o— c)— ô=a— (c + 6); donc a+(— 6) + (— c)=a+(— c)4-(— 6).

En supposant 6 + c>a , on distinguera les trois cas

6>aetc>a, 6<«etc<o, 6>o et c<o.

Dans le premier cas, on a (ar.liv. l,déf.2, rem.i”)

6 COMPLÉMENT D’AniTHMÉTIQUF.

a + (— 6)4-(— c) = — {b—a) + (—c) = — (* + c— o) et n + (— <r) + (— 6) =— («—«) + (— 6) = — (c + 6— a);

donc a + (— 6) +(—c) =« + (—<?) + (— 6).

Dans le second cas, on aura a = b+b' el a = c+c',f>' cl c' étant des nombres positifs ; donc

et a + (— c) + (— 6) = {c+c^ + (— c) + (— 6) =c' + (— 6) ;

mais a = b + b'=>c+(/- donc, en ajoutant — [6+c) de part et d’autre, on aura b' + {—c) = c' + [—b) ; donc

Dans le troisième cas, on a 6 = a+6' et a = c+c', 6' et c' étant des nombres positifs ; donc

et a+(— c) + {— i>) —[c + c') + (—c) + (—è)=c' +(—&);

mais 6 = a + = c + c' + è' ; donc si l’on ajoute — c' de part et d’autre, on aura — c' + è = et, par suite, c'+(—b) = -{b' + c) (pr.l);

donc a+(— i>) + (— c) = a+(— f) + (— 6).

CoROLLAiBE 1. Uu polt/tioine ne change pas de valeur, lorsqu’on interverlil C ordre de ses termes. La démonstration est analogue à celle de la proposition 3 [ar. liv. 1). Ainsi , on démontrera qu’un polynôme ne change pas de valeur, lorsqu’on intervertit l'ordre ; 1° des deux premiers termes ; 2" des deux derniers; 3° de deux termes consécutifs quelconques; 4° de plusieurs termes pris comme on voudra.

Corollaire 2. Pour ajouter un polynôme (a-l-b + c) à un nionome m, il suffit d’ajouter le premier terme du polynôme à ce monome , le second terme au résultat ainsi obtenu , et ainsi de suite, jusqu’à ce qu'on ait ajouté le dernier terme.