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exprimant des unités simples; on détermine l'unité 10~ immédiatement inférieure au quotient obtenu ; on écrit, dans un ordre inverse, les chiffres du multiplicateur sous te multiplicande de manière que le premier chiffre à droite du multiplicateur corresponde à un chiffre du multiplicande, tel que le produit des deux unités exprimées par ces chiffres soit égal à tO*"; on multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur à partir de la droite, en négligeant dans le multiplicande tous les chiffres écrits à la droite du chiffre employé comme multiplicateur, cl en disposant les produits partiels ainsi obtenus de manière que leurs premiers chiffres à droite soient situés dans la même ligne verticale ; la somme de tous ces produits considérés comme exprimant des unités égales à 10 est le produit demandé.

PROPOSITION XVIII

Étant donnés deux nombres entiers ou décimaux composés (T un grand nombre de chiffres, trouver d’une maniéré abrégée un ou plusieurs chiffres du quotient lie leur division, à partir de la gauche.

Fourrier a résolu ce problème d’une manière ingénieuse en donnant sans démonstration la règle suivante que nous reproduisons textuellement (1).

a On marquera dans le diviseur quelques-uns des pre- « miers chiffres seulement, par exemple les deux premiers, « ou les trois premiers, ou les quatre premiers ; nous appe- « Ions diviseur désigné celui qui est ainsi formé des chiffres a que l’on a marqués. Cela étant, on divisera le dividende « proposé par le diviseur désigné, en effectuant cette opé- « ration selon une règle qui ne diffère de la règle commune O qu’en un seul point. Voici en quoi cette différence contt siste : toutes les fois qu’on abaisse un chiffre du dividende tt à la suite du reste donné par une opération précédente,

(1) Ao>l;se des Équations déleriuiaées, Uv. 11.

UVHE VI.

« et que l’on forme ainsi un dividende partiel, il faut cor- « riger ce dernier dividende en en retranchant une certaine « quantité; ou obtient ainsi un dividende partiel corrigé, a Alors on cherche combien de fois ce dernier dividende « contient le diviseur désigné et l’on écrit au quotient le « chiffre qui exprime ce nombre de fois. On multiplie donc a le diviseur désigné par le chiffre écrit au quotient et l’on a retranche le produit du dividende partiel corrigé. On a abaisse à la suite du reste un nouveau chiffre du divi- « dende, et l’on continue l’opération suivant la même règle.

« Pour trouver la correction qui doit être faite à un di- « vidende partiel, c’est-à-dire la quantité qu’on en doit a retrancher, il faut comparer comme il suit tous les m « chiffres déjà écrits au quotient avec un pareil nombre m « de chiffres pris à la suite du diviseur désigné. On suppose a que les m chiffres du quotient sont écrits dans Yordre « inverse et placés respectivement au-dessous des m chiffres a pris à la suite du diviseur désigné. On multiplie chacun a de ces chiffres’par celui qui est placé au-dessous de lui, a et ajoutant les m produits, on connaît ce qui doit être « retranché du dividende partiel et on effectue la correction.

« Toutes les fois qu’en suivant cetté règle on doit abaisser « un chiffre du dividende à la suite d’un reste donné par « l’opération précédente, on examine si ce reste surpasse, « ou du moins égale la somme des chiffres déjà écrits au tt quotient, et que l’on ajoute ensemble comme s’ils expri- « niaient des unités. Lorsque cette condition a lieu, on est a assuré que le chiffre qui a été écrit précédemment au « quotient est exact.

a Si l’on n’a marqué pour former le diviseur désigné qu’un a chiffre ou deux, ou en général un trop petit nombre de chifa fres, il arrivera que la condition ci-dessus énoncée n’aura O pas lieu; c’est-à-dire que le reste d’une opération précé- « dente sera moindre que la somme des chiffres déjà écrits t< au quotient : alors le dernier de ces chiffres est encore « incertain, et l’on est averti qu’on n’u pas marqué un assez

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^!)2 COMPLÉJIENT d’aRITII.UÉTIQÜE.

« grand nombre de chiffres pour former le diviseur désigné. « Dans ce cas, on continuera d’abord d’appliquer la règle « précédente, en abaissant un chiffre du dividende et en « effectuant la correction prescrite. Si elle ne pouvait être « faite, on en conclurait que le chiffre écrit au quotient est a trop fort: il faudrait donc le diminuer d’une unité. Mais « si la correction peut être faite, on abaisse à la suite du « résultat de cette dernière soustraction un nouveau chiffre « du dividende, ce qui donnera un nouveau dividende par- « tiel. En même temps on marquera un chiffre de plus à la a suite du diviseur déjà désigné, ce qui donnera un nouveau « diviseur désigné. On procédera, selon la règle énoncée, à « la correction du nouveau dividende partiel, c’est-à-dire « que l’on comparera les m chiffres déjà écrits au quotient « à un pareil nombre m de chiffres pris à la suite du nou- « veau diviseur désigné. Ayant formé par cette correction tt le nouveau dividende partiel corrigé, on continuera l’ap- « plication de la présente règle en faisant usage du nouveau a diviseur désigné. On pourrait aussi revenir au premier « diviseur désigné : en général on peut, dans le cours de « l’opération, augmenter ou diminuer à volonté le nombre « des chiffres que l’on désigne au diviseur ; il suffit d’augu menter en même temps ou de diminuer le nombre des « corrections; ces détails se présentent d’eux-mêmes.

a Le procédé de la division ordonnée fait connaître avec O certitude les chiffres exacts du quotient, et l’on n’a em- <1 ployé de nouveaux chiffres du diviseur que lorsqu’il est « nécessaire de les introduire pour trouver de nouvelles « parties du quotient. Cette règle a l’avantage de prévenir « tous les calculs superflus, et surtout de pouvoir être pm- « longée autant qu’il est nécessaire jusqu’à ce que l’on ait « trouvé le nombre de chiffres exacts que l’on veut obtenir. « On doit en faire usage toutes les fois que le diviseur con- « tenant un grand nombre de chiffres, il s’agit de déter- « miner seulement quelques-uns des premiers chiffres du t( quotient. »