FONCTIONS ET VARIABLES

1, — Définition d'une fonction. — Lorsqu'une quantité y flépend d'une autre quantité x, à laquelle on peut donner différentes valeurs, y est dite fonction de x, et cette dernière s'appelle une variable.

Par exemple l'aire d'un cercle est fonction du rayon, et réciproquement le rayon est fonction de l'aire du cercle. En général, lorsqu'il y a une équation entre deux quantités X et y, l'une est fonction de l'autre ; par exemple, si l'on donne l'une des équations;

y = «a;^ -\-bx-\-c, (2)

ax'-\-bx-\~c ,r,.

y est fonction de x, et inversement.

2, — Une fonction est dite implicite ou explicite PoBCHON. — Compl, alg- et géom. 1

suivant qu'elle est liée à sa variable par une équation résolue ou non par rapport à la fonction. Ainsi y est fonction explicite de x dans les exemples (1), (2), (3), implicite dans l'exemple (4).

3. — Dans l'exemple (4), si l'on résout l'équation par rapport à y, on trouve les deux valeurs :

y = zh \/ J'^ — ^^■ Ainsi l'on peut dire que la fonction y définie par l'équation (4) a deux valeurs différentes, ou, en d'autres termes, que cette équation définit en réalité deux fonctions distinctes. Il en est souvent ainsi quand y est fonction implicite de x.

4. —Fonction continue. — Si, à toute valeur de x comprise entre deux limites données a et p, on peut donner un accroissement k assez petit pour que l'accroissement correspondant de la fonction y soit plus petit que toute quantité donnée, la fonction y est dite continue dans cet intervalle.

5. — Soit par exemple la fonction y définie par la relation (2). Donnons à ie un accroissement k, y prend un accroissement correspondant :

k=a(x-{-hy'^b(x-\-h)~\-c — (ax^ -|- ''^ + f^): ou, en développant :

k = h(Uw-\-b-\-li).

Soit M la plus grande des valeurs que prend le fact«ur ^ ax -\- b -{-h, abstraction faite du signe, quand h varie entre zéro et un nombre donné hi- Si l'on veut que k soit plus petit qu'une quantité donnée e, il suffit que l'on ait, cnvaleur absolue :

M < £, d'où h <-^,

ce qui démontre la continuité de la fonction. La démonstration serait absolument la même pour un

F0NCTIO?iS ET VARIABLES. 3

polynôme entier en x de degré quelconque. Nous pouvons donc formuler le théorème suivant.

Théorème, — Tout polynôme entier en Ti. est une fonction continue de cette mriable, pour toute valeur de x.

6. — Soit encore la fonction définie par l'équation (4) : __ ax^'\-bX'\-c ■' ^'a'x^-^b'x-j-c'

Je dis que si le dénominateur ne s'annule pour aucune

valeur de x comprise entre deux valeurs données a et p,

la fonction est continue dans cet intervalle.

En effet, en se servant de la même notation, on trouve :

___ a (a^-f ftf -{-&(a;-J-/i)-)-e aar^ + to+c

~ a'{x-\-hy-{-b'(x-\-h)~\-c' «'œ'+d'œ + c''

ou, en réduisant au même dénominateur ;

la- (a + ft|5 + b'{x-\-hj + C-] la'x' + fa; + Cl

Le numérateur s'annule pour h = 0, puisqu'il se compose alors de deux termes égaux et de signes contraires. Donc, d'après un théorème connuS il est divisible par k. Désignons par Q le quotient de la division par h du numérateur, par D le dénominateur :

&ixetx-^h sont compris entre a et p, le dénominateur D ne s'annule pas par hypothèse. Soit M la plus

grande valeur, abstraction faite du signe que prend n

quand xetx-\-h prennent toutes les valeurs qu'on voudra, entre les limites a et p ; si l'on veut que k soit plus petit qu'une quantité donnée e, il suffit, comme précédemment, que l'on ait ftM < r, ou h < jr;*