Problème

— Construire la projection d'une hélice sur un plan parallèle à fasce.

Prenons pour plan horizontal de projection celui de la section droite menée par l'origine. Il s'agit de faire la pro.jection de l'hélice sur un plan vertical, que nous supposerons parallèle au diamètre «6 passantpar l'origine a(Jlg. 72).

Soit XY l'intersection de ces deux plans.

Les génératrices passant par les points « et ii se projettent verticalement suivant les perpendiculaires a'a'i, b'b'i k XY, et les autres génératrices se projettent toutes

entre ces génératrices extrêmes. Partageons la circonférence fflfi en huit parties égales, par exemple, au moyen des points 1, 2, 3, . .8. Traçons les projections verticales des génératrices passant par les points de division. Portons sur a'a'i la longueur a'a'i égale au pas de l'hélice. Partageons cette longueur en huit parties égales, par les points 1,2. .,8: les longueurs a'i, a"i...a'S sont égales aux ordonnées des points qui se projettent horizontalement aux points 1,2^.8. Iln'y a donc qu'à mener par les points de division de a'a'i des parallèles à la ligne de terre, jusqu'à leur rencontre respectivement avec les lignes de rappel de même numéro d'ordre. Les points d'intersection appartiennent à la projection verticale cherchée. On les joint par un trait continu.

U7. -— Construction de la tangente. — Pour construire la tangente en un point (m, m'), on mène dans le plan horizontal par le point m la tangente au cercle ab, sur laquelle on prend la longueur me égaie à l'abscisse curviligne am; c'est la sous-tangente. On projette le point c en c' sur XY, et la droite c'm' est la tangente à la projection verticale de la courbe.

Remarque. — En appliquant cette construction aux points bi,a'i qui sont sur les génératrices extrêmes, on voit que les tangentes en ces points à la projection de l'hélice sont les projections mêmes de ces génératrices.

as. — Points d'inflexion de la courbe. — Soit (m, n') un point dont la projection horizontale n soit à l'extrémité du diamètre perpendiculaire à la ligne de terre. Considérons deux points quelconques {m, m'), {p,p'), tels que le point n soit le milieu de l'arc mp. Dans le plan vertical, le point n' est le centre du rectangle m'rp'q formé par des parallèles et des perpendiculaires à la ligne de terre partant de m' et dep', puisqu'il est à égale distance des côtés opposés. Donc les points m', p' sont symétriques par rapport à «' ; en d'autres termes, le point n' est un centre de la courbe tracée dans le plan vertical.

Faisons tourner la sécante ni'n'p' autour du point n', PoHGHON. — Compl. alg. et géom. 11

jusqu'à ce que le point m' se confonde avec le point n' ; le point p' se confondra en mCme temps avec n', en sorte que la tangente en n' doit être considérée comme ayant avec la courbe non pas deux points communs confondus en un seul, ainsi qu'une tangente ordinaire, mais trois points communs. Cette tangente laisse les deux arcs n'm', n'p' de part et d'autre d'elle-même, et le point n' est un point d'inflexion {Algèbre, n" 58),

Les mêmes remarques s'appliquent à tous les points (le la courbe, comme w'i, qui sont sur la projection verticale de l'axe. La courbe a une infinité de centres et de points d'inflexion.