CHAPITRE IV

HO. — Définition. — Une surface est dite développable quand on peut la développer sur un plan sans la plier ni la déchirer.

111. — Théorème, — La surface latérale d'un cj/Undre est développable.

En effet, soit la surface latérale d'un prisme droit quelconque ABCDEA'B'C'D'E' {iig. 68).

Menons par l'arête AA' un plan arbitraire. Faisons

FiG. m.

tourner la t'accABA'B' autour de AA' et appliquons-la sur ce plan, dans la position ABiA'B'i; puis faisons tourner la face BGB'C autour de BiB',, et appliquons-la sur ce plan dans la position BiGiB'id, et ainsi de suite. La surface latérale du prisme est ainsi développée suivant le rectangle AA^A'A'î.

Les périmètres des deux bases ont pour développements les droites AAa, A'â'e.

Or un cylindre est la limite vers laquelle tend un prisme lorsque toutes ses faces tendent vers zéro. Donc la surface latérale d'un cylindre droit quelconque est aussi développable suivant un rectangle. Les courbes dfi base ont pour développements les bases de ce reclangle.

112. — Définition. — L'hélice est la ligne engendrée par une droite tracée dans un plan lorsqu'on enroule ce plan sur la surface latérale d'un cylindre de révolution.

Ainsi soit un cylindre de révolution ABA'B' (fig. 69). Menons par l'a- • a' a' .x-

rêteAA'un plan b'jCHS^ quelconque, et dans ce plan par les points A, A' les perpendiculaires kx, k'x' à AA', Prenons sur Aa; les longueurs consé- Frc. ti9.

cutives AAi,

AiAa, AîAa égales à la circonférence de base rectifiée, formons les rectangles AAïA'A'i, AiAjà'iA'^, etc., et traçons la droite AA'a, Si nous enroulons le plan autour du cylindre en laissant AA' dans sa position, les portions de droite AAi, AiAa, AjAa viendront successivement s'appliquer sur les circonférences de base, et les droites AiA'i, AaA'î, AaA'î sur l'arête AA'. La droite AA'a engendrera une courbe ACDA' qui est l'hélice.

On appelle pas de l'hélice la portion AC d'une génératrice du cylindre comprise entre deux points consécutifs d'intersection de celte génératrice et de l'hélice.

On appelle spire de l'hélice l'arc compris entre ces deux mêmes points.

Le pas de l'hélice est une quantité constante, et toutes les spires sont égales.

Car, si l'on prend sur la surface du cylindre tout autre point que le point A, et qu'on répète les mêmes opérations en l'adoptant pour point de départ, on obtient une autre figure superposable à la première.

113. — Théorème. — L'hélice coupe toutes les génératrices du cylindre sous le même angle.

Considérons un prisme régulier ABCDEA'B'C'D'E' (fig. 70), et le développement ABiC,...AbA'B',...A'3 de sa

surface latérale sur un plan. Traçons dans ce développement la droite AA'^; elle coupe les droites BiB',, CiC'f... aux points bi,ei..., toutes sous le même angle. Cela posé, enroulons le plan AAaA'A'a sur la surface latérale du cylindre. Les droites BiB'i, dd... s'appliquent sur BB', ce..., et la ligne droite kbiCididk'i engendre la ligne brisée Kbcdek'. qui coupe toutes les génératrices sous le même angle, puisque les angles égaux AftjBi, ^iCjCi... se superposent à A6B, 6cG...

Si le nombre des faces du prisme augmente indéfiniment, la ligne brisée tracée sur sa surface a pour limite «ne hélice. Un de ses côtés, tel que de prolongé, a pour limite une tangente à l'hélice. Donc cette tangente fait un angle constant avec la génératrice.

■Hi.

-Définitions. — On appelle origine de rhélicuît

ie ses points A choisi arbitrairement (fig, 71); plan de base du cylindre le plan de la section droite menée par l'origine ; ordonnée d'tm DfC

rare d'héliee compris entre l'origine e point; sous-tangente la projection mT, stir le plan de base, d'une tangente Mï limitée au point de contact et au plan de base.

115. — Théorème. — 1° L'ordonnée d'un point de l'hélice est proportionnelle à l'abscisse curviligne du point; 2° la sous-tangente enun point est égale à l'abscisse curviligne du point.

i" Soit ABCD (fig. 71) le cylindre, AA'iBB' sa surface

latérale développée suivant un rectangle sur un plan

passant par AB, AB' la droite qui se transforme dans

î'hétice, M' un point de cette droite, m' sa projection

sur AA'. Lorsqu'on enroule le rectangle ABA'B' sur la

surface du cylindre, le point M' devient un point M de

l'hélice, la droite M'm' s'applique en Mm sur une

ordonnée de l'hélice, et le segment de droite km'

s'applique sur l'abscisse curviligne km du point M. Or

les triangles kWm', AB'A' étant semblables :

Wm' A'B'

Am' AA' '

Mw ^ AB

arc km ciïc CA'

quantité constante.

2° Soit la sous-tangente mT. Elle est évidemment tangente au cercle AC. Les triangles Mjji'f, Wm'A. sont égaux comme ayant un côté égal Um := M'm', adjacentàdes angles égaux, savoir les angles en m et î»' droits, les angles en M et M' égaux d'après le théorème précédent. Donc ■mT=^Am'=AiH.