SB
(bï)
!/ = iÎ3^-l±\/3^' + a; + l.
'=-\/SîlSl-
'-\/SîlSI.
ij = ±:y/3!'^hx' + i.
(fi9l
-133!'+ 36 Même question pour la foncliuu implii;!
éqiintioiis s m van le» :
(63) x' + -2'xy + i>f — 1^0.
186 KSERCIOES.
(84) 3i' + ixij + 5y' — ^x + 'iy — i^ = 0.
(68) x' + 6xii + 2y' + Gx + iy-\a = 0.
(67) x'-ixy + iif-lO = 0.
(68) î^x' + Wxy + f + Sx-^y-AO^O.
(69) Déterminer b et b' de lelle sorte que la Traslion
ix' + bx-j- a-t
3a;' + 6'ai — 8 puisse prendre tontes les valeurs possibles, sauf celles qui sont ci prises entre 1 et 2.
(70) Dans quel cas la fraeEion
ÏÏfe'a;— 1 ost-elle suacoptiblo d'ui valeurs de b et de b' ce let i?
(71) Trouver la relation qui doit exister entre h a u' niiw;im«m et le «iminiMni de la fraction
a;' + ^ a^fi
soient égaux et de signes contraires.
(72) Déterminer b et 6' de telle sorte ijue lu fraction
x' + ib'x ■h^
(73) Si l'on résout par rapport à œ l'i^quatiou aic' + tbœ + c
ce qui donne deux valeurs de forme
^- Yy + 5
où a, p, Y, 6, A, E, C sont dos fonctions de a, b, c, a\ b\ C, pm par les formules des coefficients A, B, G que si A est négatif, H' est nécessairement positif.
(74) Trouver le maximum et le minimum du la fonction suivn
X et s étant liés par la relation
a + s = a (quantité oonstanLe).
(75) Trouver le maximum et k y-i X et 3 étant liés par la relation
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE ANALïTIQTIE. 187
(76) Éludior la varialion du piji'imÈlro d'un reclangle inscrit à un demi-cercle donné, en faisant croîtra la haulenr à partir de îéro.
(77) Un triangle hocËle est inscrit à un cercle donné : étudier la variation de la somme de la base et do la hauteur, en faisant croître sa hauteur à parlir de séro.
(78} Un trapèie isocèle est inscrit à un demi-eorcio donné, l'une des bases étant le diamètre. Étudier la variation de son périmËtre.
(70) Étudier la \ariation de la somme des carrés des oftlés du trapèze précédent.
(80) Par un point pris sur la bissectrice d'un angle droit, on mène une droite terminée aux deux cOtés de l'angle. Étudier la variation de la longueur de cette droite lorsqu'elle toutue autour du point fixe.
(SI) Par un point pris dans un angle, on mène une sécante. Ëtudiei' la variation de l'aire du triangle qu'elle intercepte, lorsqu'elle tourne autour du point fixe.
(8S) Par un point pris dans un angle, on mène une sécante. Étudier la variation de la somme des segments compris, sur les côtés de l'angle, entre le sommet et la sécante, lorsqu'elle tourne autour du point fixe.
(83) Étudier la variation de l'aire d'un rectangle inscrit dans un triangle donné.
(84) Étudier la variation ■ 1° de li surface- *° du périmètre d'un trp BC Id Mtqldqt
mè 1 1 i I t
(86) Et t d 1 p t 1 êm 1 g p t
bl M Ei d
(86) El t d t gl d é d d la
t gl é d d [ t p
(87) Et l d é t pÈ p lié! b Et d 1
d seg t déi é
tt é t p
(88) Éta t d d P 1 Ig d l Et d 1 d 1 m
fé p È U g t d ta g t
(89) El 1 1 é d p d p IIÈI è p
Il le- P t P t t t J d
g 1 q d t 1 p mè Et d 1 t d 1 1
P P k t t gl MKL
(90) D fé p d t t 1
p ta gl d
se
(91) D i mè fl et
Il t i
Et d
(92) Étudier la varialion de l'hypoténuse du (riangle rectangle dont le périmèire est eoDstant.
(S3) étudier la varialion du périmètre d'un triangle rectangle dont la surface est constante.
(EU) Ëludier la variation du périmètre d'un triangle rectangle cir-
(95) On donne un triangle al un point sur sa base. On forme un triangle inscrit au premier, ayant pour sommet ce point et pour base une parallèle variable à la base du premier. Étudier la variation de la surface de ce second triangle.
(96) Étant donnée une drnite AB de longueur a, on la partage en deux portions par un point quelconque F. On forme, d'nn même côté de la droite, le carré AFDC, le triangle équilatéral FËB, et l'on mène lu droite DIS. Étudier la variation de l'aire du polygone ACDË6.
(97) Étudier la variation de la surface d'un triangle isocèle dont le périmètre reste constant.
(9S) Un trapèze isocèle a une base fixe et un périmètre fixe. Étudier la variation de sa surface lorsque l'autre base varie.
(99) Étudier la variation de la surface d'un triangle Isocèle circonscrit a un cercle donné.
(100) Étudier la variation de ta surface d'un triangio isocèle inscrit à un cercle,
(101) Par un point K donné dans un cercle, on mène deux cordes rectangulaires variables AB, CD, et Ton mène les droites BC, AD. Étudier la variation de la somme des aires des deux triangles EBG, KAD.
(102) Étant donnés une circonférence e( un point A extérieur à cette circonférence, on mène une corde variable BC perpendiculaire à 1 d *t OA r f m I t * 1 ABC Et d* I ' ti d 1' '
cS m g B D m
AB rapport de sa surface h celle du triangle ABC, en faisant crojtie AA a partir de zéro.
(106) D'un point fixe 0, comme centre, on décrit un cercle de rayon variable. Par un autre point ilxe A, on lui mène deux tangentes AM, AH, Étudier la varialion de la longueur do la corde des contacts MN.
(107) Klndier la varialion du volume d'un cylindre droit inscrit dans un cône de révolution.
ALOLBRF ET GÉIMÉTKIE ANALÏTIQDE 189-
(t08) El d 1 t d 1 f i 1 I d Eïlinrlre droit
inscrit it A d i^ 1 I
(109) El d 1 d 1 f t l d ejrlindre droit inscrit à a d é 1 t
(110) El d l d I d a d révoluUoo cir- CDitecri à yl dr 1 é
(111) Et t d é a d 1 d fi 1 ux nappes, on le coup p ï të d 1 1 1 bl p pandiculaires à Bon axe tédp tdtd mm t d t 1 distance est constanl El d 1 t d 1 pte
(112) El I d É d pi p Uâl t d 1 un cercle, oa prend et d pi t Ippdl commune qui passe parle centre du cercle, un paini quelconque; on forme le cane à deux nappes ayant pour aommel ce point el pour directrice le cercle. Etudier la variation du volume intercepté entre les de\ix plana,
(113) Étudier la variation de la surface totale d'un cûne droit circonscrit à une sphÈre.
(114) Étudier la variation de la sui-face latérale d'un cflne droit circonserit & un hémisphère.
(115) Étudier la variation du volume d'un cône de révolution inscrit à une sphère.
(116) Étudier la variation du volume d'un cylindre de révolution inscrit à une splière.
. (117) Dans une feuille de carton rectangulaire, on mène une parailÈle à chaque cûté ; on enlève lea carrés d'angle, et l'on relève k angle droit les reolangles marginaux de manière à former une boite sans couvercle, en forme de parallépipède reclangie. Étudier la variation du volume de celte boite, en faisant croître à partir de zéro le câtéde» carrés d'angle. Examiner le cas particulier où la feuille de carion don-
(Ils) On coupe une sphère par un pian variable AB, et l'on forme le cône SAB circonscrit à la sphère suivant le cercle de section. Étudier la variatien de la surface latérale de ce cSne à ta surface de la oalotle spliérjque incluse.
(119) On circonscrit à une splière rayon de l'une des bases croît ; étu( de ce tronc de cflne.
(120) Etant donné un cône de révolutiouj dont le rayon de base' est K et l'apDlhèmo a, on le coupe par un plan variable parallélo à ta base. Étudier la variation du produit de la surface latérale du Ironc de cône et de la surface latérale du petit cône obtenu.
(121) Élant donnés un demi-cercle de diamètre ABel la lang:eDleAX, par un pointvariable de la demi-circonférence on abaisse des perpendiculaires sur la tangente et sur le diamètre. Etudier ts variation de
190 lîXE
(122) On inscrit à une spiière ui dont l'une des bases rencantre e lui est perpendiculaire. Etudier 1:
(1231 On coupe une sphère p.ir SB • I '
ta
La ligne droite,
(126) Trouver les coordonnées des miiiouK des efités du. tiian^^le ajanl pour somniots les points (2, 4), (3, —5), ( — 3,-6).
(127) Les coordonnées des trois sommets d'un triangle sont iC*, y' ; a^'. y'' ; ">'''! s'"- Trouver les coordoDiiées du point, qui est au tioTS de l'une des médianes, à partir du câté opposé.
(128) Trouver les équalions des côtés d'un triangle ayant pour sommets les points (3,1), {4,-3), (-5,-1).
(129) Trouver l'équation de la droite joignant le point {x',y') au /x" + xf'' v" + v"'\
(130) Trouver les coordonnées des sommets dti U'iausie dunl les cfllés 01)1 poop équations :
a! + 2y = l, 2a; — 3if = 4, 3ai + 4y = 8.
(131) Trouver les équalions des diagonales du parallélogramme dont lc9 eûtes ont pour équations i
(132) On prend pour axes la base d'un triangle et la médiane correspondante. Trouver les équations des deux autres côtés, des deux entres médianes, et les coordonnées du point où l'une d'elles coupe la première.
(133). Construire ia droite représentée pai- l'équaiion
en calculant l'ordonnée à l'origine et l'abscisse à l'origine. (134) Marne gueslion ^:our la droite
ALGËBHE ET PÉOMÉTRIE ANALÏTldUE. 131
(135) Même (ftieslioi! pour la aroile
(136) Étant donnés trois points (x',y'), (a:", y"), (ic'", y'"), trouver le point tel que la somme des carrés de ses dislaneca à oea trois points soit la plus petite possible (coordonnées rectanguiairos),
(137) Même question pour des points en nombre quelconque (x', >/), (*",{)"), ...{a;', y").
(138) Trouver la distance de l'origine à la droite ln — 'iij + 5=0 (coord. lect.).
(139) Trouver la distance du point (2, 3) à la droiteSœ — 3i/ — 1 = (coord. rcct.)-
(140) Trouver l'équation de la droite raeuée par le point (a;'.!/') perpendiculairement à la droite aa; + fty + c = 0, les coordonnées du pied de la perpendiculaire, et en déduire la distance du point donuii à la droite (coord. reet.).
(141) Les axes faisant un angle quolconque 0, trouver les angles que fait avec les axes la droite ax-i- by=:0.
(142) Trouver les équations des iiauteurs du trianglo dont les Bommels sont (1,2), (2,3), (4, — 3) (coord. reet.}.
(143) Tïouver les équalions des liauteura du triangle dont les sommets sont (iE',tf'), (se", y")' ('"'"?!''")■ Prouver que ces liauteurs passent par un même point (coord. reet.).
(144) Trouver les équations des perpendiculaires élevées sur les milieux des câtés du mâme triangle. Prouver qu'elles sont concourantes.
(145) On donne la base ÂB, et la différence des carrés des deux autres cOtés d'un trianjtle, 04 — CB = ft' ; trouver le lieu du sommet G. (Oft powra prendre pour axes la base, et la perpendiculaire menée aii milieu de la base.)
(146) On donne la base AË d'un triangle et la somme des deux autres catéa CA + CB = m. On prend sur la hauteur HC prolongée, dans le sens HC, la longueur HM = AC. Trouver le lieu du point M. (Mêmes axes.)
(147) Uno droite mobile MN coupe deux droites fixes 0:i!,0|y en doux points M, N lela que OM + ON = conat. Trouver le lieu du point P qui
partage MN dans un rapport donné -g-'
(14S) Trouver le lieu des points tclsque la somme de leurs distances à plusieurs droites fixes est égale à une quantité donnée.
(149) Trou?er le lieu du point de rencontre des diagonales d'un rectangle inscrit dans un triangle donné. {On pourra prendre pour axes la base et la hauteur du triangle )
(150) Sur les deux côtés d un anglo r;0 1; on prend deux points quelconques M et H satisfaisant » la condition rrtr + -jr- = -r-(quanlité constante). Prouver que la droite MN passe pii un point fixe.
(151) Trouver l'aire d'un triangle ayant pour sommets l'origine et doux pointa donnés (a^, y'), (^', y") (coovd. reet.).
(152) TroHver l'aire d'un triangle ajaiit pour sommets trois points donnés {'c',y'), (a;", y"), {3f", y'"). En déduire la condition pour que trois points soient en ligne droite.
Le cercle,
(153) Trouver le eontre et le rayon de cercle représenté par i'équa-
(154) Trouver les coordonnées des points où le cercle précédent
(155) Trouver l'équation d'un cercle tangent à l'axe des a>, et coupant l'axe des y i des dislances de l'origine égales ù 5 et à 9.
(156) Trouver les points d'intersection du cercle œ' + y* = 8 et de la droite ia>-^3y = i.
(167) Trouver l'équation d'un ucrcle tangent à l'axe des x à l'origine et ayant pour rayon 5.
(158) (Juelie est la condition pour que la droite y = mx -j- 'i soit tangente au cercla x' + y' = r'i
(IBB) Par un point fixe A (a;', y'), on mène au cercle x' -\-y'' ~ r' une sécante fixe ABC, et une sécante variable AWN, Trouver le lieu du point de rencontre des droites BM, CN,
(160) Trouver le lieu du milieu des cordes menées à un cercle parallèlement i une droite donnée.
(161) Trouver le lieu des milieux des cordes menées à un cercle par un point fixe.
(162) Trouver le lieu des projections d'un point lixe sur les différentes droites passant par un autre point fixe.
(163) Une droite de langueur constante appuie ses extrémités sur deux droites i'«ctangula,ireE. Trouver le lieu géométrique de son mi-
(164) Ëtant donné un triangle Isocèle, ti'ouver le lieu des points tels que leur distance à la base soif moyenne proportionnelle entre leurs distances aux deux autres c6lés.
(16B) Par un point fixe pris dans un cercle, on mène deiix droites rectangulaires quelconques, Trouver la tien du milieu de la corde qui joint deux points où l'une et l'autre coupent le cercle.
(166) Trouver le lieu des points d'où l'on voit sous le même angle deux sogmenls d'une même droite. On supposera successivement les segments consécutifs, puis non cousécutifs.
