II. — GÉOMÉTRIE L ellipse

(167) Construire une ellip^ie connalsaint un to; courbe et les lougueuf a des axes

{168) Construire une ellipse eonnaissant un f< sou point de conla''l el un lutie joint de la coi lu

(169) Construire une ellipse tonnaisbant le centr la longueur du grand axe

(170) Constiuiie une cUip e, connaissam courbe, et sachint que le second foyer est

(171) Construire une ellipse, connaissant le centre, une tangente, son point de contact et la langueur du grand axe.

(172) Mener une normale à l'ellipse par un point pris sur le grand axe. Discussion.

(173) Construire une ellipse, fionnaiss nt un f j un nmet et une tangente.

(174) Construire une ellipse, connais ( t ni 1 longueur du grand axe, une tangente et son point de t t

(175) Lieu des somniels d'un angle d t n It à ne ellipse.

(176) Lieu des points équidistanis de d ux nfé n s intérieures

(177) Une ellipse a son centre en un point fine, elle passe par un point fixe, el la longueur de son grand axe est oonslante. Lieu de ses foyers.

(17S) Sur les deux tangentes MT, MT' menées d'un mâme point aune ellipse, on porte les deux longueurs MK, MK' égales aux deux rayons vecteurs du point M, Prouvez que la longueur KK' est égale au grand

(179) Construire une ellipse tangente.

, connaissant un foyer, i

(180) La différence des cai

■rés des distances du r;er

itre de roUipse à

une tangente quelconque et à

sa parallèle menée par i

m foyer est con-

(181) Lieu des foyers des ellipses qui ont pour centre un point donné, sont tangentes à une droite donnée et ont leurs grands axes égaux.

(182) On considère diflérents trapèzes ayant une base donnée en grandeur et en position, l'autre base de grondeur constante, et la somme des deux autres eStés constante. On demande le lieu: l'des sommets de ces trapèzes, 2° du point de rencontre des oSlés non parallèles, 3° du point de rencontre des diagonales.

(183) Dans un cercle, une droite de longueur égale au rayon se déplace de manière que l'une de ses extrémités glisse sur un diamètre lîxu, et l'aufro sur la circonférence. Lieu décrit par un poiul de la droite.

(184) Dans l'ellipae, si l'on désigne par if et ip' les angles que font avec le gvand axe les dou): rayons vecteurs d'un même point, le produit

'g g 'e -s est coasUnl.

(185) Lieu des centres des cercles inscrits aux triangles ayant pour sommets les foyers et un point quelconque âe l'ellipse.

(186) Le carré de In distance au centre d'un point quelconque de l'eilipEe, augmenté du produit des deux rayons vecteurs, est constant.

(187) Un cercle fixe est tangent à une droite donnée, en un- point donné. Une ellipse a pour foyers les deux extrémités d'un diamètre quelconque, et est tangente i. la droite. On demande le lieu des somnicls du petit axe.

(188) La perpendiculaire abaissée d'un fojer àe> l'ellipse sur une tangente, et le petit axe sont entre eux comme les racines carrées des rayons vecteurs du point de contiict de la tangente.

(189) Étant donnés deux points A, A' el deux droites D, D' parallèles à la droite AA', et équidislantes de cette droite :

1° Démontrer qu'à tout point P pris sur la droite D correspond un point P' pris sur la droite D', tel que la droite Pl>' soit tangente aux deux cercles circonscrits aux triangles PAA', P'AA',

3° Démontier que la droite PP' est tangente à une ellipse lixe,

3° Trouver le lieu décrit par la projection de cliacun des points A, A' sur la droite PP'.

(IflO) On mène ù l'ellipse par les extrémités du petit axe les tangentes BT, 6T, terminées à leurs points d'intersection avec une tangente quelconque. Le produit des longueurs BT, B'T' est constant.

(191) Par un point quelconque H d'une ellipse, on mène une tangente qui coupe deux diamètres conjugués quelconques aux points P, Q,. La moitié d'un troisième diamètre, parallèle à la tangente, est moyenne proportionnelle entre les de^x segments MP, U(t.

(192) Par un point M extérieur à l'ellipse, on mène deux tangentes, puis on mène la droite OM qui joint le centre au point M. Soit C et D les points où elle coupe la droite des conhcts cl l'ellipse : démontrer que OD est moyenne proportionnelle entre OC cl OH.

La parabole

(193) Construire une parabole, connaisiint U directrice et deux (an-

(194) Construire une parabole, connaissant la tangente au sommet et deux autres tangentes.

|105) Construire une parabole, connaissant le foyer, une tangeiiie et

(196) Construire une parabole connai-sant la directrice, une tangente et un point.

(197) Construire une parabole, cniinii'Jaint h directrice, une tangente et son point de contact,

{198) Construire une parabole, connaissant l'axe, une tangente ot son point de contact.

(199) Construire une parabole ilont on donne trois points et la direction de l'iixe.

(20Q) Lieu des points tels que [a somme ou la dilfiironce de leurs distance à p " t à il t li 1

d t ccd d t t d 1

mm t d p b 1 t mè

d fï

direclric t

d fï

direclric

d fj

tangente

d'nne pa t

tangente

coDféren

distance

problèm

Dé t qldtqjt P' ml delacorl d t tp allÈl 1 q U t pi^ i I

parabole en son milieu, et qu'en ce point la tangenle à la courbe esl parallèle à la corde des contaets.

(209) La perpendiculaire abaissée du foyer d'une parabole sur une tangente est niojenne proportionnelle entre le demi- paramètre et le rayon vecteur du point de contact.

(210) Étant donnée une tan^iente à une parabole, par un point quelconque de cette tangente on mène ta seconde tangente i la parabole et la droile joignant ce point au fojer. Démonirer que ces deux droites font un angle constant.

(211) Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer sur les tangentes à la parabole sont proportionnels aus rayons vecteurs des points de contact.

(212) Si par le foyer d'une parabole on mène une perpendiculaire à son axe et qu'on prenne à partir du foyer sur cette perpendiculaire deux longueurs égales, le Irapèse formé en abaissant de leurs extrémité! des perpendiculaires sur une tangente rariable a une aire constante.

(213) La dislance du foyer d'une parabole au sommet d'un angle ciroonaerit à la courbe esl moyenne proportionnelle entre les rayons vecteurs des points de conlact des câtés de l'angle.

(214) Étant donné un système de paraboles ayant même foyer, si par un point fixe on mfciie les doux tangentes à l'une quelconque de

TAliLE Dt:s MATIËIIF.S.