SUR LEIS PROPRIÉTÉS POLAIRES DE DEUX COURBES DU SECOND DEGRÉ

CONSIDÉRÉES DANS l'eSPACE {*).

1 . ÊUmt données deux courbes jplanes a et ol' du 2* degré » et servant de bases à deux cônes C et C" du second degré y ayant leurs sommets respectifs aux points c et c" ; étant de plus donné un cône C, ayant son sommet c à une distance finie ou infinie et passant par les deux sections coniques a et J^ ; si les trois points c , c^ c^\ sont sur tme même ligne droite D, Railleurs arbitraire de direction , les deux cônes C et C" se couperont toujours suivant une courbe formée de deux branches planes.

En effet, si par la droite D Ton fait passer un plan sécant quelconque , Ion obtiendra pour sections : dans le cône C, les deux génératrices G, et G*, dans le cône G', les deux génératrices G/ et G ; dans le cône C'^ , les deux génératrices G", et C. Les quatre droites G',, G', Q'\^ Qt'\ se couperont deux à deux en quatre points qui appartiendront à la courbe d'intersection des cônes C' et C/' ; la gé« nératrice G, rencontrera la courbe J en un point ol et la cpurbe a en un point a^^ ; G rencontrera la courbe al en un point d et la courbe a' en un point a'; sup*

(*) Extrait de la Gorrespondaace matbénptiqae et phjriqne des Pays-Bas , pabliée par M. Quetelet , roi. ni , n* 3 (18Î7),

posons que la droite G', passe par le point a^, el que la droite G", passe par le point a'\i que 6' passe par a\ et G'' par a"; que G\ soit coupé par G", en m, et par G" en m; que G' soit coupé par Gf\ ^n n et par 6'' en n,.

Si Ton construit la tangente à la courbe d'intersection au point m« ou n. , elle passera par la droite L istersectira despbns des courbes a et a'* . ISxk effet, cette tangente i pour le point m, , par exemple , sera Tintersection des deux plans tangents, l'un T' au cône G', suivant la génératrice G', et l'autre V au cône G", s«HVft&t la génératrice G'^.

Or , le plan T' passe par la tangente i menée à la courbe J au point a , ; le plan T' passe par la tangente f menée à la courbe </' au point a^\.

Mais ces deux tangenles ^ et t" sont cocvtenuei dans le plan tangent T au cône

G, suivant la génératrice G; elles se coupent donc au point où la droite L est

rencontrée par le plan T ; par conséquent la série des tangentes passe toujours

parla droite L.

Il est facile de voir quela tangente au point m ou n, ne passe pas pac la droite L.

Ainsi la courbe d'intersection est composée de deux branches distinctes, pour

l'une desquelles toutes les tangentes forment une surface développable , qui ne

peut être autre qu'un plan, puisque ces tangentess'appuient toutes sur la droite L.

Si donc le cône G est du 2' ordre, les cônes C et C seront du même ordre,

et leur intersection devant être du 4*, sera formée dès lors de deux courbes

planes du 2* degré*

On conclut de ce qui précède, que si l'on a un cône 2 du degré n et qu'on le coupe par deux plans P et I^ suivant les courbes a et a qui seront chacune du dogréti, si par le sommet m du cône 2 on mène une droite D arbitraire, et que l'on prenne sur cette droite deux points arbitraires ^^ ( sommet d'un cône t ayant la courbe a pour base ) et xi' ( sommet d'un cône 2^ ajant la courbe tt" pour base ), les deux cônes 2' et 2''.se couperont toujours suivant une courbe composée de deux branches, et l'une { de ces branches sera toujours plane, et son plan passera par la droite L intersection ^es deux plans P et P^, et il est évident que la courbe ^ sera du n' degré.

2. Par me courbe pkme adu V degré ei 3 pomU a\ a'', a'"', situés arbitrairement dans Cespace , et détertmumi un plan autre tfue celui de la courbe a , Con peut toujours faire passer deux surfaces couiques , et ton nCen peut faire passer que deux.

Je suppose que a' soit le sommet d'un cône C^ ayant la courbe a pour base; que a" soit le sommet d'un cône C'i a" celui d'un cône G'" : G' et G", ayant même base a , se couperont suivant une courbe du 2* degré |3'„ ; et G'" se coupera avec C', suivant 6',,, ; et avec G", suivant ^"„.^ les trois courbes j3'«, (3".», p'» , ne pourront évidemment se couper qu'en deux points m et n , qui seront les som-

mets des. deux oôoes oberabés, puisque la<soiulîon duj problème doit être donnée par les pcnots d'intersection; àsB eounbes ^» et|3''»., tout auasii bien que; par ceux des courbes ^'. et |3'o. ou des courber j3^.. et»^';», etc«

3. ÊUmi données^ sur taie surface du 2^ ordre ly deux o&urbm ptanes^a eta\ l'en pourra totgours envelùpper ces.deux courbes par deux surfaces coniques.

En effet» je prends sur a" trois points arbitraires- et, par la constructUm pré* cédente, j'obtiens les sommets de deux cônes G' et G'', ayant a- pour base et passant par les trois poims aii>itraires.

Ges.deux cônes G' et G'\ ayant môme base a , se coupent suivant une courbe plane j^f située dans le plan des trois points arl>itraires ; mais a" ne peut être autre que J\ puisque » lorsque deux surfaoes du 2* ordre se conpent suivant une courbe plane , il existe toujours une 2* oourbe plane qui complète Tintersectioo; donc, etc.

4. <Sî Con a deux courbes planes ( du 2' degré ) J et a'', Aidées sur un cône G , ayant pour sommet un peint o, il existe toujours^ un second cône S qui enveloppe à la fais ses deux courbes.

Si fon prend les sommets c et c' des deux oônes G' et G" (art. i. ), sur la droite c<, il est facile de se convaincre, par la construction géométrique des tangentes, que ce qui arrivait pour lesfpoints oit ou n, , se reproduira dans ce cas pour les points m ou n ; et que, par conséquent, les plans des deux courbes d'intersection des cônes G' et G'' passeront à la fois par la droite L.

L'on peut donc énoncer le tbéorème suivant : deux cônes qui ont deux plans tan-gents communs 9 se coupent tov^ours suxeant deux courbes planes; mais , deux cônes qui se coupent subant deux courbes planes ^ n'ont pas toujours deuxpbms tangents communs.

5. Par deux courbes du 2* degré ^ situées arbitrairement dans C espace ^ fon ne peut pas taugmirs faire paàserdeux surfaces coniques; mais cela est toujours possible ^ si ces deux -courbes se coupeni en dmx points ^ ou, en (S autres termes ^ ont une corde commune; et il n'existe qu'un cône , si les deux courbes ont un seul point commun et une même tangente en ce pçint.

En effet, considérons deux courbes J et a' du 2* degré, ayant deux points communs m et it. Je puis prendre sur a!\ par exemple, trois points arbitraires, et déterminer les deux cônes qui passent par la courbe J et ces trois points. Ces deux cônes se couperont suivant une courbe plane , située dans le plan de la courbe J\ et qui ne pourra évidemment être autre que celle passant par les trois points arbitraires et les deux points m et n, puisque cinq points détermi* nent une section conique.

Supposons maintenant que les deux courbes J et J^ ont un pdint commun m, et en ce point une tangente commune T.

^m ■■■« L| ■ I |l iiap

Si 9 sur la courbé oe'\ Ton prend trois points arbitraires pour sommets respectifs de trois cônes , ayant la courbe a pour base commune, et que Ton cherche les points qui sont communs à ces trois cônes , Ton voit de suite que le point m en sera un , puisque chacun de ces trois cônes aura une génératrice dans le plan de la courbe a^; par conséquent , le point m représente dans ce cas Ton des sommets des deux cônes qui doivent envelopper les courbes a el a!'. ' Il n'existera donc dans ce cas qu'un seul cône enveloppe , et la génératrice de ce cône, passant au pointm, jouera, avec la tangente T en ce point, le même rôle, soiîs le rapport des propriétés polaires, que la droite L et la ligne es (art. 1).

6. Longue trois courbes du second degré a^ a\ a"' ont^ deux à deux^ une corde commune , ettes ne peuvent pas toujours être enveloppées par une surface du second ordre.

En eflTet , l'on sait que si , par neuf points, Ton peut faire passer une surface du second ordre, l'on n'en peut faire passer qu'une, puisque l'on a autant d'équations de condition que d'inconnues. Je suppose donc cinq points arbitraires sur la courbe ol\ trois sur la courbe <x'^ et un sur la courbe /''; par ces neuf points ne passera pas toujours une surface du 2* degré, parce que cinq des neuf points étant assujettis à être sur un plan et sur une section conique; on a plus d'équations de condition que d'inconnues.

Il est aussi très*facile de démontrer que par deux courbes J et a" du ^ degré, situées sur un cône, passent une infinité de surfaces du 2* ordre. En effet, je prends cinq points sur J^ et trois sur ol'\ si je coupe ces detR courbes par un plan arbitraire, j'aurai quatre points qui détermineront une troisième courbe ( du V degré) qui variei'a de nature et de position dans ce plan avec le cinquième point que j'y choisirai.

L'on peut encore de ce qui précède, déduire le théorème suivant : C on peut toujours faire passer une surface du 2* ordre, par trois courbes du 2^ degré , envelappées deux à deux par troiê surfaces coniques ayant leurs trois sommets en ligne droite (*).

7. L'on sait que si, par chacun des points d'une droite P, tracée arbitrairement dans le plan d'une courbe du 2^ degré, l'on mène deux tangentes à cette courbe, toutes les cordes de contact se coupent en un point p. Le point p est nommé pôle , et la droite P est nommée polaire de la courbe.

Je nomme la droite L, intersection des plans des deux courbes planes a et 0c^ situées sur un cône du 2* degré, la polaire commune de ces deux courbes. La droite csj qui unit les sommets c et «, des deux cônes C etS qui envelop-

(*) Nous donnerons U dëmonstrfttion de ce théorème ci-après dans le numéro où nous nous occuperons des huit sections coniques tangentes à (rois sections planes d^ine surface du 2* ordre.

XJf""^

peni les courbes J et a , formera avec la droite L un système que je désigne par le nom de potahres réciproques.

La droite Ts perce les plans des courbes a et a" en deux points, t et T qui sont les pôles de ces courbes, la droite L étant la polaire commune. En effet, si par un point arbitraire pris sur la droite L, je mène deux tangentes à la courbe a et deux tangentes à la courbe a'"; et si je nomme p' et q' les points de contact sur la courbe a\ et p" et 9" les points de contact sur la courbe a!\ et / le point pris sur la droite L, il est évident que les points pS q\ p'\ q'\ formeront un quadrilatère, dont les côtés oppos^ p^p" et </Y' seront des génératrices du cône C, et dont les diagonales pV et p'qf seront des génératrices du cône S; puisque par la droite c/ Ton pourra menjer deux plans tangents au cône G, et que Ton pourra aussi par la droite si mener deux plans tangents au cône S. Les quatre points p^ p\ q\ q"i seront donc dans un plan passant par la droite csj qui unit les deux sommets c et « des cônes G et S.

Les côtés pV ^^ P V' du quadrilatère, qui sont les cordes de contact par rapport aux courbes <x' et a'', passeront donc toujours, le premier par le point H intersection de la droite es et du plan de la courbe J^ le second par le point (' intersection de la droite es et du plan de la courbe ol'j donc etc.

Maintenant, il est évident que si, par la droite L, l'on fait passer une série de plans coupants, Ton obtiendra pour sections dans le cône G ou S, une série de courbes planes |3, ^\ ^'\ etc., qui pourront être unies deux à deux par des cônes dont les sommets seront tous distribués sur la droite es.

L'on a vu plus haut que si les deux cônes G' et C!\ qui ont pour bases les courbes a' et ol' qui sont situées sur les deux cônes G et S (ayant pour sommets c et j) , avaient leurs sommets c et d' sur une droite D, passant par le point c ou le point «, ils se coupaient suivant deux courbes planes |3 et 7; et que le plan de Tune de ces courbes S, par exemple, passait toujours par la droite L intersection des plans des courbes J et J\ et que celui de Fautre courbe 7 ne passait par cette droite L que dans le cas où la droite D se confondait avec la droite es.

DoBC, en général, le plan de la seconde courbe 7 coupe le plan de la courbe a! suivant une droite L', et le plan de la courbe J^ suivant une droite L". Les trois droites L, L', L'' se couperont toujours en un point /, qui sera celui par lequel passe la droite, intersection des deux plansdescourbes|3et7 ; le point /et les droites L', L" variant d'ailleurs de position dans l'espace avec la position de la droite D.

Si, par le point /, Ton mène deux plans tangents aux cônes G' et G'^ les quatre génératrices droites de contact seront dans un plan R, passant par la droite D et par la droite cs\ alors, le point / sera : pôle commun, et le plan R sera : plan polaire co^nmun du sysicme composé des deux cônes G' et G".

Il est évident que si, sur la droite L, Ton prend un point a arbitraire; et que, par ce point, l'on mène deux Ungentes à la courbe J et à la oourbe ol", les deux cordes de contact étant prolongées se couperont en un point situé sur la droite L.

8. Si» maintenant, nous supposons que les deux courbes du 3' degré «'et a" sont situées sur un plan , au lieu d'être sur un c6ne, toutes les propriétés qui existaient dans Fespace vont apparaître, mais avec des modifications.

Nous devons d'abord supposer que les deux courbes sont situées sur le même plan, et l'une par rapport à l'autre, ainsi qu'elles le sont ordinairement dans l'espace, lorsqu'elles sont enveloppées par un cône; dès lors nous devons établir que ces deux courbes ne sont point intérieures l'une par rapport à l'autre, c'est-à^ dire , que l'on peut leur mener deux ou trois ou quatre tangentes communes ; ou bien qu'elles nese coupentqu'en deux points, ou ne se touchent qu'en un seul point, ou sont extérieures Tune à Tautreet n'ayant dans ce cas aucun point commun.

Supposons que l'on ait deux courbes a et a (du* 2* degré) et situées sur un plan ^ et telles que l'on puisse leur mener quatre tangentes communes , savoir :

T et T', tangentes intérieures, qui se coupent en un point c, de manière que T touche les courbes a et J^ aux points m et m", et que T' touche les mêmes courbes aux points n' et n^i

T, et T', , tangentes extérieures , qui se coupent en un point <, de manière que T, touche les courbes a! et a" aux pointa m\ et m'',, et que T', touche les mêmes courbes aux points n\ et n",.

Si l'on suppose que la courbe a est is^ base d' un cône C ; et a" la courbe d'un cône C" ; et de plus , que le point c^, sommet du cône G , et le point c'' sommet du cône C sont sur une droite passant par les points s ou c, ces deux cônes se couperont suivant deux courbes planes p, 7, puisqu'ils auront deux plans tangents communs^

De là résultent les propriétés suivantes :

l*" Si, par le point < ouc, l'on mène une sécante quelconque, l'on obtient quatre points p", q sur la courbe a\ et p", q" sur la courbe a', tels que les tangentes à la courbe J aux points p' et q\ sont coupées par les tai^(entes menées à la courbe «" aux points p" et q'\ en quatre points, qui, deux à deux , déterminent deux droites invariables qui jouent dans le 'plan des deux sections coniques a' et a", le rôle que jouaient dans l'espace les droites L, !/, L"; c'est-A-dire que ces deux droites invariables sont les traces des plans des courbes |3 et y , intersections (les cônes C et C\

2* La droite es coupera chacune des deux courbes a! et a" en deux points, et les quatre tangentes en ces points se croiseront en un seul point, qui sera l'analogue du point /de l'espace où se croisaient les trois droites L,L', V\ Ce point sera le pôl^cammun , et la droite c< sera la polaire eanimune des courbes a et a" : la droite

c« contiendra tes dewc pôles de la droite qui correspond à la droite L de l'e^ce , c'est-à-dire le pôle par rapport à la couti)e J, et celui par rapport à la courbe a".

3* Si, sur la droite qui corirespond à la droite L , Ton prend un point arbitraire, et qaè de ce point VoA tiaène âenu tangente^ à la courbera", et deux à la courbe a"; la corde de contact de a\ viendra couper celle de u' en un point situé sur celte même droite, analogue de L.

4* Enfin Ton pourra évidemment déduire toutes les propriétés des points de coieieeurs eonnw jusqu'à présent :

Ainsi^ksdroites m'n^ m'n^m'.n , ,m'',n'', se croisent au point analogue du point /.

Ainsi, q^andpar le point e ou 9, Ton mène une droite arbitraire x^ coupant la courbe a4iux points t\ y\ et la courbe a" aux points %'\ y'\ si, par le point ana* logue du point /, Ton mène des droites, passant par ces quatre points %\ y, &"', y\ elles couperont respectivement les courbes a' et «''en quatre points s^, y'r, s''., y"., qui seront 8«ir une ligne droite paasMt par le point c ou « (^).

Imaginons un cône du second dfgré 2 ayant pour sommet un point <, et cou^» pons ce cône par deux plans P et P' smvant deux courbes (sections coniques) G et G. Désignons par I la droite intersection des plans P et P'.

Nous savons que les deux courbes C et G' étant supposées n'avoir aucun point cemmÉn , seront enveloppées, par un second cône 2' dont nous désignerons le somlmet par s'.

Supposant que le sommet s est extérieur aux courbes G et G', le sommet ^ sera intérieur à des courbes ; en d'autres termes » les plans P et P' seront ^tués tous deux à droite ou à gaudie du sommet <, et Fun à droite et l'autre à gauche par rapport au sommet /.

Cela posé :

Menons par le sommet iméirieur s' une draite de direction arbitraire D; elle cou«« pera les platis P et P' en les points d et d\ et nous pourrons toujours supposer que cette droite D soit exiérieure au cône 2' et tellement placée dès lors dans Tes* [Nice, que l'on puisse faire passer par elle deux plans T et T' tangents au cône 2'. Le plan T coupera les pHmtâ P et P' suivant tes droites 9 et B' tangentes, Tune à la section conique C, et l'autre à la section conique G^ et ces deux droites 6 et 9' passeront , la première par le point d, et )a seconde par le point cf, et elles cou-^ peroM h' droite 1 en un même point t Le plan T' coupera de même les plans P et

C) Voyes le Cours de géométrie descriptive | chap. XII, p. 364.

P' suivant les droites fl' et 6\. 9' passera par le point d et 9', par le point <f , et ces deux droites couperont la droite I en un même point t'.

Mais ii est évident, en vertu de ce qui a été dit § I, que les points de contact I , £, , £', t\ des courbes C et C avec les tangentes 6,9., 9', 9', ne seront point deux à deux sur des droites passant par le point s, sommet du cône extérieur 2; car cela ne peut avoir lieu qu'autant que les points t et i' se confondent en un seul point ; en d'autres termes, qu'autant que la droite D s'appuiera sur la droite l.

Dès lors si l'on projetait q/lindriquemeni le système formé des courbes G et C, des plans tangents T et T^ du cône 1 et du cône 2^ sur un plan quelconque et par des droites parallèles à la droite D, il arriverait que les droites 9* et 9'\ 9\ et 9'^, ne seraient point en ligne droite , et que dès lors on aurait bien en chacune de ces droites , projetées , des tangentes aux courbes C* et G'^, mais non point les deux tangentes communes et intérieures de ces courbes.

Mais si , au contraire, on mène par le sommet «' une droite D s'appuyant sur la droite I^ les quatre points </, <f, t , t' se confondent en un seul; et lorsque Ton projettera tout le système sur un plan Q perpendiculaire ou oblique à la droite D , par des lignes projetantes parallèles à cette droite D , il arrivera que les droites 9* et 9'* formeront une seule droite tangente intérieurement aux qpurbes G* et C'^, et il en sera de même pour 9*. et 9'\ , etces droites 9^ et 9*, se croiseront en un point $'*, projection du sommet s^, et la droite I\ projection de la droite I , passera évidemment par le point s'^y et alors les quatre points i^, ^, t i'\ i^, seront deux à deux sur six droites se croisant, savoir : deux au point a^y deux au point $\ et deux sur la droite I*.

On peut donc énoncer le théorème suivant :

Étant données sur un plan Q deux sections coniques G" et C'^ ayant quatre tangenies communes , dont deux ( les intérieures ) se coupent en un point s^, et dont deux ( les extérieures ) se coupent en un point s^.

5t par le point s^ on mène une droite quelconque \^ coupant la courbe C aux points y^ et y\ et la courbe G^ aux peints y^ et y'*",, les tangentes en ces points aux sections coniques C^ et C^ se couperont deux à deux en quatre points y dont deux seront situés sur une droite I" passant par le point s'^ (^),

(*) Dans le Cour$ de géométrie descriptive ^ je sais parrean , en considérant les deux courbes C^ et C* comme les bases de deux cônes du second degré , ces o6nes étant placés de telle manière dans Pespace qu^ils se coapaient suivant deux courbes planes, k démontrer que le plan de l^me de ses deux sections passait par la droite I*, mais je n^ai pu démontrer que la droite I^ passait tonjonrs par le point s\ parce que les considérations géométriques que j^employai , savoir : deux Cânes se coupent suivant deux seciUm$ planes^ en vertu de ee quHle ont deux plam tamgewte communs, n^ont pu et ne pouvaient me conduire à démontrer cette propriété importante et existant pour deux sections coniquei fracées sur un même plan et n^ayant aucun point commun.

Les deux autres poibtsseroot toujours ^tués sur une droite R, mais qui -ne passera pas, en général, par le point /.; ce qui deviendra évident par ce qui suit ; .

Menons par le sommet «' du cône 1' ( intérieur }, et qui unit les deux sections CQniqi|es G et G' situées sur le cône (extérieur) 2, une droite D s'appuyant sur la droite I idtersection des plans P et P' de ces courbes G et C\

Menons par le sommet s du cône extérieur 2 une droite D, parallèle 4 la

droite D.

Concevons deux cylindres 9 el^' ayant respectivement pour directrice courbe les sections coniques G et G', et ayant leurs génératrices droites parallèles aux droites D et D,.

Le cylindre $ coupera le cône 2 suivant deux sd^tions coniques G et G, , et le cylindre $' coupera aussi le même cône 1 suivant deux sections coniques G et G',.

Si par la droite D. on mène deux plans tangents au cône 2 , ces plans T et T' loupberont ce cône 2 suivant deux génératrices droites O et 9', qui couperont les courbes G jst G, ( situées sur le cylindre 4) , la première en un point % et la seconde en un point x. qui seront communs àc^ deux.courbes G et G., qui seront les extrémités de la corde compaune de ces deux. courbes» car le plan T, comme le plan T'» sera un plan tangent commua aux deux .cylindres $ et 9' et au cône 2.

On aura de même un point z' et un point z\ , et ces deux points seront ceux en lesquels se croisent les* deux sections coniques^ C' et G',.

Si main^tenant Ton coupe les cylindres <b et ^' par un plan Q pecpendiculaire ou oblique aux droites D et B, , on aura en tes courbes G* et C'* les projections orthogonales ou obliques sur ce plan Q dfi$ courbes G et G, , G' et G',.

Les sections coniques G el G, se projetteront donc en une seule et même courbe G*, et de même les «ections coniques G' et G', se projetteront en une seule et même courbe G'^. .

Gela posé:

Si Ton mène par la droite D. un plan M, il coupera le cône 2 suivant deux génératrices droites Y et Y,, et Ton aura :

La génératrice Y coupant la section conique G au point y

Et la jéoératrice Y, coupant la section conique G au point X

Or les points y et X„ y' et X'., y. et X, y\ et X', seront deux à deux sur des génératrices droites des cylindres $et $'; dès lors les points y et X,, se projetteront sur le plan Q en un seul et même point j^ situé sur la courbe C\ les droites Y et Y, se projetant sur ce même plan Q en une seule et même droite Y*.

Dès lors , les tangentes 9 au point y à la courbe C et 9, au point X, à la courbe G, , se projetteront sur le plan Q, suivant une droite S* tangente à C* au point /, et il en sera de même pour les tangentes aux points j' et X'. , y. et X, y\ et X'.

Cela posé i

Désignant par P, P', P., P'. les plans des sections coniques C, C, C. et C'., et par R le plan qui contient les deux génératrices droites G et 0' du cône extérieur 2. , on aura cinq plans qui se couperont deux à deux suivant «ir droites, savoir :

Les plans P et P' se couperont suivant la droite I

— P. et P^ - — I.

— p et P'. — — V

— P'et P. — — V

Et les trois plans R, P et P. se couperont suivant une droite Z passant par les points 2 et z..

Et les trois plans R , P^ et P', se couperont suivant une droite Z' passant par les points z' et z\.

Or il est évident que les six droites 1, 1., I', 1',, Z et Z' se coupent en un même point que je désignerai par k.

Cela posé :

En vertu de ce qui a été dit § 11, lés tangentes 6 au point y de la courbe C et i au point y' de la courbe G'^ se couperont en un même point t de la droite 1.

De même , les tangentes S, ^u point X, de la courbe C, et t, au point X'. de la courbe G', se couperont en un même point t. de la droite I.. Et comme, en vertu de ce qui vient d'être dit § Il , les tangentes 9 et 9. , ^ et i, se projettent sur le plan Q, les premières en une même droite 9^ et les secondes en une même droite t^, il s'ensuivra que le point t\ intersection des droites i* et 9^, sera la projection commune des points t et i, ; et dès lors il se trouve démontré que les droites 1 et I. ont sur le plan Q pour projection commune la droite I^.

On démontrerait de même que les droites V et F, se projettent sur le plan Q en une seule et même droite- 1'\ et comme les six droites 1,1,, T, I',, Z et Z' se coupent au point k , leurs projections I*", 1'*, Z^ et Z'^ se couperont en un seul et même point 1^.

Et si nous remarquons que les tangentes aux courbes G , G', G., G', pour les points en lesquels la génératrice droite Y du cône 2 les coupent, se croisent deux

à deux en les points i el t' situés sur les droites I et \\ nous pourrons énoncer le théorème suivant :

Étant données deux sections coniques G^ et C'^ tracées sur un même plan , ces deux courbes ayant quatre tangentes communes y dont les deux intérieures se coupent en un point s"" et les deux extérieures en tm point s*", les droites Z^ et Z^ qui unissent les points de contact des courbes avec les tangentes extérieures se couperont en un point k**, et si du point s^ on mène une droite Y^ coupant la courbe C^ en deux points y^ et y^, et la courbe C^ en deux points y^^ et y/*", tes quatre tangentes en ces points se coupent deux à deux en quatre points, dont deux sont sur une droite P passant par les points s'^ et k^, et deux sorti sur une droite l'^ passant par le point ]s^.

Ces droites I* et 1'^ sont celles que nous avons désignées, planche 92]du Cours de Géométrie descriptive ^ par I et E.

D'après ce qui précède on peut énoncer les deux théorèmes suivants sur les

transversales.

Étant donné ( fig. A ) tm quadrilatère aba'b', dont les côtés prolongés et les diagonales se coupent deux à deux en les trois points i, s, s'. St l^on mène par le point s' ( intersection des diagonales ) et par te point i une droite D ^ et si tan mène par chacun des quatre sommets du quadrilatère aa'bb' des parallèles à la droite D, ces parallèles couperont les côtés du quadrilatère qui se croisent au point s , en quatre points a^ , b. , a', , b'. qui détermmerotU un nouveau quadrilatère dont les côtés prolongés se couperont en les points i, et 8 , et dont les dàagonales se croiseront en un point s'..

Les quatre points i, i., s', s', seront situés sur la droite D.

Les côtés a.b. et a'b' se couperont en un point V et les côtés ab et 2i\>\ se couperont en un pmnt I , et ces ptrints I et V seront sur une droite D, parallèle à la droite D> et cette droite D, en général ne passera pas par le point s.

Au lieu de mener par les sommets du quadrilatère aba/V des parallèles à la droite D, on prendra (Jig. B) sur cette droite D un point x, 9t Ton fera passer par ce point x et chacun des sommets du quadrilatère atHx!b^ des droites, lesquelles couperont les côtés du quadrilatère se croisant au point s en quatre points a„ 6,, a\ f b\ , alors :

Les quatre points i , s', s',, i. seront sur la droite D.

Et la droite D. qm unira les points I et V passera par le point x.

Con$trmre le$ huit courbes planes tangentes à trois sections coniques situées sur une surface du 2* ortbre (*).

I. Trois circonférences quelconques de grands ou de petits cercles , étant tracées sur la surface d'une sphère^ trouver une qucUrième circonférence tangente aux trois premières.

Carnot a donné, de ce problème, une solution analytique dans sa Géométrie de position , page 415.

La solution géométrique consiste en ce que Tqu peut toujours unir, deux à deux les trois cercles donnéa C\ C"^ Cf" par six oônes. Et en ne considérant d'à* bord que les trois cônes dont les sommets sont au delà des plans des cercles donnés 9 on remarque de suite que le plan tangent à deux de ces cônes est nécessairement tangent au troisième cône , et qu'il coupe la sphère suivant un quatrième cercle tangent aux trois cercles donnés*

Ayant donc déterminé le premier cône et le sommet du second cône , on mène par ce sommet deux plans tangents au premier cône , et chacun de ces plans contient un des cercles cherchés. Ces deux plans tangents se coupent suivant 4me droite qui contient les sommets des trois cônes.

Les sommets des cônes obliques qui joignent, deux à deux , trois cercles d'une sphère, sont distribués sur quatre droites situées dans un même «plan* ^ *

Par chacune de ces droites, on peut mener deux plans tangents è l'un quelconque des trois cônes qui ont leurs sommets sur cette droite; d'où il suit que trois cercles d'une sphère peuvent, en général, être touchés par un quatrième cercle de cette sphère ^ de huit manières différentes.

n. Étant données trois courbes planes d'une surface du second ordre, on détermine, par des considérations semblables, la quatrième courbe qui les touche. En effet, il est évident que lorsque deux surfaces du second degré se coupeni, la

n Extrait de la GoiTespondaiice de l'Éeole polytechnique , pubUée par Hachette. Janrier 1814. — Nota. Cette solution futoemmnniquée par Hachette » profeweur de géométrie detcriptiTe à l*École Polytechnique, de la'part de l'auteur, à la Société philnmathiqne de Paria, dans sa séance du 22 mat 1813.

eourbe d'intersection est , en général , composée de deux branches, et si Tune de ces branches est plane y Tautre branche l'est nécessairement.

D'où il suit que, par deux sections coniques d'une surface du second degré, on peut toujours , en général {*) , mener une surface conique du second degré.

Ayant déterminé les sommets des cônes qui passent par les trois courbes planes données , on achève la solution comme pour les sphères, en menant des plans tangents à ces cônes.

§ II

m. Deux sections coniques , situées sur une surface du second ordre et qui ont un point de contact , ne peuvent être enveloppées que par un seul cône. Si l'on a donc trois sections coniques tangentes deux à deux et tracées sur une surface du second ordre, on n'aura plus que trois cônes enveloppant deux à deux ces sections coniques, on n'aura plus qu'une seule droite contenant les trois sommets de ces cônes , et l'on ne-pourra construire que deux sections coniques tangentes aux. trois courbes planes données.

ÏV. Lorsque deux sections coniques situées sur une surface du second ordre se coupent en deux points, on peut les envelopper par (teux cônes; mais les sommeis sont tous les deux extérieurs.

Si l'on a trois sections coniques se coupant deux à deux eh deux points et situées sur une surface du second ordre , on ne pourra construire que deux sections coniques tangentes à ces trois courbes données ; dès lors les six sommets des six cônes enveloppant deux à deux les coniques données seront sur une seule droite , laquelle sera située dans le plan de la courbe de contact d'un cône tangent à la surface du second ordre, ce cône tangent ayant pour sommet le* point en lequel se coupent les plans des trois coniques données.