I XII

La solution des. septième et huitième problèmes est fondée sur le caractère auquel on reconnaît que la courbe intersection de deux cônes ou d'un cône et d'un cylindre , a ou n'a pas d'asymptote.

La solution, telle que je l'ai donnée, serait très-longue sous le point de vue graphique; mais elle peut se simplifier. En effet, il suffît, dans l'un et l'autre problème, de considérer la courbe donnée 9 comme la base d'une surface conique dont le sommet serait un point p , arbitrairement choisi hors du plan de cette courbe 9 ; de couper ce cône par un plan P arbitrairement incliné par rapport au plan de la courbe (p , mais coupant la génératrice droite G menée par le sommet p parallèlement au rayon vecteur infini dans le premier cas, et à l'ordonnée infinie dans le second cas.

Dès lors ce plan P coupera le cône suivant une courbe cp' et la génératrice droite G suivant un point g.

La courbe 9' ne pourra pas être construite par points jusqu'au point 9, mais parla méthode indiquée dans ce mémoire pour construire la tangente en un point d'arrêt d'une courbe, on pourra construire la tangente t au point g de la courbe 9'. Par les droites i et G on fera passer un plan qui sera tangent au cône , et qui coupera le plan de la courbe cp suivant une droite T, laquelle rencontrera la traceV du plan P sur le plan de la courbe ^ , en un point m. Par ce point m on mènera une droite parallèle au rayon vecteur infini, dans le premier cas, et à l'ordonnée infinie , dans le second cas, et l'on obtiendra ainsi et facilement l'asymptote cherchée.

Si les deux droites T et Y sont parallèles , la courbe 9 n'aura pas d'asymptote.

Lorsque deux surfaces S et S' ayant un contact en un point m se coupent suivant une cpurbe G ayant alors un point multiple en ce point m, on peuttou'

— SI»

jours construire les tangentes en m à cette courbe C, et sans avoir besoin de recourir à l'emploi des surfaces de second ordre Oel 0' osculatrices en m aux deux surfaces données S et S' ; mais la construction est du genre des constructions approximatives j puisqu'elle exige l'emploi d'une courbe construite par points.

Et en effet :

Désignons par i et d' les branches de la courbe intersection des deux surfaces S et S' qui se croisent au point m contact de ces deux surfaces.

Considérons sur l'une des branches 3, une série de points m', , m"^, m'", ..., qui précèdent le point m et une série de points m\ m", m" ..., qui suivent le point m. Pour tous ces points, excepté pour le point m, nous pouvons (théoriquement parlant) construire la tangente; car pour chacun d'eux, les deux plans tangents menés l'un à la surface S et l'autre à la surface S' ne se superposent pas , ne se confondent pas en un seul et même plan tangent commun à ces deux surfaces S et S', comme cela a lieu pour le point m. On aura donc pour la branche 3 la série des tangentes 9,, 9'',, B"\ ... et 9', 9", 9'" ... , désignons par 0 le plan tangent commun au point m et coupons ce plan 0 par un plan arbitraire Qy nous aurons une droite D ; et ce même plan Q coupera les droites tangentes de la première série en des points a\ , a\, a\ ... , qui seront situés d'un côté de la droite D , et les diverses tangentes de la seconde série en des points a\ a" y a''' ... , qui seront situes de l'autre côté de la droite D.

Tous ces points a, ..., a' ..., pourront donc être unis par une courbe y qui viendra couper la droite D en un point a qui serait celui par lequel devrait passer la tangente 9 au point m de la branche 3.

Et il est évident que ce point a sera d'autant plus exact que les points a\ et à seront plus rapprochés de la droite D| parce que la direction à suivre par h courbe y sera d'autant mieux déterminée, que l'arc (a^ a') de cette courbe sera plus petit.^

Ainsi , à la rigueur^ la construction graphique Aei^ tangentes au point multiple de la courbe intersection de deux surfaces en contact par un point, peut être considérée comme possible , en n'employant que les méthodes ordinaires de la géométrie descriptive.

Mais $i l'on considère deux surfaces S et S' en contact par une ligne T, alors la construction des tangentes en les divers points de cette courbe de contact T, n'est plus possible par la méthode ordinaire, puisque, pour chacun des points de cette courbe T, les deux plans tangents se confondent; et Ton est dès lors forcément^ obligé de recourir à l'emploi des surfaces osculatrices du second ordre.

CONSTRUCTION DES POINTS d'iNFLBXION DE LA TRANSFORMÉE d'uNE COURBE PLANE OU A DOUBLE COURBURE TRACÉE SUR UNE SURFACE DÉVELOPPABLE.

RESSVMES n.

Étant donnée une courbe, à sinople ou à double courbure, par ses projections, et tracée sur une surlace développable, déterminée par les projections de son arête de rebroussement ; chercher le caractère auquel on reconnaît que la transformée de cette courbe, sur le développement de la surface, aura un point d'inflexion ; fixer la position de ce point; déterminer si la tangente en ce point aura un contact du premier ou du second ordre avec la transformée, et cela sans avoir besoin de connaître la transformée.

Pour résoudre cette question , je m'appuie sur une propriété remarquable dont jouissent les hélices, savoir : que le plan osculateur en un point (Tune hélice esl toujours perpendiculaire au plan tangent en ce point à la surface développûble sur laquelle V hélice se trouve tracée.

Supposons une surface développable D ayant pour arête de rebroussement une courbe E ; sur la surface D une hélice H ; en un point m de celte courbe sa tangente t et la génératrice droite G de la surface développable qui passe par ce point m.

Traçons sur la surface D une des développantes e de la courbe E, et désignons par n le point en lequel Thélice H et la développante e se coupent, et par p le point en lequel la génératrice G coupe la courbe e

Développons la surface développable D sur son plan tangent T mené par la génératrice G. Dès lors les courbes se transformeront, savoir : la courl>e Een une courbe E', la courbe e en une courbe e\ et Thélice H en sa tangente t. Et le développement effectué, les deux courbes transformées t et e se couperont en un point n'si les deux courbes e et e' sont tangentes Tune à Tautre au point p.

Si maintenant l-on fait rouler le plan tangent T sur la surface D, de manière que les courbes E' et e roulent respectivement sur les courbes E et e, la tangente I, par ses diverses positions, formera une surface développable D'ayant Thélice H

(*) Ezfrait du Balletin de la Société philomatique , séance du 17 noTembre 183!?.

pour arête de rebroussement , et le point n décrira dans l'espace une certaine courbe h.

La courbe h est une des développantes de l'hélice H , car elle coupe rectangulairement les diverses positions de la droite t.

En effet :

Considérons le plan T dans Tune de ses positions, celle où il est en contact avec la surface D par la génératrice droite G.

Le point n tend à décrire une courbe située sur deux sphères , Tune ayant son centre au point m et ayant pour rayon mn , Tautre ayant son centre au point p et ayant pour rayon pn\

La tangente à la courbe h pour le point n' sera Tintersection des plans tangents menés à Tune et à Tautre de ces sphères et pour le point n; et il est évident que ces plans sont respectivement perpendiculaires au plan T qui contient les deux centres m et p des sphères et le point n!. La tangente à la courbe h sera donc perpendiculaire à la génératrice droite i de la surfaée développable D'.

Le plan tangent T' à la surface D' suivant la génératrice r, lequel sera plan osculateur de Thélice H pour le point m, est donc perpendiculaire au plan tangent T de la surface développable D pour le même point m.

On conclut de là que tout point d'une courbe 9 tracée sur une surface développable donnera sur la transformée f' de cette courbe cp, un point pour lequel le rayon de courbure sera infini , lorsque pour ce point le plan osculateur dé la courbe donnée 9 sera perpendiculaire au plan tangent à la surface développable pour le même point.

Pour les courbes à double courbure , le point de la transformée peut être un point d'inflexion ou un point méplat (désignant par point méplat celui pour lequel la courbe est avant et après le point , située d'un même côté de sa tangente). On distingue ces points , en projetant la courbe donnée 9 sur le plan tangent à la surface développable ; et pour cela, il suffit de prendre deux points sur la courbe9, l'un avant et l'autre après le point qui doit se transformer en un point d'inflexion ou en un point méplat, et de voir si les pieds des perpendiculaires abaissées de chacun de ces points sur le plan tangente la surface développable, tombent tous les deux d'un même côté de la tangenteàla courbe 9, ou l'un au-dessus et l'autre au-dessous. Dans le preinier cas, la transformée 9^' a un point méplat, dans le second cas, elle a un point d'inflexion.

Lorsque le plan osculateur de la courbe 9 est perpendiculaire à la génératrice droite de la surface développable qui passe par le point considéré , le point méplat est triple sur la transformée 9% si la développée de la courbe 9^ a un point de rebroussement correspondant au point considéré (désignant par point méplat

triple celui^ pour lequel la courbe a un contact du troisième ordre avec sa tangente).

Pour les courbes planes, le point pour lequel le plan de la courbe plane f est perpendiculaire au plan tangent delà surface dé veloppable, donne sur la transformée 9 un point dinflexion. Lorsque le plan de la courbe est perpendiculaire à une génératrice de la surface développable , le point situé sur cette génératrice donne un point méplat double, et qui sera triple si Je point est un sommet de la courbe (f.

Au moyen d*un cylindre osculateur en un point de la surface développable, je parviens à démontrer, par une considération géométrique très-simple, que le rayon de. courbure d'une hélice est égal au rayon de courbUre de la surface développable sur laquelle elle est tracée , divisé par le carré du sinus de l'angle sous lequel l'hélice coupe la génératrice de la surface.

MÉMOIRE n.

Je me propose » dans ce mémoire , de résoudre la question suivante :

Étant donnée une courbe à simple ou à double courbure par ses projectionSy et tracée sur une sufface développable déterminée par les projections de son arête de rebroussement , cherclier le caractère auquel on reconnaîtra que la transformée de cette courbe sur le développement de la surface aura un point d'inflexion ; fixer la position de ce point ; déterminer si la tangente en ce point aura un contact du premier ou du second ordre avec là transformée , et cela sans avoir besoin de connaître la transformée.

On trouve dans le Traité in-i"" du calcul différentiel et intégral de Lacroix, à la fin du premier volume, un extrait des recherches analytiques que ce savant géomètre a publiées dans divers mémoires touchant la solution de cette question : Trouver t équation dé la courbe aplanie en laquelle se transforme , après le développement ^ une courbe tracée sur une surface développable.

La question que je, me propose est donc complètement résolue par Vanalyse; mais si l'on remarque que Téquation de la transformée ou courbe aplanie sera toujours compliquée, que dès lors les calculs que nécessite la recherche du point d^nflexion seront très-longs; que d'ailleurs il peut arriver souvent, dans les applications, que la surface développable ne soit donnée que par les projections de

(*) Extrait du Joartial de 1*JËcoU polytechnique, i!^ cahier.

son arèle de rdt^roussèment , et que la courbe tracée sur celle surface ne soil connue que par ses projections, les équations de la surface et de la courbe étant inconnues et sans que la nature du problème et les données de la question qui , pour sa solution > exige la solution du probièoie qui fait le sujet de ce mémoire, puissent permettre d'obtenir ces équations; on comprendra dès lors qu'il sera utile de connaître une méthode graphique simple et rigoureuse qui conduise toujours à la solution complète du problème proposé.

Observons en outre que dans les tracés graphiques on cherche à diminuer, autant que possible , les erreurs forcément commises en vertu de rimperfection des instruments, et que c'est pour cela que, lorsque Ton a construit une courbe par points , on cherche les diverses tangentes à celle courbe , afin que son cours soit mieux déterminé. Par la même raison on concevra qu'il doit être utile de savoir reconnaître la position de certains points singuliers qui pourraient exister sur cette courbe.

Je m'occuperai d'abord des surfaces cylindriques, ensuite des surfaces coniques, enfin des surfaces développables générales.

Surfaces cylindriques.

Je suppose que les génératrices du cylindre sont verticales ; dès lors le plan hori* zontal coupera cette surface suivant une courbe S, qui en sera la sectàm droite.

J'établis pour condition expresse que la courbe S ne présentera aucun point singulier dans tout son cours, cette courbe étant d'ailleurs toiit à fait arbitraire.

Je suppose une courbe tracée sur ce cylindre : j'examinerai d'abord le cas où cette courbe est piane ou à simple courbure, et ensuite le cas où cette courbe est à double courbure.

1* Courbe plane.

Le plan de la courbe C {fig. 7& ) , tracée sur le cylindre , coupera le plan hori- ;&ontal de projection, autrement le plan de secdcn droite y suivant une droite D.

Je suppose une droite L verticale, et par conséquent parallèle aux génératrices du cylindre et perçant le plan de k courbe C en un point p.

Par un point m de la courbe G je mène une tangente i à celte cpurbe , et par le point p une droite T parallèle à i.

Cela posé :

Si je considère deux points m' et m" situés sur la courbe C et iqfiniment voisins du point m , l'un avant et l'autre après ne poipi m; .^énigoant ^par l' et t" k»

tangentes à la courbe C en ces points , et par ^ , g\ g" les génératrices du cylindre correspondant respectivement aux points m, m\ m"; traçant par le point p et dans le plan de la courbe G les droites T', T^' respectivement parallèles aux tangentes i\ i'\ il est évident que Ton a :

et si la droite T est une ligne de plus grande pente du plan de la courbe C , on aura :

LpT < LpT' < LpT"

ces angles étant comptés dans le même sens.

Dès lors la tangente ( fera avec la génératrice 9 un angle plus petit ou plus grand que l'angle formé par la génératrice et la tangente au point qui suit et en celui qui précède immédiatement le point m.

Par conséquent, lorsque l'on développera le cylindre sur son plan tangent suivant la génératrice g{fig^ 75), la tangente i prendra (sur le développement) la position f'., et la tangente t" la position i\ , ces positions étant telles évidemment, que la transformée 6 de la courbe G aura, au point M (transformée du point m de la courbe C), un point d'inflexion, puisque le point M' qui précède le point M sera au-dessous de la tangente t , et que le point M'' qui suit le point M sera au-dessus do cette même tangente t.

On peut donc conclure de ce qui précède : ^

Que le point (t inflexion sur la transformée B de la courbe C sera celui qui correspond au point de la courbe G , pour lequel la tangente est une ligne de plus grande pente du plan de cette courbe ; ou , en d'autres termes :

Sera celui pour lequel la tangente à la courbe G est perpendiculaire à la trace D du plan de cette courbe G sur le plan de section droite du cylindre.

Ainsi, étant donnée une surface cylindrique et une section plane G de cette surface, on construira la section droite S du cylindre; on déterminera la trace D du plan de la courbe sur le plan de section droite, et Ton cherchera les tangentes de la courbe S qui seront perpendiculaires à la droite D.

S'il n'existe pas de tangente à la courbe S qui puisse être perpendiculaire à la droite D, il n'y aura aucun point d'inflexion sur la transformée 0 de la courbe G.

Autant il y aura de tangentes à la courbe S, perpendiculaires à la droite D autant il y aura de points d'inflexion sur la transformée 0, et ces points seront

situés sur les génératrices droites du cylindre et qui correspondent aux points de contact de la section droite S avec ses tangentes.

2* Courbe à double courbure.

Je suppose un cylindre A {fig. 76) ayant pour trace sur le plan horizontal une courbe a. En un point m de la courbe a je construis le cercle osculateur g, et je le regarde comme la base d'un second cylindre B dont les génératrices droites seront parallèles à celles dû cylindre A.

Dès lors, comme la courbe a et le cercle 6 ont deux éléments rectilignes consécutifs en commun , les deux cylindres A et B sont osculateurs Tun à l'autre. Si donc l'on coupe ces deux cylindres par une surface arbitraire Y, les deux courbes d'intersection, a située sur le cylindre A, et b située sur le cylindre B, auront aussii deux éléments rectilignes et consécutifs en commun , seront osculatrices l'une à l'autre , et leur contact sera du second ordre.

Par conséquent, développant les deux cylindres A et B sur leur plan tangent commun, lequel contient la génératrice commune- ^ qui passe par le point m, les deux courb3s a et 6 se transformeront en les deux courbes respectives a etb\ qui auront encore deux éléments rectilignes et consécutifs en commun; ces deux courbes seront encore osculatrices Tune à Tautre, leur contact étant du second, ordre.

Si donc la courbe a a deux éléments rectilignes et consécutifs eti ligne droite au point en lequel elle oscule la courbe b\ il est évident que la courbe b' aura aussi en ce point deux éléments rectilignes et consécutifs en ligne droite. De sorte que si la courbe a a au point d'osculation un rayon de courbure inGni, la eourbe b' aura aussi en ce même point un rayon de courbure infini.

Gela posé :

Étant donnée une courbe à double courbure i située sur une surface cylindrique, construisons d'abord la section droite S de ce cylindre; cherchons ensuite sur le plan de section droite la trace D de la surface développable d ayant la courbe S pour arête de rebroussement.

L'on sait que tout plan tangent à la surface d est un plan osculateur de la courbe d; que ce plan contient deux éléments rectilignes et consécutifs de celte courbe ; que ce plan contient le cercle osculateur de la courbe d.

Par un point m de la courbe d je mène la tangente t à cette courbe. Cette tangente sera une génératrice droite de la surface développable cf et percera le plan de section droite en un point M de la courbe D.' Le plan tangent à la surface d suivant la génératrice t, coupera le plan de la section droite suivant une droite T, tangente à la courbe D au point M.

Ce plan langeât contiendra le cercle osculateur de la courbe d pour le point oi; je désigne ce cercle par 6.

' D'après ce qui a été dit ci-dessus, regardant le cercle 6 comme la base d'un cylindre B, ayant ses génératrices droites parallèles a celles du cylindre donné et développant les deux cylindres sur leur plan tangent commun et mené par la génératrice g qui correspond au point m de la courbe d, l'on aura sur le développement la courbe cp transformée du cercle 6 et la courbe d transformée de la courbe d, qui auront deux éléments consécutifs et rectilignes en commun , qui seront osculatrices Tune à l'autre, leur contact étant du second ordre.

Or, d'après ce qui a été dit pour une courbe plane tracée sur un cylindre, la courbe 9 aura un point d'inflexion si la tangente i est une ligne déplus grande pente du plan du cercle 6, en d'autres termes du plan osculateur de la courbe d.

Mais la courbe 9 ne peut-elle pas avoir une inflexion , sans que Tinflexion existe pour cela sur la courbe 9? Pour résoudre complètement la question, on est obligé d'employer la considération de Thélice obtenue en pliant sur le cylindre la tangente t au point m de la courbe d; car le principe qui nous avait facilement et rigoureusement conduit à la détermination du point d'inflexion dans le cas d'une courbe plane ne &ufBt plus dans le cas d'une courbe à double courbure.

J'enroule le développement sur le cylindre; la courbe 6 en s' enroulant sur le cylindre se superposera sur la courbe d , et la tangente f , en s'enroulant sur le cylindre, se transformera en une hélice que je désigne par H. ^

Si la tangente t et la courbe 6 n'ont qu'un contact du premier ordre, la courbe $ et l'hélice H n'auront aussi qu'un contact du premier ordre : en d'autres termes, elles auront un seul élément rectiligne commun.

Si au contraire la tangente 1 et la courbe 9 ont un contact du second ordre, eo d'autres termes, si ellesontdeux éléments rectilignes communs (de telle sorte que la courbe 9 aurait dans ce cas , au point M , deux éléments rectilignes et successifs en ligne droite, et aurait par conséquent en ce point un rayon de courbure infini) alors la courbe d et Thélice H auront aussi un contact du second ordre; en d'autres termes, ces deux courbes auront deux éléments rectilignes et consécutifs communs : par conséquent elles auront même plan osculateur, même cercle osculateur, même rayon de courbure.

Ainsi , lorsque la courbe d et t hélice H n'auront quun contact du premier ordre^ leurs plans osculateur s ne se confondront point;

Et lorsqu'au contraire la courbe i et l'hélice H auront un contact du second ordre, leurs plans osculateurs se confondront.

Voyons maintenant comment, par le tracé graphique, on reconnaîtra si les deux plans osculateurs se confondent ou soiit diflërents l'un de l'autre.

Ayant construit les diverees tanfêntes à la courbe dy elt«s forment une surface déveioppable que nous avons désignée par cf , sa trace sur le pian de section droite du cylindre étant désignée par D. L'hélice H sera aussi Tarète de rebroussement d'une surface déveioppable à laquelle les géomètres ont donné le nom d'hélicdide dévehppaMe, et je désigne sa trace sur le plan de section droite par D'.

On sait que la courbe D'est une développante de la section droite du cylindre , par conséquent les normales à cette courbe D' seront tangentes à la section droite; et comme la trace sur le^plan de section droite d'un plan tangent à riiéli* coide déveioppable est tangente à la courbe D', on en doit conclure que :

Le plan osculateur en un point m (tune hélice Oflindrique est toujours perpendiculaire au plan tangent du cylindre pour ce même point.

Les deux plans osculateurs de la courbe d et de Thélice H ne pourront donc se confondre, d'après ce qui précède, qu'autant que le plan osculalcur de la courbe d sera perpendiculaire au plan tangent du cylindre.

Concluons donc de tout ceci que :

Pour tout point de la courbe d , pour lequel le plan osculateur de i sera perpemUculaire au plan tangent du cylindre en ce même point j la transformée 9 offrira deux éléments reclilignes successifs en ligne droite; en d'autres termes : aura un rayon de courbure infini.

Le point que Ton obtiendra ainsi sur la transformée de 0 pourra être de deux espèces : il sera ou un point d'inflexion double j ou un point méplat.

Pour le point d'inflexion double comme pour le point d'inflexion simple ( qui est eehii pour lequel le rayon de courbure est nul etpour lequel la tangente n'a qu'un contact du premier ordre avec la courbe) , la courbe est avant et après ce point placée de côtés différents par rapport à sa tangente.

Pour le point méplat, la courbe avant et après le point est tout entière située du même côté pnr rapport à sa tangente.

Lorsqu'on a une courbe plane située sur un cylindre, nous avons vu que la transformée G avait toujours un point d'inflexion correspondant au point de la courbe plane pour lequel la tangente était une ligne de plus grande pente du plan sécant. Il est évident que pour ce point les deux plans osculateurs de la courbe et de riiélice se conf<HQident ; on en doit donc conclure que :

Pour toute courbe plane tr^wée sur un cylindre , le point ^inflexion de la transformée est toujours un point d'inflexion double, la transformée ayant toujours en ce point un rayon de courbure infini j en d'autres termes : ayant en ce point un contact du second ordre avec sa tangente.

Cherchons maintenant une méthode graphique qui nous permette tie recon^

naître , dans le cas d'une courbe à double courbure tracée sur un cylindre , si le point de la til'ansformée sera un point d'inflexion double ou un point méplat.

Il peut arriver deux cas : 1 "" le plan osculateur de la courbe i peut faire un angle plus ou moins aigu avec la génératrice de contact du plan tangent au cylindre , plan auquel il est perpendiculaire; 2* le plan osculateur peut être normal à la génératrice de contact du plan tangent auquel il est perpendiculaire.

Dans l'un comme dans Tautrecas , il n'y aura pas un point méplatsi lacourbed est, avant et après le point considéré , au-dessus ou au-dessous de son plan osculateur ; et il y aura point d'inflexion double si la courbe i est avant le point considéré ^ au-dessus ou au-dessous de son plan osculateur et après, au-dessous ou au-dessus de ce même plan osculateur.

Il suffira donc de projeter la courbe S sur le plan tangent au cylindre pour le point considéré^ et de voir comment cette projection se comporte avant et après le point par rapport à la tangente, puisque le plan osculateur étant perpendiculaire au plan tangent la tangente à la courbe dest en même temps la trace du plan osculateur sur le plan tangent.

Dans le cas où le plan osculateur est perpendiculaire à la génératrice droite du cylindre, il peut exister deux espèces de points méplats sur la transformée : Tun poiir lequel deux éléments rectilignes et successifs sont en ligne droite, l'autre pour lequel trois éléments rectilignes et successifs peuvent être en ligne droite. Je désignerai le premier par point méplat double, et le second, par point méplat triple.

Le point méplat triple ne peut exister qu'autant que le point considéré sur la courbe d serait un sommet de cette courbe; en d'autres termes, serait un point tel que la développée de la courbe d aurait un point de reirroussement de première espèce correspondant à ce point ; et en effet :

Lorsque la tangente à la courbe d est perpendiculaire à la génératrice droite du cylindre , cette tangente se transforme lorsqu'on la plie sur le cylindre, non plus suivant une hélice , mais suivant une section droite de cette surface cylindre.

Dès lors le plan de cette section droite devant se confondre avec le plan osculateur de la courbe d , pour que le point considéré sur i se transforme sur le développement en un point tel que le rayon de courbure de la transformée soit infini, il s'ensuit que le cercle osculateur de la section droite et le cercle osculateur de d se confondent ; si donc le cercle osculateur a un contact du troisième ordre avecd , cette courbe d aura aussi un contact du troisième ordre avec la section droite : et comme la section droite se transforme sur le développement en la tangente à la transformée de d, il s'ensuit que la transformée de d aura un contact du troisième ordre avec sa tangente.

Mais Ton sait que ks cercle osculateur ne peut avoir un contact du troisième

ordre avec la courbe , qu'autant que son contre est un pointée rebrouasement de première espèce sur la développée ; et dans ce cas la courbe est , soit avant, soit après le point sommet ^ toute au-dessus ou toute au-dessous de son plan oscu-

lateur.

Il est évident, d'après ce que nous venons de dire , que lorsque la courbe dsera plane, il ne pourra jamais exister de point méplat sur sa transformée, puisqu'il faudrait que le plan de la courbe 3 ne fût autre que celui de la section droite , pour que la condition de la superposition des deux plans osculateurs fût satisfaite pour le point en lequel la tangente de i serait perpendiculaire à la génératrice

droite du cjflindre.

Lorsque la courbe 3 tracée sur le cylindre est à double courbure, il peut arriver que sa transformée offre un point d'inflexion simple; cherchons donc s*il n'est pas possible de reconnaître par une méthode graphique quel est le point de la courbe i qui donnera sur la transformée un point de cette nature. ..

Détermination du point (t inflexion simple:

Je suppose que la transformée 0 ait un point d'inflexion sitnple^ en l'enroulant sur le cylindre ainsi que sa tangente, on aura la courbe 3 et rbélice H; mais puisque la courbe 0 et sa tangente n'ont qu'un contact du premier ordre, les courbes 3 et H n'auront aussi qu'un contact du premier ordre au point m, dés lors les plans osculateurs de 3 et H ne se superposeront pas.

Pour qu'il y ait point d'inflexion en m nous avons vu qu'il fallait que la courbe 3 se trouve, avant le point , être au-dessus du plan osculateur de H et après ce point être au-dessous de ce plan.

Pour le point d*inflexion simple, le rayon de courbure est nul ; il faut donc que la projection de la courbe 3 sur le plan tangent au point m ait aussi en ce point un rayon de courbure nul.

La courbe 3 aura donc en ce point m un rayon de courbure nul , et dès lors son plan osculateur ne sera^autre que le plan tangent au cylindre (^).

(*) Lonque l^on a iin« surface dëveloppable D , ayant ponr arête de rebronMement une courbe A , cette lurface D étant tangente à nne surface courbe S suivant une courbe B , Ton sait que lorsque la surface S a, en certaines régions, des rayons de courbure dirigés en sens opposés, il peut arriver qu'une génératrice droite G de la surface D soit tangente à la courb» B.

Lorsque cela a lieu , Voif^ sait que la surface dé^eloppable a ses rayons de courbure minimum nuls en tous les points d'une semblable génératrice droite G. puu ce cas l'arél^ de rebroussement A offre' an point en lequel elle est Couchée par la généra#îce G, un point à^H^oiofi iimpU.

ÛèB im% la fturfoea développable , ayant la courbe I pour ai^6le de rebroussement, devra offrir ud rebroussement de première espèce tout le long de la tan« génie t menée bu point m de la courbe S. ,

Cette surface sera donc coupée par un plan quelconque , suivant une courbe ofitrant un point de rebroussement de première espèce , au point où la génératrice perce le phn sécant.

Ainsi : Il y aura un point if inflexion sur la transformée 9 , lorsque ta projection de la courbe d sur le plan tangent au cylindre offrira un point d'inflexion; F inflexion sera double , si le plan osculateur de la courbe 3 est perpendiculaire au plan tangent , et l'inflexion sera simple si le plan osculateur se confond avec le plan tangent,

Diaprés tout ce qui a été dit, on voit que la construction qui servira à déterminer les points remarquables de la transformée sera la suivante :

Construire sur le plan de section droite la trace D de la surface développable d formée par les tangentes à la courbe d; chercher les tangentes à la section droite qui seront normales à la courbe D ; élever par le point de contact la génératrice g du cylindre, laquelle donnera un point m de la courba d et qui sera tel que la transformée aura pour C3 point un rayon de courbure infini.

Cela fait :

Si la courbe D n'offre pas de point de rebroussemem :

Projeter la courbe 3 sur le plati tangent mené au cylindre suivant la génératrice g^ et voir si la projection a un point d'inflexion par rapport à ia tangente t au point m ; si Tinfleiion existe, la transformée aura un point à^inflexion double; si rinflexiqn n'existe pas, la transformée aura un point méplat.

St la courbe D offre un point de rebroussement de première espèce :

Mener par ce point une tangente à la section droite , et par le point de contact élever la génératrice g , qui donnera un point m de la courbe 9 , et qui sera tel que la transformée aura pour ce point une inflexion eimple et un rayon de courbure nul.

§ IV

Remarque sur le point méplat triple.

Nous avons vu que lorsque la tangente i au point m de la courbe 3 était perpendiculaire à la génératrîee droite du cyMiidre passent par ce point tn, le point méplat iripU existait sur le transformée 9 , et cela lorsque la courbe 3 avait un sommet au point conféré m< #

Mais il peut arriver que la taugente t étant inclinée par rapport à la génératrice droite du cylindre, le point méplat triple existe aussi sur la transformée; et cela aura lieu lorsque la courbe d et Thélice H auront un contact du troisième ordre pour le point m considéré sur la courbe d. Dans ce cas, les deux courbes d et H auront deux plans osculateurs successifs qui se superposeront, et la courbe i n'aura pas, dans ce cas, un point sommet en m.

Dès lors , pour ce cas particulier, les surfaces développables , ayant pour arête de rebroussement Tune la courbe d et l'autre l'hélice H, auront, suivant la génératrice tj un contact du second ordre; par conséquent leurs traces D et D' sur le plan de section droite auront aussi un contact du second ordre au point M.

La géométrie descriptive ne donne pas jusqu*à présent le moyen de résoudre graphiquement ce cas particulier, parce que Ton serait obligé de construire graphiquement le rayon de courbure p delà courbe D et p' de la courbe D' pour le point M; et que les erreurs que l'on commettrait nécessairement , vu l'imperfection des instruments, pourraient conduire à trouver pssp' sans que le contact du second ordre eût lieu , ou p > ou < p, le contact du second ordre devant cependant avoir lieu entre les deux courbes D et D'. L'analyse seule peut donc résoudre ooraplétement ce cas particulier.

*' Construction des points singuliers dune courbe plane.

La géométrie descriptive nous a conduit à la connaissance des points remarquables de la transformée , sans avoir besoin de tracer cette courbe, en opérant seulement sur la courbe i tracée sur le cyliadr^.

La géométrie descriptive fournit aussi les moyens de connaître, sur uo^ cowbe plane dont Téqi^ation est inconnue, les points d'inflexion double et liti^ et les points méplaU double et triple , pourvu que Ton connaisse les tangf^otes de oette courbe. Pour cela il suffit d^eorouler la courbe donnée sur un cylindre ayant un cercle pour section droite , la courbe 6 se transformera en une courbe d à douUe courbure, dont on coonatira les diverses tangentes, puisque Ton suppose connues les diverses tangentes de la eourbe e.

On connaîtra dés lors la trace D de It surface développidUe ayant la courba i pour arâte de rebroussement » et Ton opérera sur celte ccnirbe i oomiae nous L'avons indiqué ci^lessus. Les poîms singtliersde I» ceairbe»S6root loujpurs fités de position , d'une manière sufflsamiaent exacte pour la pratique des arîSj par nos diverses constructions graphiques.