XI

Nous savons que lorsque deux surfaces S et S\ ayant un point de contact m , se coupent suivant une courbe l ayant un point multiple double en ce point m , ieurs deux surfaces osculatrices du second ordre 0 et 0' (étant concentriques), se coupent suivant deux courbes planes 6 et è\ dont les plans ont pour traces sur le plan qui est tangent au point m à l'une et Tautre surface S et S', deux droites t et t'y qui sont les tangentes de la courbe d'intersection ^.

Supposons une troisième surface S''^ ayant même point de contact m avec les deux surfaces S et S', et telle qu'elle coupe la surface S suivant une courbe £ ayant pour tangentes au point m les deux droites t et t\ Il faudra nécessairement dans ce cas que la surface osculatrice du second ordre 0'' de la surface S'' coupe la surface 0 suivant les mêmes courbes planes 6 et S\ qui forment l'intersection des deux surfaces 0 et 0', si les deux surfaces 0" et 0 sont concentriques.

Il est évident dès lors que les deux suffaces S' el S" se couperont suivant une courbe l" qui aura pour tangentes au point m les deux mêmes droites t et t', et qu'ainsi les trois surfaces osculatrices 0, O' et 0" se couperont deux à deux, suivant les deux mêmes courbes planes g et g'.

Si les trois surfaces S, S', S" sont trois cylindriques G, C, C", les trois surfaces osculatrices 0 , 0', O'' seront trois surfaces cylindriques A , A', A", lesquelles devront se couper suivant les deux mêmes courbes planes : ce qui ne peut arriver qu'autant que les deux surfaces h! et h'' se superposent , se confondent.

Dès lors, les deux cylindres G^ et G"' auront leurs génératrices parallèles, ei si Ton construit leurs sections droites, savoir : y pour le cylindre G' çt y" pour le cylindre C\ ces deux courbes y et y' auront , en supposant que le plan de section passe par le point m, auront, dis-je, ce point m pour point de contact; et de plus, puisque les deux cylindres osculateurs h' et h" se confondent, ces deux courbes y' et y'' auront même rayon de courbure p pour leur point de contact m.

Nous pouvons donc conclure de tout ceci que la méthode graphique proposée pour construire la tangente en un point (fune courbe dont r équation est inconnue , s'applique non-seulement à une courbe géométrique , ou à une courbe composée d'arcs de courbes géométriques de natures différentes et se raccordant enti^e eux , mais encore à toute courbe librement tracée et à main levée , pourvu que cette courbe soit continue et sans jarr^to. Si la courbe avait des jarrets et que l'on voulût mener la tangente en un point-jarret , on regarderait ce point comme l'intersection des deux arcs qui suivent et précèdent ce point» On aurait alors deux tangentes, l'une pour l'arc qui précède, l'autre pour l'arc qui suit ce point, el Ton em-

ploierait alors la méthode donnée (art. 33). Ainsi on pourra toujours résoudre graphiquement le problème : construire une tangente en un point dune courbe dont C équation est inconnue , que cette courbe soit continue , discontinue ou brisée.

MM. Poncelet et Chasles ont donné, chacun de leur côté , une méthode pour construire la tangente en un point d'une courbe. Mais la méthode de M. Chasles ne peut s'appliquer qu'à une courbe géométrique^ et celle de M. Poncelei ne peut s'exécuter que pour une courbe algébrique , dont il ne connaît pas réqfuation, il est vrai, mais dont le degré de l'équation lui est connu.