I IX

De la transformée de la section plane d'un cône de révolution-

La transformée de la section plane d'un cône de révolution offre des particularités qu'il est intéressant de connaître.

Jusqu'à présent aucun géomètre ne s'est occupé de la question que nous discutons dans ce mémoire; aussi aucun d'eux n'a donné d'une manière complète la forme de la transformée de la section plane d'un cône de révolution; tous se sont bornés à dire : dans quel cas la transformée était comprise dans l'angle des asymptotes, et dans quel cas elle ne Tétait pas, et qu'elle devait avoir des inflexions lorsqu'elle occupait cette seconde position, mais aucun géomètre n'a donné le moyen de fixer la position de ces points singuliers.

Un plan peut couper un cône de révolution suivant trois courbes de forme différente.

Suivant sa position par rapport aux génératrices du cône, la section peut être une ellipse, ou une parabole , ou une hyperbole.

La transformée de chacune de ces trois sections varie de forme en vertu de rinclinaison du plan et de l'angle au sommet du cône.

1* Si l'angle au sommei du cône est aigu.

Le plan perpendiculaire à une génératrice coupera toujours suivant une ellipse; par conséquent la transformée des sections (jjsiraboliques et hyperboliques n'aura jamais de point méplat correspondant au sommet de la section. ^

Le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le Pali de section parabolique ou hyperbolique tombera toujours en dehors de la courbe; on pourra donc toujours mener deux tangentes à la courbe ; la transformée offrira

donc toujours deux points dHnflexian double pour la parabole et pour Tune des branches de l'hyperbole.

2* Si rangle au sommet du cône est droit.

Le plan perpendiculaire à une génératrice droite coupera toujours suivant une parabole; toutes les sections elliptiques n'offriront donc sur leurs transformées ni point d'inflexion ni méplat, puisque le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône tombera toujours dans Tintérieur de la courbe.

3"* Si t angle au sommet du cane est obtus^

Le plan perpendiculaire à une génératrice droite coupera toujours suivant une hyperbole; par conséquent toutes les sections paraboliques et elliptiques ne pour ront avoir sur leurs transformées de points d'tn/7ea»on et de points méplat, puisque le pied de la perpendiculaire abaissée du somimet du cône tombera toujours dans rintérieur de ces courbes.

Examinons en détail les diverses formes de la transformée d'une section hyperbolique lorsque l'angle au sommet du cône est obtus.

Le plan sécant peut prendre sept positions différentes, pour lesquelles la section sera toujours une hyperbole , mais pour chacune desquelles la transformée aura une forme particulière.

( Fig, 83. ) Je désigne par a le demi-angle au sommet du cône , et par |3 l'angle que le plan sécant fait avec la génératrice droite du cône, qui contient le sommet de la branche inférieure de la section hyperbolique, et je désigne cette généra* trice par M.

Dans ce cas la perpendiculaire abaissée du sommet aura son pied au delà du centre de la courbe : on ne pourra pas mener de tangente à la branche inférieure ; ainsi la transformée de cette branche n'aura ni points d'inflexion ni points méplat , et elle sera comprise entre ses deux asymptotes.

( Fig. 84. ) Dans ce cas la perpendiculaire abaissée du sommet aura son pied au centre de la courbe; les deux asymptotes représentent les deux tangentes que l'on peut mener par ce point; les points de contact sont situés à Tinfini; la transformée de l'une et l'autre branche de l'hyperbole aura donc deux points di inflexion double situés à l'infini. Cette transformée sera comprise ^entre ses deux asymptotes , et aura à l'infini un contact du second ordre avec chacune d'elles.

&• ^ > a, mak j5 < rdrôTl.

(Fi g. 85. ) Dans ce cas la perpendiculaire tombe entre le centre et le sommet de la branche inférieure de l'hyperbole. On pourra donc mener deux tangentes à cette branche ; par conséquent la transformée de cette branche hyperbolique offrira deux points d'inflexion double ^ et elle sera pkcée de Tautre côté de ses asymptotes.

Les points d'inflejsiùn se rapprocheront du sommet de la transforûiée à mesure que le plan sécant se rapprochera de la position en laquelle il sera perpendiculaire à la génératrice du cône. Et l'on doit remarquer qu'à mesure que le plan sécant 9^ incline y l'angle formé par les asymptot es de la transformée augmente.

4* |3 > A^ 13 < 1 . droit (les deux asymptotes de ta transformée ne formant qu'une seule ligne droite).

(Fig. 86. ) Puisque l'angle au sommet du cône est obtus , il s'ensuit que sur le développement le cercle G , base du cône, se développe suivant un arc du cercle G"; plus grand que la moitié de la circonférence de ce cercle G^

Par conséquent les deux génératrices G et G' du cône, qui sont parallèles au plan sécant, peuvent se transformer sur le développement en le diamètre gg' du cercle G' ; et cela aura lieu lorsque l'arc ama' du cercle G sera égal à la moitié de la circonférence C'.

Démontrons que daûs ce cas le plan des deux génératrices G et & n'est pas perpendiculaire à la génératrice du cône contenant le sommet de la branche inférieure de l'hyperbole, et que l'angle qu'il fait avec cette génératrice est toujours dans ce cas ,plus petit que l'angle droit ; que par conséquent le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le plan sécant tombe toujours, dans ce cas, hors de la branche de l'hyperbole, et que dès lors la transformée a toiy^^^^ » ^^ ^^^^^ circonstance, deux points d'inflexion double.

Si Ton enroule le développement sur le cône, les deux génératrices g et g, qui forment un diamètre du cercle G', prendront les deux positions G et G' sur le cône; et désignant par M la génératrice du cône, qui contient le sommet de l'hyperbole, on voit que Tangle MsG ^ra < qu'un droit, puisque l'angle msg du secteur =: un droit; par conséquent le plan GG' ne sera pas perpendiculaire à la génératrice M, mais fera avec elle un angle < qu'un droit.

5* |3> a, p > i. droit ( C angle formé par les asymptotes de la transformée étant plus grand que deux angles droits )•

( Fig. 87. ) Entre la position que prenait le plan sécant dansle cas précédent

et cellç qu'il prendra lorsqu'il sera perpendiculaire à la génératrice M du cette y il peut en ei^ister d'inti^tnédiaires, pour lesquelles l'angle des deux asymptotes ^ la traosforinée sera plus grand que deux angles droits; et la transformée offrira alors la forme indiquée par la figure ; elle aura deux poiots A'infiêonon double près de son sommet ; et la tangente en son sommet coupera et les asyraiptotes et la courbe.

6* p> a et j3 = i.droit.

{Fig. 88.) Dans ce cas, le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône tombe sur le sommet de T hyperbole ; alors la transformée a en son sommet un point méplat triple; la tangente au sommet a donc un contact du troisième ordre avec la transformée; et les deux asymptotes enveloppent la courbe transformée.

T j3>a, p> I.droit.

{Fig. 89.) Dans ce cas , le pied de la perpendiculaire tombe dans l'intérieur de la branche inférieure de T hyperbole ; la transformée de cette branche n'offre plus de points d'inflexion double; elle est renfermée dans ses asymptotes; et on retrouve la forme de la transformée obtenue dans le premier cas, celui où Ton avait |3<a.

Smrfaces dévetappabtes générales.

Une surface développable peut être regardée comme l'enveloppe des divers cônes du second degré qui lui sont osculateurs en les divers points d'une courbe arbitraire tracée sur cette même surface développable ; par conséquent tous les résultats obtenus pour les surfaces coniques se reproduiront identiquement pour les surfaces développables ayant une arête de rehroqssement.

Lorsqu'on aura une section plane d'une surface développable, on projettera orthogonalement l'arête de rebroussement sur le plan de section y et Ton construira une tangente commune et à la section et à cette projection. Le point de contact de la section donnera , sur la transformée de cette section , un point pour lequel le rayon de courbure sera infini , et l'on aura en ce point une tn/fexion double.

Si la section et la projection de l'arête de rebroussement sont tangentes l'une à

Tautre , alors au point de contact , la tangente commune à la section et à la pro'^ jection de Tarète de rebroussemept sera perpendiculaire à la génératrice de la surface développable , et ce point donnera sur la transformée un point méplat double, si le point de la section n'est pas un êommet de cette courbe ; et un point méplat triple , si ce point est un sommet de la section.

Lorsqu'on aura une courbe à double courbure 9 tracée 3ur une surface développable , il faudra , de chacun des points de Tarète de rebroussement d de cette surface développable, abaisser une perpendiculaire sur le plan tangent à cette surface développable (ayant la courbe 9 pour arête de rebroussement) ; oe plan tangent, correspondant au point de la courbe f situé sur la génératrice tangente.à la courbedet au point duquel la perpendiculaire est abaissée. Les pieds de ces dî verses perpendiculaires formeront une courbe K, et Ton cherchera les points de rencontre de cette courbe avec la surface développable ayant la courbe donnée 9 pour arête de rebroussement.

Et toute la discussion qui a eu lieu pour les surfaces coniques se reproduira ici avec des conséquences et des résultats identiques à ceux obtenus pour les surfaces coniques » en établissant pour condition expresse que l'arête de rebroussement de la surface développable n'offrira dans tout son cours aucun point singulier.