CHAPITRE PREMIER

1. Trouver les aires des boucles formées par les courbes dont les équations suivent :

a" ar* "' -+- ^«« = a* ( xy )«-i .

Dans les deux cas n désigne un nombre entier positif.

(Gicrmont, novembre 1880.)

I** L'équation de celle courbe unicursale, en coordonnées polaires, est

flr (sinoi cos(u'^« P "~ cos*'»-»-* (o -H sin*'*-*-* w *

Taire de la boucle est donc

A = i r'p«^w=- r'^ang«« a)rftang(«) ^ a^

VillU. — Compositions.

2® En suivant la même marche, on trouve

A = ~ / — 5 — 5 = — [arc tang(tang»tD)]' = -— .

2. jPar Vextrémité A rfa diamètre AB rf'a/i cercle donné {fig- i), on mé/ie M/ie corde quelconque AC, /?«« 0/1 prend, à partir du point A, 5Mr fe diamètre AB, i//ie longueur AD = AC. On demande le lieu du milieu M ûfe5 droites telles que CD.

Construire la courbe et déterminer l'aire de la por--

tion du plan qu'elle renferme,

(Lille, juillet i865.)

Soit le diamètre AB=: ia\ Téquation de la courbe est

p = AD cos(i> = %a C0S2CI) cosci).

D'après les données, (o ne peut varier que de — 7^+7»

les valeurs négatives de p fournissent deux boucles para* sites.

L^aire cherchée A de la boucle principale est donc

A'=aa* / cos*(i}COs*2a)</ùi)