XV
C08 2 («>) ( H- C08 4 Ci))<fa>
= a* ( w - 1 jî— ) -i / (cos6ci)-+- cos2to)rfio
it
= a* ( u)H- - sinaci)-f- - sin4c«> -h — sinow )
\ 4 4 ta /o
3. On donne un cylindre droit vertical dont la base est un cercle de centre O et de rayon a. Une courbe tracée sur ce cylindre jouit de la propriété que, M désignant un point de cette courbe et MT la tangente correspondante, la projection du rayon vecteur OM = r sur cette tangente est constante et égale à une ligne donnée K. Le point M est défini par V ordonnée verticale z et par V angle m que la projection horizontale OP de OM fait avec le rayon fixe OA. On propose de :
I** Trouver la relation finie qui existe entre z et iù\
2® Trouver en fonction de z Vexpression s de Varc de la courbe;
3** Calculer Vaire cylindrique comprise entre deux génératrices données et les arcs qu^elles interceptent sur la courbe et sur le cercle de base.
(Monlpellier, novembre 1879.)
On a
cos(OM, MT) = =^— f = — > ,
"^ rd$ rds
en tenant compte de Téquation différentielle du cylindre
xdx-Jrydy = Of d'où
ifc aK(w — (uo) = f^z^—l^dz,
± 2aK(o) — a»o) = z^z^— M — K* log —ir— — '
La constante arbitraire Wq répond à l'ordonnée minimum ^0 = K de la courbe qui admet pour tangente en ce poinl la génératrice du cylindre.
2° L'arc de courbe compté à partir du point d'ordonnée minimum est donné par la formule
3° Enfin l'aire cylindrique comprise entre la courbe, la base du cylindre et les ordonnées z^ et z est
z,ad^^^--^ / — \^ --dz= -I^(il— K*)».
4. Le centre d^une sphère parcourant une hélice tracée sur un cylindre circulaire droit, l'enveloppe des positions de la sphère est une certaine surface canal; déterminer l'aire de la section faite dans cette surface par un plan perpendiculaire à l'axe. Chercher le rapport de cette aire au grand cercle de la sphère
génératrice.
(Lille y novembre i868.)
Un plan normal à l'axe du cylindre coupe chaque sphère suivant un cercle dont le centre O {fig' 2) est sur le cercle de base du cylindre; l'enveloppe de tous ces cercles donne
la section de la surface canal. Deux cercles infiniment voisins, de centres O et 0|, et de rayons r et r-l-rfr, se coupent suivant une corde AB; nous prendrons pour aire élémentaire celle qui est comprise entre AB et la corde infiniment voisine, et pour variable indépendante Tare
Fig. 2.
s = DO de base du cylindre, compté à partir du point de D où rhélice perce le plan de base.
L'aire élémentaire cherchée
or les triangles rectangles OIA et 0K0| donnent
dr
ds
d'où
d'ailleurs on a, en appelant a le rayon de la sphère génératrice et m la tangente de l'angle que fait l'hélice avec la
base du cylindre,
dr as
d.Ôi = m*ds et AI = /a«— /n«(i-h /n«)s*;
on en déduit
dX = 2(1 -h m'^)ds v^a* — m*(i -h /n*)5«.
Pour trouver les limites entre lesquelles on doit intégrer l'expression précédente, nous écrirons que deux cercles infiniment voisins se coupent, autrement dit que la distance ds de leurs centres est plus grande que la différence
- m^sds
— dr =
de leurs rayons, ce qui donne pour limite supérieure
Sa = •
m v^i -t- m* On a donc
ds^a^— m^{i-h m*) s*
= 2(1 -h m') , arc sin — s
A=7ra«^i4-^
Le rapport cherché est i/ n -'-, il est indépendant du
rayon du cylindre.
Quand l'hélice est une génératrice du cylindre, m = 00 , A = ita^, et quand elle devient la base du cylindre, m = o, A = 00 ; on a en effet, alors, une infinité de couronnes superposées.
