CALCUL INFINITÉSIMAL
A L'DSACB ils GARiliATS A LA LIGBRGI IT A L'AfilBCATIiN il8 SCIBlfCBS lATIBIATlQUIS;
Par m. tisserand,
Correspondant de llntUtot,
Diredenr de l'Obserfatoira tle Toaloase, ancien Maître ds Gonféreoees
à l'École des Hantes Études de Paris.
1 TOLUMB IÎI-8, AVEC FIGUEBS DAhS LB TBXTE; 1877. — PWX : 7 FE. 5o C.
Ce sont les conférences qu'il a faites pendant plusieurs années à TËcoîe des ffautes Études de Paris qui ont donné à M. Tisserand Foccasion de réunir la collection d'Exercices qu'il donre aujourd'hui au public ; ce livre s'ajoute ainsi à celui, d'origine semblable, qu'a publié M. A. de Saint-Germain sur ia Mécanique rationnelle.
M. Tisserand donne son Recueil comme taisant suite à celui de M. Frenet, dont M. Gauthier- Villars a donné récemment une troisième édition. Dans ces malièreSy l'abondance ne nuirait pas; mais, à coup sûr, les deux livres ne font pas double emploi : aucun exercice ne leur est commun, et le nouveau Hecueil s'adresse à des lecteurs plus avancés dans l'élude des Sciences mathématiques.
Lpb problèmes y sont suivis de leurs solutions ; l'élégance et les rigueurs de ces solutions, le soin avec lequel les discussions sont développées et achevées feraient regretter qu'il en fût autrement. L'auteur a en outra
indiqué un certain nombre d'applications dont les lecteurs studieux feront eur profit.
L'Ouvrage est divisé en trois Parties relatives au Calcul différentiel, au Calcul intégral^ à V Application du Calcul intégral à la solution de questions diverses concernant les courbes et les surfaces,
La première Partie (de la page i à la page 126) contient 55 problèmesi sans compter les applications. Les problèmes numérotés de 1 à 9 concerneni l'étude de la variation des fonctions et la séparation des racines de diverse^ équations transcendantes ; notons en passant la recherche du nombre d< racines imaginaires de l'équation tangz= Az, d'après Cauchy(i*^'' volume dri anciens Exercices de Mathématiques), Les problèmes 10 à i9 sont relatif aux dérivées /<**"***; puis viennent Quelques dérivées des fonctions de plusieun variables, sur l'application de la formule de Maclaurin, sur les maxima et minima des fonctions de plusieurs variables (20-31), sur des lieux relatifs a» contact des divers ordres f32-37j, sur les aéveloppées, les enveloppes, \^ caustiaues f 38-46), sur rhélice (48-Si), sur les rayons de courbure priocipaux ae l'ellipsoïde (52-ÎS3) ; la démonstration de cette proposition : Tùfiie\ surface développable qui admet une seule ligne de courbure plane est en héacoïde développable, et la recherche des trajectoires de génératrices rectilignes d'un hélicoïde développable terminent cette première Partie.
L^ problèmes 1 à 9 de la deuxième Partie concernent les intégrales d^Gnies et la recherche des valeur moyennes de certaines fonctions : on remarquera en particulier les égalités
e^'*l]*,dx = i, 4-0. .. 2/î. v^î^,
relatives aux polynômes U„, U,, définies par les égalités et la détermination de l'intégrale
' sin X
, 1 — 'À xcos a -H X
jf6:.
telle que M. Hermite l'a donnée dans le Bulletin des Sciences mathématiguef et attnmomiques, i" Série, 1. 1, p. 32a.
Les problèmes 10 à 18 concernent la détermination de longueurs darr>, d'aires de courbes et de surfaces, de certaines intégrales, entre autres de
l'intégrale /-^ étendue à tous les points de la surface d'un ellipsoïde, </S
désignant 1 élément de surface et P la distance du plan langent à cet élémeni du centre. Notons ensuite la question suivante : < a, b, a\ b' désignant de? nombres commen^^urables, dans quels cas l'intégrale générale de l'équation
(aX'i'bjr)dx-^(a'X'4~b'jr)df=o
est-elle algébrique? » Les questions 20 à 30 sont relatives aux équations dit férentielles à une^seule variable indépendante et particulièrement aux éqol tiens linéaires; l'auteur s'occupe ensuite de la détermination de fonctioÉ
d'après certaines conditions (31-33) : par exemple, trouver les fonctions les plus générales /et f telles que, quels que soient x et/, on ait
F et 4 désignant de nouvelles fonctions qu'il faudra déterminer, question inspirée par la solution donnée par Jacobi du mouvement d'un point matériel attiré par deux centres 6xes suivant la loi de Newton ; enfin quelques exercices sur les équations aux dérivées partielles (34-41) terminent cette seconde Partie.
Les problèmes 1 à 19 de la troisième Partie conduisent presque tous à des équations différentielles ordinaires entre deux variables ; dans les énoncés figurent les rayons de courbure, les angles que les normales ou les tangentes Tont avec certaines directions, ou les segments qu'elles déterminent sur certaines droiteSi etc., les derniers concernant la recherche des trajectoires; puis viennent quelques exercices sur les roulettes (10-24), sur les courbes présentant certaines relations avec leurs développées (25-29) ; notons en particulier la recherche des courbes égales à leurs développées, et le problème suivant : t Trouver une courbe telle qu'un point auelconaue de cette courbe, le oeotre de courbure de la développée ou de la développée seconde, le centre de courbure de la quatrième développée, etc., soient en ligne droite. » Les problèmes 3i-34 concernent la recherche d'une courbe aaprès certaines relations avec les coniques qui ont avec elle, en chacun de ces points, un contact du quatrième ordre. On trouvera ensuite (3547) une série de questions relatives aux courbes rapportées en coordonnées polaires. Les problèmes 48 à 59 concernent les courbes dans l'espace et les surfaces, les lignes de courbure, les lignes géodésiques, asymptotiques, les trajectoires. Là exercices (62-70), qui terminent le livre de M. Tisserand, seront particulièrement remarqués : ils conduisent en général à des équations aux dérivées partielles, et loucnent à la théorie des surfaces orthogonales; il convient de les citer tous.
XY
« Montrer que la famille des surfaces a = -^ fait partie d'un système triple
orthogonal, et trouver les deux autres familles du système; même question pour tes sphères, pour les cônes, pour les surfaces. »
« Déterminer les fonctions X=/(:r), Y = f (r)» Z = ^Kz), de façon que le système de surfaces
— b ù — c fi — a /A — 6 /à — c y — a y — à y —
soit orthogonal. »
a Déterminer la fonction U de x, y^ z, de façon que le système
soit orthogonal. »
9 Déterminer les fonctions 7, '^ de façon que la famille de surfaces représentée par l'équation a = y (2) ^^ f — j fasse partie d'un système orthogonal ; trouver deux autres familles du système. » j. 7^
(Elirait du BidL det Se. mathém, et astronom. a* série, t. I, mari 1877.)
Paru. - imprimer!* <!• GAUlHlER-ViLLAHS. quai da» Aa|tt»iibt, M.
LIBRAIRIE DE GAUTHIER-ViLLARS,
55, Quai des Grands-Augustins.
EoTol franco dans tonte rUnloo pottalo contre mandat do poste on Talenr rar Pirii.
