Deux points matériels A et B de même masse m

glissent sans frottement sur deux axes rectangulaires

fixes Ox et Oy et s^y attirent en raison inverse du

carré de leur distance. Déterminer le mouvement des

deux points et la trajectoire du centre de gravité du

système.

(Paris, novembre iSqS; i^ question.)

Soit*^ la valeur absolue de la force attractive; les équations du mouvement de ces points sont

dt^ r2 r r^ dt^

or, si l'on attribue au point géométrique C, de coordonnées X et y^ une masse m, et si l'on suppose que l'ori-

gîne O attire le point C avec la force -^ï les équations de

son mouvement seraient celles qui ont été écrites précédemment; l'étude du mouvement du point C et par suite de ses projections A et B est donc ramenée à un problème classique.

La trajectoire du point C et celle du centre de gravité G du système sont des coniques semblables ayant l'origine comme foyer.

ViLUÉ. — Comp. III. i6

187. Deux points matériels M et M.^, de même masse m reliés par un fil inextensible et sans masse de longueur 2/, sont assujettis à glisser sans frottement sur un plan horizontal xOy. Ces points sont sollicités par des forces ¥ et¥^ dirigées vers Ox perpendiculairement à cet axe et égales respectivement au produit de la masse ni par les distances MP, MiP, des points à Vaxe, Mouvement du système.

On appellera Ç, vj les coordonnées du point Q^ milieu

du segment MM<, et 6 C angle de ce segment avec

Vaxe Ox {fig- 32).

(Paris, juillet 1891; 2® question.)

Les équations du mouvement du centre de gravité sont

dt^ "'^^ '^"^'d^ =— m(7-hjKi)=-2/nr),

d'où

(i) J = a-f-6^, T) = c sirK'^ -4- t);

la trajectoire du point C est une sinusoïde.

Fig. 32.

Considérant le système comme un corps solide, son mouvement autour du centre de gravité est une rotation dont l'accélération angulaire est donnée par la formule

(^20 Mom' F -4- Mom* Fi (F — F,)/cosO . ^ .

= = -z=z^ ^-L- = — sin6cos6:

dt^

iml^

en la mettant sous la forme

dt^

= — sinîiO,

on reconnaît que si l'on considère la droite CM' faisant avec Ox l'angle •26, le mouvement relatif de cette droite est celui d'un pendule de longueur g.

L'équation (2), intégrée une première fois, donne

(3) (^)=A.si„.0;

cette équation montre que le mouvement relatif de la droite MM| est révolutif ou oscillatoire suivant que k^ est supérieur ou inférieur à l'unité.

Dans ce dernier cas, posons

Â:2=sin2a, o<a<-j

6 oscillera entre ± ol, si l'on choisit la direction positive

de l'axe des x telle que <I On «< - •

Enfin, si /:* = i , on a

dl

et 8 n'arrive à sa valeur limite =b - qu'au bout d'un temps

infini.

Ce qui précède suppose que les deux points sont réunis par une lige rigide, ou, s'ils soni reliés par un fil, que la tension T du fil esl positive. A partir du moment où la tension change de signe, chacun des points redevient libre et se meut suivant la loi obtenue pour le centre de gravité, jusqu'à ce que la distance des deux points redevienne égale à 2/ et alors il y a percussion, à moins qu'à celte époque les projections des vitesses sur la direction du fil ne soient égales et de même sens.

Calcul de la tension. — L'une des équatious du mouvement du point M, est

/».-^^=-Tcos6;

or d'où

et

ari = 5 H- /cos6,

sinB -h -j-^ cos6j = — /cos6(Â:'— 2sin'6)

Si A-^^ 2, le mouvement relatif de MM| est révolutif et T reste au moins égal à zéro.

Si 2 >> A'^^ 1, le mouvement étant révolutif, T change de signe ; il en est encore de même dans le cas du mouvement oscillatoire, car la racine positive de l'équation

k^ — 2sin'6 = o est inférieure à a.

Enfin, si ^"2= 1, T s'annule pour

188. Un fil AB est suspendu à un point fixe A et porte à son extrémité B une masse m, dont les dimensions sont assez petites pour qu^on puisse r assimiler à un point matériel.

Un second filBC^ de même longueur que le premier, est suspendu au point B et porte à son extrémité C un point matériel de masse m^. On demande quel sera le mouvement de ce double pendule en supposant :

1° Que le mouvement se passe dans un plan vertical^

2° Que toutes les résistances passives sont négli — geables;

3° Que les oscillations sont très petites.

On désignera par l la longueur de chacun des fils et par 6 et 8| les angles de AB et BG avec la verticale.

On supposera les angles 9 e^ 6| assez petits pour qui on puisse, sans erreur sensible, remplacer sinô,

sîn6< ; cosô et cos6| par 0, 0,, i , i --

(Paris, juillet iSgS; 2* question.)

Les coordonnées des points B et G sont

a7 = /sin6, ^ = /cosO, Xi = /(sinÔ -f- sin6i), yi = /(cos6 -f- cosOi) ;

on en déduit les expressions des carrés de leurs vitesses

i;2= /îO'î, (;2 = /2[e'2-+-e'i2 4-2e'6; cos(0i— e)],

et celle de la force vive du système

iT = l^[{m -t- mi)0'2^ miO'i^-h amiO'O; 008(61— 0)];

il y a d'ailleurs fonction des forces

U = g{my -\- miyt) = gl[{^ -+- ni\) cos0 -f- /nicosôi].

Pour étudier les oscillations infiniment petites nous devons, d'après l'énoncé, négliger les termes d'ordre supérieur au second, ce qui donne

2T = /2[(,^i^;yij)O'2^,^j0'^2^2/n,e'o;],

u = — — [( m-f- mi ) 02 -4- /ni 0; ] -f- const. ,

et l'on a

Arp ^T* ^T T

— = /2[(/n-(-/ni)6'-i-/n,e',], ^ = o, -^ =— ^f (m + /w,)e;

Les équations de Lagrange prennent alors la forme simple

/[(m H- /ni)0"H-miO'(]-f-^(m -h mi)6 = o, /(6'-l-0'O-+-^0i = o;

ce sont des équations différentielles simultanées du second ordre, linéaires et homogènes, que Ton intégrera en posant

6 = X cos(r< H- [jl), Oi = Xi cos(r< -f- [jl),

les constantes X, Xi et r devant satisfaire aux deux équations

X(/72 -4- mx] {g — Ir^) = \ilmir^j Xi(^-/r2) = X/r2;

l'équation en r^ est donc

( m -f- mi ) ( ^ — //'* )2 = /ni l^ /•*, ou bien

ml^r'* — igl{m -+- mi)r*-h (m -h m\)g^= o,

équation du second degré en r^ qui a ses deux racines réelles et positives; pour chacune d'elles on aura un système de solutions particulières qui contiendra les constantes arbitraires A et |jl. En ajoutant ces solutions on aura l'intégrale générale

6=X cos(ri/ -I- [jl) -h X' cos(r2^-h [jl'), 6i = Xi cos(/'i^ H- [jl) -h Xj cos(r2< -f- [jl'),

avec

soit en tout quatre constantes arbitraires qui seront déterminées par les valeurs initiales de 8, 8< et de leurs dérivées premières.

Si l'on dispose des conditions initiales de façon que X' soit nul, il en sera. de même de )/j et les équations du mouvement seront

= X ços(ri^ -+- [jl), 6i = Xi cos(ri<-i- p.);

le mouvement sera une simple oscillation pendulaire. D'après ces deux formules, les angles et ô^ restent proportionnels dans tout le mouvement; il en résulte que les

conditions initiales qui donnent ce mode d'oscillation sont celles pour lesquelles les vitesses de rotation (-j-

-jj-j sont proportionnelles à 8© et (6« )o.

189. Un tube rectiligne homogène AB, de section infiniment petite et de masse m, est mobile dans un plan horizontal xOy autour de son milieu O, qui est fixe. Un point matériel M., de même masse m, glisse sans frottement dans le tube et est attiré par O proportionnellement à la distance. Trouver le mouvement du système.

On appellera mk^ le moment d^ inertie du tube par rapport au point O, V angle xOk. que fait le tube avec Oj:, r le rayon vecteur OM, ^mr la valeur absolue de V attraction du point O sur le point M.

On étudiera le mouvement en supposant que les va-

leurs initiales de r. -r:> -n soient

' cit at

dr d^

On cherchera en particulier la forme de la trajectoire du point M suivant les valeurs- attribuées à r^. Cette trajectoire peut-elle être un cercle?

(Paris, juillet 1890, 1^ question).

Les seules forces extérieures au s^^stème étant la réaction du point O sur le tube et la force attractive de O sur M, la somme des moments des quantités de mouvement par rapport au point O est constante, donc

le mouvement de rotation du tube a toujours lieu dans le

même sens, el la vitesse angulaire varie en sens inverse de r.

Le théorème des forces vives fournit la seconde équation du mouvement

l'élimination de ,- donne

dt

^^ . ■±.dr yjr^ -^ k^ 4 ^'' )/r^-\- k^

d'où l'équation différentielle de la trajectoire

\/f{r^)\/r^-hk^

ce qui ramène le problème aux quadratures.

Avec les données de l'énoncé, on a les valeurs des constantes

c = tOo(/'5 + k^), h^= 0)2 (rj -f- k^) -h {JirS, et le polynôme /(r*) prend la forme

/^r2) = (7-2- rj) [^l{rl + k^)- ^{r^^ k^)]

en posant

^, (Oo2r2 -4-^-2(0)2 -,X) ' 1 — •

Si r, est réel, c'est-à-dire si

A-2(tx-a)2)

r oscille entre r^ et r,, et la trajectoire du point M est une courbe sans inflexion, tangente aux cercles de rayons r©

et r< ; toutefois, sî Ti = o, on a

dt = — ;

r)/\L{rl — r^)

ce n'est qu'au bout d'un temps infini que /• est nul et la courbe est une spirale asymptotique au point O.

Si r^ est imaginaire, r varie entre ± To, la courbe se compose d'une infinité de boucles égales qui se coupent à l'origine et sont tangente^ au cercle de rajon Tq.

Enfin, le point M ne peut décrire la circonférence de rajon r© que si r*;f = r^, ou (Oq = y/[jL.

190. Les extrémités d^une droite matérielle homogène AB, de masse m et de longueur 2 a, peuvent glisser sans frottement sur une circonférence horizontale de rayon R. Un insecte de même masse m se trouve posé au milieu G de la droite supposée immobile, A V instant t =0, l'insecte se met à marcher le long de la droite AR^ de G nersQ, en parcourant des longueurs égales de cette droite en des temps égaux. Trouver le mouvement du système; calculer l'angle dont la droite a tourné à partir de sa position initiale quand l' insecte est arrivé à V extrémité B (^fig, 33).

On appellera 6 V angle que fait avec un axe fixe Ox le rayon vecteur OG = /• joignant le centre O au milieu G de la droite, la distance GM de V insecte M au point G, p = p« (p constante),

(Ecole Normale, 1891, 2* question.)

Les forces extérieures agissant sur le système formé parla droite et l'insecte sont la pesanteur et les réactions normales de là circonférence sur les extrémités A et B de la barre. Toutes ces forces ayant leurs moments nuls par rapport à la verticale O^ du point O, la somme des mo-

25o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

ments des quanlilés de mouvement autour de O est constante et, comme elle est d'abord nulle, puisque l'insecte et la barre partent du repos, elle reste constamment nulle. Calculons cette somme, elle se compose :

Fig. 33.

1^ De la somme des moments des quantités de mouvement de la droite par rapport à O, qui a pour valeur

dt \ ^ J dt'

2° Du moment de la quantité de mouvement de l'insecte M,

dt

expression qui représente d'ailleurs la somme des moments des quantités de mouvement relatif et d'entraînement, et qui aurait pu être écrite de suite.

On a donc

dtV'"-^-^^'"n^'^'=-''^

r vt

= Oo arctang

Quand l'insecte est arrivé en B, on â vt=: a, et

= 6o — — arc tan g

Dans le cas particulier a = R, 6 reste constant ; ce résultat était aisé à prévoir, toutes les forces agissant sur la barre, y compris le frottement exercé par l'insecte, étant dirigées suivant sa direction.

La méthode de Lagrange est applicable au problème actuel, bien que l'insecte ne puisse se mouvoir sur la barre qu'en vertu du frottement qu'il y développe. En effet, la condition unique pour que cette méthode soit applicable est que la somme des travaux des forces de liaison soit nulle pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'époque considérée; or, si l'on fait t = const. dans l'équation de liaison p = vt, il en résulte que l'insecte est en repos relatif, et alors le déplacement virtuel compatible est le même pour l'insecte et le point de la barre où il se trouve; l'action et la réaction étant égales et directement opposées, la somme de leurs travaux virtuels est nulle.

Dans le problème actuel, on a, pour la force vive totale du système, en posant OM = /,

or

^ = -r' dt =^"^7i'

d'où, en substituant,

OÙ l = y/r2 | ç'2 l'i n'est fonction que du temps.

D'ailleurs

U = o et -TA = o;

Téquation du mouvement est donc

dT

jô? = const.,

ou

('/'*-Hy^e'-f-/2e'

-+- çr = c,

et la constante est nulle en vertu des données initiales; nous retrouvons ainsi Téquation obtenue directement.

191. Étant donné un plan vertical ^xe xOy, on considère le système constitué :

I® Par une plaque homogène, pesante, ayant la forme d^un demi-cercle de rayon a et reposant, par son diamètre, sur Vaxe horizontal Ox^ sur lequel il glisse sans frottement ;

2" Par une tige rectiligne AB, homogène, pesante, infiniment mince, dont les extrémités A e^ B glissent sans frottement, Vune sur Vaxe O^r, Vautre sur la circonférence du disque, La masse de cette tige est supposée égale à celle de la plaque, et sa longueur égale au rayon a. Trouver le mouvement du système.

Déterminer les constantes dans le cas particulier où le système part du repos, la valeur initiale de V angle BA^ étant de So"* {.fi^g* 34).

(Paris, juillet 1894, 1^ question.)

Le problème comporte deux inconnues, la distance OA = ^ et Tangle BA j: = ; pour les obtenir, nous appliquerons les équations de Lagrange.

L'abscisse du centre C de la plaque est x -^ iaQ,o%h\ la plaque étant en translation rectiligne, sa force vive a

pour valeur, m étant sa masse,

fdx ^, . \^

celle de la barre est, en désignant par Ç et yj les coordonnées de son centre de gravité,

d'ailleurs

t = x-\ — cos6, Ti = -sinO:

d'où l'expression de la force vive totale du système 2T = m Ux"^— 5 ax'^' sinO -i-4a20'2 sin26 -\- ^^-^\ La seule force indépendante des liaisons étant la pe-

Fig. 34.

sauteur, dont le travail sur la plaque est nul, on a

U = — nigr\ =— - J mga sinO;

yrr\

elle est indépendante de x^ et comme — = o, l'une des équations de Lagrange se réduit à

dH

dx

-, = const.,

ou

dx

dt

4— — 5a— ,sine = A',

h = a^sineo=ia^,

nouvement deviennent

4a? -h 5acos6 = o,

équation en 8

lie Xf jusqu'à 8 = 0, tandis que la en croissant ; pour 8^0, il y a

révolution homogène, pesant,

sur un plan horizontal, sur

frottement. Suivant l'axe de

canal^ de section infiniment

ve un point pesant, de même

lasse m, pouvant glisser sans frottement le long du anal.

Etudier le mouvement du système en supposant le ylindre lancé sur le plan,

(École Normale, 1896; 1^ question.)

Le centre de gravité O du système, situé sur Taxe du ylindre à égale distance du milieu G de cet axe et du »oint M, est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme lans le plan horizontal sur lequel il est assujetti à se mouoir. Nous étudierons alors le mouvement du système reativement à des axes en translation avec le point O, en e traitant comme un mouvement absolu.

Prenant les mêmes notations qu'au n** 185, nous aurons Tabord cp == o ; la force vive du cylindre relativement à des axes en translation avec le point G est, en tenant compte

deB = C,

soit GM = 2 p, les coordonnées polaires du point G sont p ôt di, et la force vive de ce point, en lui attribuant la Dasse m du cylindre, est

nfin celle du point M est la même; on a donc, en posant

expression de la demi-force vive du système

ti fonction des trois variables p, 9 et ^. Appliquant les cjuations de Lagrange, en remarquant que ôU = o, on a 'abord O'=const. ; le cylindre tourne uniformément au- Ourde son axe. Ce résultat pouvait se déduire immédiaementde l'équation d'Euler

qui devient -^ = o, puisque les forces agissant sur le

cylindre, pesanteur, réaction du plan fixe et pression du point M, rencontrent l'axe Gx du cylindre.

L'équation en ^ nous donne ensuite

t^'(A:2-f-pî) = const.

et celle des forces vives

ces deux dernières équations sonl identiques à celles que nous avons obtenues (n"* 130 et 173) et donnent lieu à la même discussion.

193. Quatre points matériels, de masses égales, assujettis à rester sur un plan donné fixe et parfaitement poli, occupent les quatre sommets d^ un losange articulé dont les côtés sont constitués par quatre tiges rigides et sans masse appréciable. On imprime au système un mouvement connu dans le plan donné et l'on propose de déterminer le mouvement ultérieur, en admettant qu' aucune force extérieure nHntervienne et qu'il ne se produise aucun frottement aux articulations.

Pour déterminer le mouvement qui aura lieu après que deux des points seront venus se choquer, on regardera ces points comme des corps absolument dénués d'élasticité.

Examiner en particulier le cas où, à l'instant initial, les milieux de deux côtés opposés du losange auraient des vitesses nulles,

(Caen, juillet 1884.)

Aucune force extérieure n'agissant sur le système, le mouvement de son centre de gravité G ou centre du lo-

sange est rectiligne et uniforme, et ce mouvement n'est pas modifié par le choc, puisque la percussion est intérieure.

Nous étudierons donc le mouvement du système relativement à des axes en translation Gx et Gy, Soient m la masse d'un point, a le côté du losange, l'angle de la diagonale CA avec Gx et a Tangle de cette diagonale avec le côté AB; les coordonnées de A sont

a? = acosa cos6, j^ = acosa sin6,

et celles de B

a? = a sina sin6, y= — asinacosO;

la force vive totale a donc pour expression

2T = 2ma2(e'2-4-a'2),

et comme 5U = o, les équations de Lagrange donnent

6'= const. = (Ot, a'= const. = 0)2.

Les mouvements révolutifs des diagonales et des côtés par rapport aux diagonales sont uniformes.

La percussion due à la rencontre des points B et D en G étant intérieure, la somme des moments des quantités de mouvement du système autour de G, ou

dt

n'a pas changé, donc 8' conserve la même valeur constante iûi ; les points B et D prennent le mouvement du centre de gravité et la droite CA continue à tourner autour de G avec la vitesse angulaire (o<.

Dans le cas particulier où les milieux de deux côtés opposés ont des vitesses initiales nulles, il faut d'abord qu'il

ViLLiÉ. — Comp. III. l'j

en soit de même de leurs vitesses relatives, puisqu'elles soDt égales et de sens contraires, et il faut, de plus, que le centre de gravité soit au repos.

Supposons que ce soit le milieu de AB dont la vitesse initiale soit nulle, les coordonnées de ce point étant

J — -cos(0 — a), '/; = -sin(6 — a),

on a

dt) '^\di) ~ T \ dt ) '

et il faut que ^'(f= aj, ou (Oj = (O2.

Si le point de vitesse initiale nulle est le milieu du côté AD, on trouve de même (0| = — w^ et comme (O2 <[ o, puisque ce sont les points B et D qui se rencontrent, la rotation de la droite GA a lieu dans le sens direct dans le second cas et en sens inverse dans le premier.

19-4. Dans un vase se t rouirent deux liquides homogènes superposés; le liquide supérieur A est uniquement pesant; le liquide inférieur B est pesant et^ de plus, ses éléments sont attirés par un point fixe O proportionnellement aux masses et aux distances, La pression extérieure sur la surface libre est supposée nulle :

à" Le système étant en équilibre^ trou\>er la valeur de la pression en un point quelconque de la masse, la forme de la surface libre et celle de la surface de séparation;

2° Déterminer les constantes en faisant les hypothèses suivantes : le vase est un cvlindre de révolution d^axe vertical, de rayon R; la masse de ^ unité de volume de chaque liquide est [ji; le volume de chaque liquide est IttR^ ; le centre attractif O est au centre de

base du cylindre et son attraction sur un point de B de masse m placé à la distance r de O est -~-^

(École Normale, 1894; 2* question.)

i® Nous prendrons le centre d'attraction O pour origine et l'axe des z dirigé suivant la verticale descendante.

La différentielle de la pression p en un point quelconque ' du liquide B est donnée par la formule

dp = \t.{gdz — frdr)\

d'où

p= ^(igz — fr^)-^c\

les surfaces de niveau ou d'égale pression sont des sphères concentriques ayant leur centre C sur Os au point •^ — ^ .

Pour le liquide A,

les surfaces de niveau, ainsi que la surface libre p\ = o, sont des plans horizontaux.

La surface de séparation des liquides satisfait à Téquation ^ = ^1, ou

qui représente une sphère

dont le centre C| est situé sur Oz^ à la distance il est au-dessus du point C.