cos^cp et divers cas sont à distinguer

/:->>—• — Le mouvement en o est révolutif; o' es

maximum pour cp ==: o ou ir et minimum pour cp = - ou — ; V est maximum qyand cp' est minimum et inversement.

A*2< ^. — Le mouvement en o est oscillatoire, Tam-

plitude de l'oscillation est inférieure àTiet 8' est minimum au point milieu cp = o ou (p = t:.

A2-£!. - ^'2= ^'^^^'? ; Tangle o n'atteint sa li-

mite ±: - qu'au bout d'un temps infini.

3** Les points A et B coïncident. On a a = o, 6 = /',

2T = A]^[cp'î-H 6'2({ + cos^cp)] ;

le mouvement est de même nature que dans le cas précédent.

185. Un corps solide pesant, non homogène, ayant la forme d^un cylindre de révolution, est couché sur un plan horizontal fixe P sur lequel il peut glisser sans frottement. On suppose que le centre de gravité G du corps est sur Vaxe de révolution Gx du cylindre et que cet axe est axe principal dUnertie relatif au point G. Trouver le mouvement du solide supposé lancé sur le plan.

On appellera A, B, C les moments dHnertie du corps par rapport aux axes principaux G^, Qy^ Gz relatifs au centre de gravité,

(École Normale, 1895 ; 2* question.)

Le centre de gravité, assujetti à se mouvoir sur un plan horizontal, est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme, puisque les deux forces auxquelles le corps est soumis, pesanteur et réaction du plan, sont verticales.

Le mouvement du corps relativement à trois axes G$, Gy|, GÇ, en translation avec le point G, est celui d'un solide ayant un point fixe et sur lequel n'agissent que des

MOUVEMENT d'uN CORPS SOLIDE. 289

forces de liaison. Prenant l*axe GtJ vertical, l'un des angles d'Euler, cp = o, et, pour déterminer les deux autres, nous appliquerons les équations de Lagrange à ce mouvement relatif.

La force vive relative a pour expression

2T = A/?2-i- Bgr*+ Gr2= AO'2-h f 2(B sin^Ô + G cos^ô);

d'ailleurs U = o : l'équation de Lagrange relative à la variable A est donc

^'(B sin2ô -f- Gcos^e) = const. = k;

l'angle ^}i de O^r avec OÇ varie toujours dans le même sens.

L'équation des forces vives nous donne ensuite

A6'2-h t^'2(B sin^ô -4- G cos20) = ^2.

d'où l'équation en 9

A fi'2 i - — A2

^" ^Bsin2e-t-Gcos2 ~^ '

Pour étudier les variations de l'angle 8, nous remarquerons que l'on doit avoir

;i2(Bsin2Ô4-Gcos20)^A:2;

prenant pour axe des z celui des deux axes d'inertie Gy, G^, dont le moment est le moindre, on a B >> G, et l'inégalité précédente peut s'écrire

. ... X:2-GA2 sin20 >

inégalité dont le second membre est inférieur à l'unité, puisqu'elle est vérifiée pour ô = 9o. Trois cas peuvent alors se présenter :

1® k' — C/i2<;o. — L'inégalité est toujours vérifiée, Ô' ne s'annule jamais et le mouvement en 8 est révolutif ;

2® A'2 — C/i2>o. — Posant alors

on devra avoir sin^ô^ sin^a; l'angle 8 oscille entre les valeurs a et Tz — a, ou entre tt + a et 2tu — a, suivant la valeur initiale de Tangle 8.

La vitesse angulaire A' est minimum pour sin^O^i, qui rend 8' maximum, tandis que ^' est maximum quand 6' passe par zéro, c'est-à-dire quand sin^O = sin^a.

30 A-2— CA2=ro. — On a

dtr=±zhi/ ^ ^ ^-. c?0,

y B — G sino

et ce n'est qu'au bout d'un temps infini que 8 atteint sa limite o ou tt.

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