INST K IM EN' T S D0PT1QI K. !M

système réfringent primitif. Or, il est facile de voir que

1 1 jS„ -e A- h /3„ i

K v' K - > Un, Bn„ n.

Donc, la lentille inlininienl mince «pie l’on devra placer en K pour obtenir les changements de direction des rayons devra avoir "" pour distance focale. Pour revenir nn\ conventions de (iauss sur les signes, cette distance focale doit s’écrire — et alors la lentille est convergente lorsque celte quantité ^ est positive; elle est divergente si cette quantité est négative. La considération de celte lentille nous servira dans le cas où n'—n0, qui est celui où nous nous plaçons, exactement comme la surface réfringente nous servait dans un cas plus général; nous mènerons donc par les points d’incidence sur le premier plan principal des parallèles à l’axe, jusqu'à la rencontre du deuxième plan principal ; puis, par les points de rencontre, nous mènerons des parallèles aux rayons déviés par la lentille unique; nous aurons ainsi une construction facile des rayons déviés par un système de milieux et de surfaces, (ieci revient, comme on le voit, à effectuer d’abord la déviation des rayons, puis à opérer une translation de- ceux-ci d’une quantité égale à la distance des deux plans principaux.

520. Simplification de la construction du rayon émergent. — La construction géométrique peut être simplifiée d’une manière remarquable dans le ras où les milieux extrêmes sont identiques. En effet, nous venons de voir que par le point que l’on connaît déjà du rayon émergent, c’est-à-dire le point (.’!). il faut mener une droite dont la projection sur le plan xy ail pour coelli-

cient d’inclinaison -• Or, que l'on joigne le point (i) (lig. 3tü) au premier point principal E : la droite ainsi déterminée a pour coefficient d’inclinaison de sa projection sur le plan xy le rapport de l'ordonnée de ( i ) à la distance EE; c’est donc

Mais, à cause de la relation F — E = ^°> l’expression précédente se réduit à donc la droite (1) E est parallèle au rayon émer-

gent. Ainsi, dans le cas où le dernier milieu est identique au premier, on tracera la droite (i) E. et par le point (3) on lui mènera une parallèle.

Dette construction nous montre que tout rayon incident qui passe au premier point principal correspond à un rayon émergent qui

Fig. Sia.

passe au deuxième point principal et qui est parallèle au rayon incident : on retrouve ici les rayons sans déviation de la théorie ordinaire des lentilles. Nous arrivons donc à cette proposition : Dans un système de milieux réfringents dont le premier et le dernier sont identiques, il existe deux points tels que tout rayon incident passant au premier correspond à un rayon émergent qui lui est parallèle et qui passe au deuxième point. Dans le cas où l’on n’a qu’une lentille, le rayon réfracté dans l’intérieur passe par le centre optique.

521. délation entre l’objet et l'image. — Les relations établies précédemment font connaître les distances des plans focaux aux plans principaux; on a

Des distances s’appellent distance » focales du système. La première distance focale est l’excès de l’abscisse du premier plan principal sur celle du premier plan focal; la deuxième est l’excès de l’abscisse du deuxième plan focal sur celle du deuxième plan principal. Les distances focales sont égales si M„*=n'.

L’introduction des distances focales dans les formules les rapproche singulièrement des formules de la théorie élémentaire.

INSTRUMENTS D'OPTIQUE. 91ô

Nous commencerons par nous servir de ces distances focales pour simplifier l’expression du grossissement du système et la relation des positions de l’objet et de l’image.

On a vu ijue si £, e , £ désignent les coordonnées d’un point où passe le rayon incident, le rayon émergent passe en un point dont les coordonnées Ç'. sont données par les relations

nji g (£- AJ J-AiÇ-A.

" AJ*

En remplaçant A0 et A', coordonnées des sommets des surfaces extrêmes, par leurs valeurs en fonction de celles des plans principaux, savoir :

ces coordonnées prennent la forme

- gl + g) - y l£ - E)

AiE- £)

-!<-</) £ [«.+ A (K- £.] - «.* [(j- «) J - g (É - E)] k n.-t-At(K-£)

... LV w'(E — g)

n,+A(E — Çl’

Ces formules, d’une simplicité remarquable, permettent d’obtenir

nous lino forme commode lu relation qui lie E', ç el E. On ii en effet la valeur de E’, el par suite de l’inverse

et, en niulliplianl tout para’,

Telle est la relulion nui lie les distances de l'image el de l’objet aux plans principaux. Dans le cas où /»'=»„, elle devient

qui est toul aussi simple el incomparablement plus exacte que U formule donnée par la ihéorie élémentaire

dont elle a du reste la forme. On voit que, si les plans principaux coïncidaient, l’effet du système serait celui d’une lentille infiniment

mince dont -t-' serait la distance focale; or, on peut imaginer qu’ils

coïncident, puis transporter les rayons émergents, parallèlement, d’une quantité égale à la distance des deux plans principaux, et l’on aura ainsi les rayons émergents dans leur vraie position. C’est une nouvelle démonstration de la construction que nous avons donnée de ces rayons par la considération d’une lentille infiniment iniuce.

Il existe des valeurs de a', £ en fonction îles abscisses F, F’,

«les plans focaux et de la distance focale^"; rien n’est plus facile que

de les déduire des valeurs précédentes, en se reportant aux relations

U vient alors

f-FV

"■+fc(K-ï“e)

AMU- ç;

Considérons le cas où n-—nc et posons — j »- 0 , £ étant la distance focale de la lentille infiniment mince dont il vient d’étre question. Nous avons vu qu’on a déjà la relation extrêmement simple

on a de plus, d’après les valeurs de çf, a'. que nous venons de trouver.

et par suite

Ce rapport est une expression très-remarquable du grossissement : c’est le quotient de la distance focale par la distance du premier

foyer au point lumineux. On peut la comparer à l'expression ^ -j ■ qui est une valeur bien moins exacte du grossissement dans la théorie élémentaire, et qui a la même forme que la précédente. Suivant

que ^ est positif ou négatif, l'image est droite uii renversée.

Enfin , on a

Fl ’ ~ -T"

dont la discussion permettra de trouver les relations de grandeur et de position i|u’on recherche ordinairement dans la théorie élémeirtaire, avec une approximation indéterminée.

521 où dn rayon*» Inridrnli parallèle» émergent parallèlement. — Nous axons, dans ce (pii prérède, ramené la théorie d’un système quelconque de lentilles au degré de simplicité de la théorie des lentilles infiniment minces que l’on considère habituellement dans les cours élémentaires. Toutefois, les calculs sur lesquels sont fondées les déductions applicables aux instruments duplique souffrent une exception d’autant plus importante à signaler, qu’elle est réalisée dans tous les instruments dressés pour un mil infiniment preshxle. En edet, les abscisses des points principaux et des fovers deviennent infinies lorsque la fonction algébrique entrant au dénominateur, est nulle: par conséquent nos conclusions ne sont plus applicables, et ce cas doit être étudié spécialement. D'abord, quand se présente-t-il?

Considérons le raxon incident dont une projection est représentée par

«•t le raxon réfracté correspondant, dont la projection a pour équation

kh„ + 1&„ ... . . .

Dans l’hypothèse /. — o, le roeflirient de x est indépendant de bn; il reste le même pour tous les points où /3„ est le même. Comme ces remarques s’appliquent à l’autre projection des rayons considérés, on voit que dans ce cas les rayons arrivant parallèlement à une droite déterminée donnent des rayons émergents parallèles à une autre droite. Ce sont les systèmes ainsi combinés qui échappent à nos conclusions, et pour en indiquer un exemple il suflira de citer la lunette astronomique ajustée pour un œil infiniment presbyte: l’image des objets infiniment éloignés vient se faire au lover principal de la première lentille, et l’observateur met l’oculaire à une

distance telle que les rayons provenant de cette image sortent parallèlement à une direction donnée pour converger sur la rétine.

Mais cette exception est loin de constituer une lacune regrettable dans notre théorie des lentilles, car elle correspond précisément à des phénomènes d’une telle simplicité qu’il est inutile de recourir à la considération des plans principaux. Considérons en effet une des projections du rayon incident

et celle du rayon émergent

dans lesquelles A„, A' sont les abscisses des sommets des surfaces extrêmes. Nous pouvons donner à cette dernière équation la forme suivante :

et pour cela il sullil de poser ou bien

ou encore, à cause de la relation g/ /.7i = 1.

A'=A '~gkH\

ce qui définit la situation du point A’. Cela posé, nous pouvons déterminer le grossissement et construire les rayons réfractés.

D'abord, a, £ étant les coordonnées d’un point OÙ passent des rayons incidents, tous les rayons émergents vont passer en un point a’, £', et ceci d’après une démonstration indépendante de h; les valeurs Ç', a', sont dans le cas actuel, où le — o,

!)âO LEÇONS SUR L'OPTIQUE.

, . if' Y'

Elles foui voir évidemment que le grossissement ^ = ««=£>• est indépendant de £. Donc, dans un système de lentilles telles que des rayons parallèles émergent encore parallèlement, \q (jronsixtetnenl linéaire est indépendant de la distance de l’nlijet au système réfringent.

023. Point oculaire. — Démarquons i|ue si ç \„. c’est-àdire si le point dont on cherche l’image est situé dans le plan tangent au sommet de la première surface, on a

Ç V fri,"’ V.

Ainsi, le point A" (lig. .'I il>) est l'image d’un point situé au sommet île la première lentille: c’est ce point qu’on prend pour centre de l’anneau oculaire, et on l’appelle le point oculaire. Il va nous servir à la construction des ravons réfractés et à la détermination du grossissement angulaire.

En eil'et, supposons le point oculaire déterminé. Limage d’un petit objet situé dans le plan perpendiculaire à l’axe au point A„

est une surface plane passant par le point oculaire: mais comme on peut regarder tous les rayons incidents comme assujettis à couper le plan A0 à une petite distance de l’axe, il est certain que tous les rayons émergents passeront par un point de l'anneau oculaire, et il suffira de déterminer ce point.

Soit donc un rayon incident rencontrant le plan A„ en un point M, dont a, K sont les coordonnées: soit A" le point oculaire; le rayon émergent passera en un point M", dont les coordonnées n”, C sont déterminées par les équations

it-.

ce dernier point VI’ est donc connu. La direction du rayon émergent

est tout aussi facile à calculer, car ^ " définissant celle du ravon

incident, un sait que celle du ravou émergent est définie par

(iL, (?•, |,|| i,;,.,, 1 q>, 1 ?;■; C(. ritv„n est donc comnlélement délcrn n fi n if n • 1

miné.

Ainsi, lorsqu'un Faisceau de rayons incidents parallèles à une droite donnée tombe sur un système réfringent, on prend pour plan des sij le plan déterminé par l’ave du système et la direction du Faisceau: est la tangente de l’angle de ces rayons avec l'ave,

et. en supposant que ces rayons viennent du bord evtréine d’un objet dont l’autre bord est sur l’ave, c’est la tangente du diamètre apparent de cet objet; les rayons émergents sont parallèles à une autre

direction qui Fait avec l’ave un angle dont la tangente est^"< et ils vont former sur la rétine l’image du bord extrême de l’objet , l’autre étant sur le prolongement «le l’ave. Le grossissement angulaire est donc / Dans le cas où «pii se présente seul dans les ins-

n . in- l&

Iruments usités, le diamètre apparent de l’image est et par suili* / est le grossissement angulairi*.

52 A. OrMaiMrmrnt d’une lunette astronomique. —

On a vu «pie g est le grossissement liimnirc; or / = -•> donc le grossissement angulaire est l’inverse du grossissement linéaire. De

ttf. -li;.

là le procédé connu pour mesurer I : on cherche le rapport «les dimensions de l'anneau oculaire à celles de l’objet. Kn géinVnl . / est ce «pi'on appelle le grossissement de l’appareil.

Il est facile de reconnaître que le grossissement linéaire dans la lunette astronomique est indépendant de la position de l’objet lumineux. Soient en effet M, M' (fig. 317) deux lentilles infiniment minces dont F, f sont les distances focales, et qui sont situées à la distance 00'— F + f.

Soient p la distance de l’objet lumineux à la première lentille, et p' la distance OF de l’image a/3: on a

?+rv

Le grossissement linéaire est

li J;'

La distance FO' de l’image à la deuxième lentille est

on a donc, en désignant par p" la distance è cette lentille de l’image A'B\

et le grossissement linéaire par cette deuxième lentille est

Donc le grossissement total de la lunette est

F / F J Vf = /

p— K K — /)' p-V „ pV V (p—F) — pV F

Cette expression 11e contient pas p: donc le grossissement est indépendant de la distance de l’objet à la lunette.

Le signe — signifie que, si la première image est réelle, la deuxième est virtuelle.

525. Cm d’une lentille unique. — Revenons maintenant à nos formules générales et appliquons-ies au cas d’une lentille unique.

INSTKUWKNTS Ü’OPTIQUK. 92:t

afin d’en tirer des formules simples qui seront utiles dans l’étude des instruments d’optique. Nous supposerons le premier et le dernier milieu identiques; ce n’est guère que dans la théorie de l’œil qu’il y a lieu de faire usage des formules dans toute leur généralité.

Dans le ras d’une seule lentille, la fraction continue qu’il faut considérer a la forme très-simple

Les quantités g, h,k, l. qui définissent les plans principaux et les plans focaux, sont les numérateurs et les dénominateurs des deux réduites de cette fraction, et sont égales à

#=1+11.1,, h = tt, A = u„+u, + «.«,<,. /=! + «,/,.

et dans ces expressions u„, I, ont le sens que voici ;

On a en général u0 = " ' I!" ; nous désignerons par n l’indice de

réfraction du verre, et comme les milieux extrêmes sont l’air, on a «„= i ; A. et C. sont les abscisses du sommet et du centre de courbure de la première surface; nous poserons A„ C.-- — R, en comptant R comme positif dans le sens des abscisses croissantes. On a, d'après ces conventions,

La valeur de t, est désignons par e l’épaisseur A, A., qui

est toujours positive, il viendra

Soit R' le rayon de la deuxième surface; l’expression générale

se réduira ici à

•124 LEÇONS SUK I/OPTIQIJE.

Substituons ces \aleurs de u„, u,. t, dans les expressions de //■, li, le, I: nous aurons

JL ’

il I il — I II I II — I I*

n "* u ir ‘ iv v

,11— i <■ r IV '/<'

Maintenant il esl facile de trouver les plans principaux, les foyers

et la distance focale. D’abord, la distance focale ^ ^ valeur unique, puisque ».= «'; celle valeur esl

Il IV

a une

<1—1 II I II — I c

ir ir 'T'ii

Il IV c

Les points principaux sont déterminés par

TT-f'*.

»i — î zi

Il IV c

ii — i ii — i n

IV c n — i ii