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pour le deuxième point principal,

pour le premier foyer, pour le deuxième foyer.

et — ^ serait la distance focale d’une lentille infiniment mince, produisant sur les rayons les mêmes déviations que le système considéré.

527. Cm» particulier de deux lentille». — Un cas particulier mérite d’être considéré plus en détail; c’est celui d’un système de deux lentilles. Nous désignerons, pour simplifier, les distances focales de ces lentilles par 0 et tp'. Les valeurs de G, H, k\ L sont pour ce cas

d’où l’on conclut que la distance focale est

K Ç+Ç j K' —Ii’ l’abscisse du premier point principal

K |-L-p; i W-IJ d r' k + F.'— Ii

celle du second

Ces expressions sont, comme on le voit, composées avec E, 1', p, E'— I , comme les expressions correspondantes, relatives au cas d’une

lentille unique, le sont avec A„. A'. * * -•

On peut enfin chercher, dans ce système de deux lentilles, la distance des deux points principaux; son expression est

ou, en effectuant la division approximativement, par la raison que E' — 1 est très-petit par rapport à +

<p+<P-(E’-lf

Cette expression se réduit, en négligeant le dernier terme, à

I — E — 1' — E'. Donc la distance des deux points principaux d’un système de deux lentilles est égale, à très-peu près, à la somme des distanres des deux points principaux de chaque lentille.

528. Détermination expérimentale dea constante* d’un système optique. — Nous avons lait dépendre les propriétés d’un système optique quelconque des quatre expressions algébriques que nous avons appelées g, li, k, l ou G. H, K, L, suivant que le système est défini par les indices et les surfaces réfringentes ou par les points principaux et les distances focales des lentilles qui le composent. Ces quatre quantités se réduisent en réalité à trois seulement, car on a toujours gl — hk=i et GL HK = i. Donc tout système optique est connu, et l’on peut calculer son action sur des rayons quelconques, lorsqu'on a déterminé trois des constantes que nous avons définies: c’est maintenant de cette détermination que nous avons à nous occuper.

Les positions et les grandeurs relatives d’un objet et de son image dépendent de ces constantes: il est donc évident qu’il sutlira de les déterminer dans trois expériences différentes, pour obtenir trois relations qui sulliront pour faire connaître les constantes que l’on cherche. On arrivera d’ailleurs, de celte façon, à des équations du premier degré très-faciles à résoudre.

Ainsi, soient K, F’ les abscisses des deux foyers, et f la distance focale du système : nous supposerons que les milieux extrêmes sont les mêmes. Soient £, £ les abscisses de l’objet et de son image; on a entre ces quantités la relation

Or, prenons sur l’axe un point lixe à partir duquel on comptera les distances; soit I) son abscisse, et posons

La relation qui précède devient, après substitution,

Cette équation signifie qu’entre les distances d’un point quelconque

de l’axe à l’objet , à son image et aux foyers, on a la même relation qu’entre les distances comptées de l’origine. Dès lors une deuxième expérience donnera une équation de même forme,

et une troisième expérience donnera (V p)(b" -

Dans ce système de trois équations, a. a', b, b', b * sont des quantités que l’on mesure; p, q,f s’obtiennent en résolvant les équations. Pour avoir p etÿ, on élimine le terme du deuxième degré pq en écrivant

on a de la sorte p et q au moyen de deux équations linéaires et sans aucune ambiguïté. Après quoi, l’une quelconque des trois équations précédentes détermine f1, et par conséquent /, au signe près; mais le signe est donné par la situation même de l’image dans les expériences. Ainsi, lorsque l’objet lumineux est très-éloigné. une image droite prouve que y est négatif; une image renversée correspond, au contraire, à une lentille convergente, et par suite f est positif.

Une fois p,q et /connus, on a par là même F, F', puis /, c’està-dire trois fonctions connues de on peut donc déterminer

ces trois constantes.

Il est commode, pour la symétrie des équations, de prendre trois cas où les images de l’objet soient réelles; mais cela n’est pas indispensable, et, pour rendre les équations très-différentes les unes des autres, on peut parfaitement se servir d’images virtuelles. Pour cela, il suffit d’avoir un système optique tel qu’un microscope parfaitement connu, et de le placer sur l’axe de la lunette en une position telle que l’image virtuelle en question produise une image réelle sur les fils du réticule. Dans tous les cas, la condition à remplir est d’avoir trois équations assez différentes pour que l’incertitude des mesures n’influe pas sensiblement sur les résultats.

032 LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

Connaissant /V n grandeur et en signe, on a aussitôt k par l’équalion

Quant à g, /, on les tire des équations

dans lesquelles on connaît F. F’ par les calculs précédents, k par l'équation ci-dessus, et enfin A,. .V par des mesures faciles à effectuer, puisque ces quantités sont les abscisses des sommets de la première et de la dernière surface. D’ailleurs m„ et 11' sont égaux à i .

C'est ainsi qu’on détermine les coefficients d’où dépendent tous les effets d’un instrument d’optique.

Parmi les dispositions que l’on peut donner aux trois expériences, il en est une qui est très-commode. On reçoit les rayons parallèles k l’axe sur le système donné, et ils convergent au deuxième foyer: puis on retourne le système pour les faire converger au premierfoyer: on a ainsi F' et F. Une troisième expérience donne y : on se place dans des conditions aussi différentes que possible des précédentes, et pour cela il suflil de rapprocher l’objet lumineux du système optique, autant qu’on le peut sans cesser d’avoir une image réelle de l’autre côté. Dans une expérience ainsi faite, on mesure «, b, et l’équation

donne C sans difficulté.

529. Théorie île» micromètre» «stronomlquM. — Cette étude générale des instruments d’optique n’a pas une utilité qui soit dans tous les cas très-apparente. Mais elle est indispensable pour la solution générale d’un problème qui se présente souvent en astronomie, et dont Bessel et quelques autres astronomes n’avaient donné ipie des solutions particulières, (."est à Gauss que l’on en doit la solution générale.

Dans les instruments astronomiques destinés à des observations

mirrométriques, par exemple à la mesure du diamètre apparent des planètes ou de la distance des étoiles doubles, l’observateur déplace deux lils tendus au foyer d’un oculaire positif jusqu'à ce qu’ils soient tangents aux bords de l’astre ou situés devant les étoiles: la distance des deux fils est connue avec une très-grande précision , et c’est de là qu’on déduit le diamètre apparent de l’objet ou la distance angulaire des étoiles. Il sullit, dit-on généralement, de joindre le centre optique de l’objectif aux extrémités de l'image réelle de l’objet, et dans ce triangle l’angle au sommet est celui sous lequel on verrait l’objet du centre de l’objectif. Mais cette construction est inexacte, et nous avons démontré qu'il faut, par le premier point principal, mener des parallèles aux rayons lumineux qui partent des bords de l’objet; des parallèles à ces mêmes lignes, menées par le deuxième point principal, vont loucher les bords de l’image, dont on connaît la grandeur et la position: on peut, par conséquent, déterminer l’angle au sommet de ce triangle avec une grande précision.

On voit que l'incertitude de la première construction porte sur la hauteur du triangle dont l’image de l’objet est la base: avant que l’on connût la théorie de Gauss, on plaçai t le sommet de ce triangle soit au centre optique, soit au sommet extérieur de la lentille : l’erreur résultant de cette inexactitude est faible sans doute, mais trèssensible, et, pour en donner une idée, nous prendrons un exemple, en faisant abstraction des conditions d’achromatisme qui compliquent la recherche du deuxième point principal.

Soit un objectif non achromatique, limité par des surfaces sphériques convexes dont les rayons sont l’un et l’aufrc de o mètres; soit u = 1 ,5 son indice de réfraction. La position du deuxième point principal se déduit de la théorie des lentilles par la formule

La distance focale est sensiblement égale à R, et nous pouvons négliger l’erreur en posant ^ =- i ; alors on a

T«îlle est la distance du point cherché au sommet extérieur de la lentille, car R est négatif. Cette distance — - - e égale — ^ e: le

deuxième point principal est donc situé au de l’épaisseur de la

lentille. Si donc on a pris la distance du foyer à la surface extérieure pour hauteur du triangle, on a fait sur celte hauteur une erreur de .^c: si l’on a pris le centre optique pour sommet, l’erreur

est de ~e. L’erreur relative dépend donc du rapport de l'épaisseur à la distance focale. Supposant l’épaisseur égale à i centimètre, on trouve une erreur de 77^— ou île— — suivant qu’on admet l’une ou

l’autre de ces déterminations hypothétiques. Une telle erreur est faible; cependant, sur une distance angulaire de 1 Soo secondes, qui est environ celle des bords extrêmes du soleil, elle est de 3 secondes ou de 1 seconde et par conséquent excède de beaucoup

les limites des erreurs des mesures micrométriques. Il est donc illusoire de perfectionner le micromètre si on n’a pas aussi égard à la lentille; le perfectionnement apporté par Gauss à la théorie des lentilles a donc une importance de premier ordre.

On peut en dire autant à l’égard des héliomèlres ; dans ces lunettes, l’objectif a été scié en doux et on déplace les deux parties dans un plan perpendiculaire à l'axe, jusqu’à ce que les deux images que l’on obtient du même objet soient tangentes. La tangente du double du diamètre apparent est égale au rapport de la distance des deuxièmes points principaux des deux moitiés à la distance focale de Gauss. En appliquant à ce cas la théorie des lentilles inlinimcnl minces, et se servant du centre optique, on commettrait des erreurs de l’ordre de celles que nous venons de signaler.