J'P1 + PI+PS

les fonctions P„ P2, P3, . . . n’ayant pas changé, car elles sont indédantes de r. Or, la fonction V étant donnée pour la surface de la terre, on pourra développer en une série de la forme

p — A, + Aj+ As-t-> . - ,

le terme général A, étant une fonction entière et rationnelle de

ros u cos u„ et de sin usin h,,cos (X— X,) et satisfaisant à l'équation aux différences partielles

*•("+ ,)A.+S;r + cotM^

du stn’ii dX'

et l’on sait que ce développement ne peut se faire que d’une seule manière. Il en résulte

Pi == A., P, = 4,. P3=4,,...:

donc tout re développement de V est connu pour tous les points de l’espace.

Pour trouver la valeur de Va la surface de la terre, il suffirait de connaître X pour tous ses points; car X étant connu, en le dévelop-

pant en série et en identifiant, on aurait les valeurs de

d’où l’on tirerait les valeurs de P,, P3, . . . en intégrant de zéro à «. Il suffirait de même de connaître Y pour tous les points du globe et \ pour tous les points d’une ligne courbe quelconque allant du pôle sud au pôle nord. Enfin il suffirait aussi de connaître Z pour tous les points du globe; car, en le développant en série, on aurait

et, en identifiant,

P2 = jB2,

On pourrait, en déterminant Y par l’un ou l’autre de ces trois procédés, soumettre la théorie à de nombreuses vérifications et obtenir des formules très-précieuses. Malheureusement les données que l’on possède ne sont pas suffisantes pour permettre ces vérifications; c’est pour cela que Gauss s’est borné à une vérification [dus simple, mais moins rigoureuse.

Les formules précédentes étant des séries convergentes, on peut se borner aux premiers termes; Gauss s’est arrêté au quatrième. Les formules ainsi simplifiées renferment a h coefficients numériques. Pour les déterminer, il suffisait de connaître X et Y pour i a stations différentes; ayant déterminé ces a 4 coefficients, on a des valeurs approchées de X, Y, Z, V pour tous les points de la surface

de la terre, et même pour tous les points extérieurs. Pour avoir une idée de la longueur de res ealculs, il suffira de dire que, bien qu’il n’y ait que ai coefficients numériques, il y a 7 1 termes.

354. ComparalMon »ve* l’expérience. — Gauss a ensuite comparé les résultats fournis par le calcul avec ceux qui avaient été trouvés par l’expérience en pi stations différentes. Dans un grand nombre de cas, la différence entre le calcul et l'expérience est comparable aux erreurs d’observation : elle est même quelquefois inférieure à la différence qui existe entre les observations faites dans un même lieu par deux observateurs exercés. Gauss a appliqué ses formules à la détermination du pôle nord magnétique, et il a trouvé pour l’année i83o la position suivante : ÿ3°35'de latitude nord, et aGA'a i' de longitude à l’est du méridien de Greenwich. Le capitaine Ross avait trouvé par l’observation que ce pôle était situé à î degré au-dessous : on peut regarder cette approximation connue très-satisfaisante. Le pôle sud a été trouvé pour la même époque à 79*35' de latitude sud et 159*30' de longitude à l’est du méridien de Greenwich : ce point est situé sur la terre Victoria.

Au pôle nord l’intensité serait 1,701; au pôle sud, 9,953.