V+RT-V
V, étant une quantité indépendante de u; je dis qu’elle est aussi indépendante de la longitude X. En effet, V, étant indépendant de u, on peut faire u = o, et cette quantité ne change pas; mais le pôle appartient à tous les méridiens; donc V, est indépendant de À et l’on a
d’où
rfT i rfY Jk = R rfX ’
et, par suite,
Y = -— — = — du
sin u rfX = sin uj0 rfX
11 résulte de là que, si l'on connaît pour tous les lieux de la terre la composante nord de la force magnétique, on peut en conclure immédiatement la composante ouest de la même force pour les mêmes points du globe.
La réciproque n’est pas vraie : il ne suffirait pas de connaître la composante ouest, pour tous les points du globe, pour pouvoir en déduire la composante nord. En effet, posons
on aura
donc
ou bien
U =J~sin u Y rfX,
rfy
rfX
i rfv
R du
rfU
du
Cette équation fait voir que, si l’on connaît la composante ouest de la force magnétique pour tous les points du globe et la composante nord pour tous les points d’un méridien, ou même d’une ligne quelconque allant du pôle nord au pôle sud, on pourra déterminer immédiatement cette dernière composante pour tous les points du globe.
Cps théorèmes peuvent donner lieu h des vérifications importantes.
353. Nous allons maintenant faire intervenir la composante verticale. Nous avons posé
V — pfe.
Si r, u, X sont les coordonnées du point attiré, point que l’on suppose extérieur à la terre ou à sa surface, et r„, u„, X„ celles d’un centre quelconq lie d’attraction intérieur à la terre, on a
et
p1 = r2 — 9it„ cos 8 -f- r* cos 8— cos u cos «„ -f- sin « sin «ucos(X — XJ;
d’où il résulte
^ | î — u rj [cos u cos u„ + sin u sin u„cos (X — XJ] -f 2j * •
Comme on suppose tous les centres d’action intérieurs à la terre, on aura, pour chacun d’eux, r„ plus petit que la quantité constante r. Il suit de là que l’on peut développer la puissance — ^ en
une série ordonnée suivant les puissances entières croissantes de ^ ; ainsi on a
dp ilp
T,, T„ T3 étant des fonctions entières et rationnelles de cosucosu,, et -in usina, cos(X — X0). Si maintenant on intègre dans les limites du corps, on aura \ développé en série :
. R!P„ , ICP, , R'P, ,
U désignant le rayon de la terre, et, pour déterminer les coellicients P„, P, , . . on a
R’P. = f dp, R'P, =Jt, r. dp, R'P, =j T, ri dp
f,00 LEÇONS SUR LE MAGNÉTISME TERRESTRE, cl, comme j c/ft = o, la fonction V se réduit à
et les coefficients P,, P2, P,v. . . satisfont a partielles
équation aux différences
rf’P.
sio’ii (/).'
Pour avoir les trois composantes X, Y, Z, il suffit de prendre, comme nous Pavons vu,
. i r/V y' 1 dV •! dV t
' fY 77h * ItsinurfX’ ‘ dr '
on a donc
R’/dR , RdP, , 5!dP \
r* \ du r du ‘ r* du / ’
IP /dP, , RdP, R’dP, , X
r3 sin ü V dX /• (/X r* </X / ’
On déduit de ce qui précède les conséquences suivantes :
Si l’on connaît les valeurs de la fonction Y pour tous les points de la surface de la terre, on pourra s’en servir pour obtenir les valeurs de la même fonction pour tout l’espace infini. On en déduira aussi les composantes X, Y, Z, non-seulement pour tous les points de la surface de la terre, mais encore pour tous les points de l'espace. En effet, si l’on pose r=R, il vient
