Huppuri dn vitMwa de In lumière dnna l’aie et

dana l’eau. — Il a aussi fait servir son appareil à la comparaison des vitesses de la lumière dans l’air et dans l’eau. A cet effet , à côté du miroir concave A"B", il en dispose un autre à la même distance du miroir plan m: sur le trajet des rayons lumineux qui vont de m à ce nouveau miroir, il interpose un tube de verre rempli d’eau et fermé par des lames de verre à faees parallèles. La réfraction à travers l’eau empêcherait les rayons de venir converger sur ce miroir si l’on n'avait soin de corriger cet effet à l’aide d’une lentille. Les deux faisceaux de rayons qui reviennent sur le miroir m ont parcouru des chemins inégaux: l’un est resté constamment dans l’air et l’autre a traversé une colonne d’eau; ces deux faisceaux ne reviendront donc pas sur le miroir au même instant, par suite ils ne trouveront pas le miroir dans la même position, et les deux images a,6, et a.2b.2 qu’ils produisent ne coïncideront pas; si la vitesse de rotation est assez grande, les deux images se sépareront. D’ailleurs on reconnaît toujours l’image formée par les rayons qui ont traversé l’eau: à sa couleur verte, si l’on se sert d’eau ordinaire; à sa couleur bleue, si l’on emploie l’eau distillée, et à sa moindre intensité. Si la vitesse de la lumière est plus faible dans l’eau que dans l’air, les rayons qui ont traversé la colonne d’eau sont en retard sur les autres; donc l’image qu’ils forment sera plus déviée par rapport à la position qu’elle occupait lorsque le miroir était immobile que l’image formée par les rayons qui n’ont traversé que l’air. Si au contraire la vitesse est [dus grande dans l’eau que dans l’air, l’image due aux rayons qui ont traversé l’eau doit être moins déviée que l’autre. Or, l’expérience montre que c’est l’image formée par les rayons qui ont traversé la colonne d’eau qui est la plus déviée; il en résulte donc que la vitesse de propagation de la lumière est plus grande dans l’air que dans l’eau.

On peut aussi, pour faire l’expérience, se servir d’un tube à moitié plein d’eau; on a alors une image verte à la partie inférieure, blanche à la partie supérieure. Les deux parties de l’image coïncident quand le miroir est en repos; mais celte coïncidence cesse d’avoir lieu quand le miroir est animé d’une vitesse suilisante, et l’on constate que la partie verte est plus déviée que la partie blanche.

«7i LEÇONS SUli L’OPTIQUE.

Foucault n’a pas pris de mesures exactes; il s’est contenté de mesurer approximativement les déplacements des deux images à l'aide d’une échelle divisée placée au foyer de la loupe qui sert à observer ces déplacements. Il a trouvé ainsi que la vitesse de la lumière dans l’eau est sensiblement les j de la vitesse dans l’air, ce qui est conforme à la théorie des ondulations, puisque l’indice de réfraction de l’eau, indice qui, dans cette théorie, représente le rapport des deux vitesses, est égal à

380. I/f> méthode de Fouenult peut «e prêter n des meuiren exacte*. — Nous venons de voir que Foucault a facilement constaté, à l'aide de son appareil, la durée de la propagation de la lumière; il est aisé de voir qu’on pourrait arriver par cette méthode à une exactitude de beaucoup supérieure à celle que l’on peut attendre de la méthode fondée sur les observations astronomiques.

Si l’on se propose de faire servir l'appareil de Foucault , non plus à la démonstration, mais à la mesure de la vitesse de la lumière, il faut augmenter beaucoup la distance du miroir concave au miroir mobile et la prendre, par exemple, égale à i kilomètre. L’ajustement du miroir devient alors Irès-dillicile. De plus, si l’on employait sans rien y changer la disposition que nous avons décrite, l’image formée au foyer conjugué du diaphragme aurait une trèsgrande étendue et par suite ne conserverait qu’une intensité inappréciable. On remédie à cet inconvénient, mais d’une manière trèsimparfaite, en rendant les rayons parallèles, comme dans l’appareil de M. Fizeau ; à cet effet , on place le diaphragme au foyer principal de la lentille O; les rayons sortant parallèles de celte lentille sont reçus à la deuxième station sur une deuxième lentille convergente, dont l’axe est rendu parallèle à l'axe de la première, comme nous l’avons indiqué, et dont le foyer principal est au centre du miroir m. On peut, sans erreur sensible, ne pas tenir compte des épaisseurs de verre que traversent les rayons lumineux; on a encore, dans ce cas.

Comme S est très-petit par rapport à S1, la formule se réduit sensiblement à

x — • ida .

Cherchons entre quelles limites sera comprise l’approximation : supposons d = a mètres; la vitesse de la lumière est d’environ 3o6,ooo kilomètres par seconde; elle parcourt donc a kilomètres en jjd— de seconde. Si le miroir effectue 1,000 tours par seconde, pendant le temps que la lumière met à parcourir a kilomètres il tournera d'un angle égal A =n°an' environ. On a donc

x — bm tang !j0ao'

ou environ ^ de mètre, c’est-à-dire 16 centimètres.

On peut mesurer le déplacement .r à — de millimètre près; on connaît donc x à jj-jj de sa valeur; si l’on a la même approximation dans la valeur de a, c’est-à-dire dans la détermination de la vitesse de rotation du miroir, on obtiendra la vitesse de la lumière avec une approximation de ou de sa valeur absolue, approximation de beaucoup supérieure à celle (pie pourraient donner les phénomènes astronomiques.

Pour mesurer x à moins de de millimètre, on pourrait tendre sur l’ouverture du diaphragme, non pas un fil unique, mais une série de fils parallèles et distants de i millimètre. On verra ces (iis dans l’image ab; de plus, on aura au foyer de la loupe une lame divisée de telle manière que 5o divisions occupent ig millimètres. Cette division formera, avec la série des traits équidistants, un véritable vernier qui donnera le ^ de millimètre. On peut aussi faire mouvoir la règle divisée à l’aide d’une vis micrométrique.

Voyons maintenant comment on pourra arriver à une certaine précision dans la mesure de la vitesse de rotation du miroir. Supposons que, à l’endroit où se forme l’image ab, on ait placé une roue dentée, de telle sorte qu’une des extrémités de l’image se projette sur la circonférence de la roue; à chaque demi-révolution du miroir, une portion de la circonférence de la roue sera éclairée pendant un temps très-court. Supposons que la roue dentée soit ani-

LEÇONS SUII L’OPTIQUE.

mée d’une vitesse dp rotation telle que. pondant que le miroir fait une demi-révolution, une dent vienne exactement se substituer à la précédente; alors, toutes les fois que le miroir sera éclairé, les dents paraîtront occuper la même position, et la roue semblera immobile. Il en sera encore de même si la vitesse de la roue dentée est un multiple exact de celle que nous venons de définir; car alors, si à un certain moment on voit une dent en un certain point, on verra toujours une dent au même point lorsque la roue sera éclairée, ce qui la fera paraître immobile. Mais si la vitesse de la roue a unp valeur différente de celles dont nous venons de parler, il n’en sera plus de même: aux instants où la roue sera éclairée, on la verra dans des positions différentes, et elle semblera en mouvement. On donnera à la roue dentée un mouvement régulier et continu de rotation à l’aide d’un mécanisme d’horlogerie, puis au miroir une vitesse de rotation telle que la roue dentée paraisse immobile : on est sûr alors que, pendant te temps employé par le miroir pour faire une demi-révolution, la roue dentée marche d’un nombre exact de dents. On arrive ainsi à une vitesse telle que, le miroir faisant une demi-révolution, la roue dentée marche d’une seule dent. La vitesse de rotation de la roue dentée n’a pas besoin d'être considérable; ainsi, lorsque le miroir fait 1,000 tours par seconde, si la roue dentée a 1 ,000 dents, il suffit qu’elle fasse a tours par seconde; si elle a ùoo, aâo dents, elle devra faire h , 8, . . . tours par seconde. La vitesse de rotation de la roue dentée est connue avec beaucoup de précision; il en sera de même de la vitesse de rotation du miroir, qui est un multiple de la première.

a" DETERMINATION DE LA VITESSE DE LA LIMIERE PAR L’ABERRATION.

381. Phénomène de l'aberration, découvert |iar Bradley. — Le phénomène de l’aberration, que l’on a utilisé pour déterminer la vitesse de propagation de la lumière, fut découvert par Bradley dans une série d’observations entreprises de 1705 à 1798 en vue de déterminer la parallaxe annuelle des étoiles et par suite leur distance à la terre en fonction du rayon de l’orbite terrestre.

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. fr/7

On ne peut espérer de déterminer cette parallaxe que pour les étoiles dont l’observation offre quelque précision, c’est-à-dire pour les étoiles qui passent près du zénith du lieu où l’on observe; car c’est seulement dans le voisinage du zénith que les observations ne présentent pas l’erreur due à la réfraction astronomique, erreur dont il n’est pas facile de tenir compte exactement.

382. Rrcherehe* de IHoIrnnn et Brndley » l’aide du née teur zénithal de molyneux. — Ces remarques, dues à l’astronome anglais Molyneux, le conduisirent à construire un instrument spécial nommé tecteur zénithal, qui se composait d’une lunette trèspuissante mobile dans le plan méridien, mais seulement sur un arc d’un très-petit nombre de degrés à partir du zénith. .Munis de cet instrument, Molyneux et Bradley commencèrent en 1735 une série d’observations sur l’étoile y du Dragon qui passe très-près du zénith d’Oxford, où ils observaient, et par un hasard heureux se trouve près du pôle de l’écliptique. Us mesurèrent chaque jour la déclinaison de cette étoile en observant sa distance zénithale au moment de son passage au méridien. La réfraction ne peut entacher ces mesures que d’une erreur constante qui provient de la détermination de la distance zénithale du pôle; cette erreur disparait en prenant les différences. Ils reconnurent ainsi que l’étoile se dirigeait pendant huit jours vers le sud du zénith; la variation observée était trop grande pour qu’on pût l’attribuer à la parallaxe, et de plus, en vertu de la parallaxe, l’étoile aurait dû marcher vers le nord. Molyneux étant mort pendant le cours de ces observations, Bradley les poursuivit seul et reconnut que l’étoile, après s’être déplacée vers le sud d’un angle de 19 à 20 secondes, s’arrêtait, puis revenait à sa première position, puis la dépassait, marchait de 19 à ao secondes vers le nord, puis revenait vers le sud, et ainsi de suite, la période de ce mouvement étant d’une année.

Le hasard avait voulu que, au moment où Bradley commença ses observations, l’étoile fût dans sa position moyenne, c’est-à-dire dans la position où la vitesse est maxima, de sorte qu’au bout d’un petit nombre de jours le déplacement devint sensible.

383. Variation en déclin»! «on |iro|Mrtionnrllr au ni nus de la latitude astronomique | époques des maxima et des minlma de déclinaison. — Bradley ne se fît d’abord aucune idée de la cause du phénomène. Il observa une autre étoile située dans une région tont opposée à la première et qui passait au méridien environ douze heures après celle-ci. Il constata un mouvement en déclinaison s’accomplissant dans une période d’une année, comme celui de y du Dragon, mais d’une amplitude un peu moindre.

11 étudia ensuite les déplacements en déclinaison de toutes les étoiles qui passaient près du zénith , à l’aide d’un nouveau secteur zénithal qu’il fit construire et qui permettait les observations à 6° 3o' de part et d’autre du zénith. Tous ces astres présentent un mouvement en déclinaison dont la période est d’une année, mais l’amplitude de cette oscillation varie quand on passe d’une étoile à une autre, et de plus, à un même instant, elles sont dans des phases différentes de leur mouvement. Bradley reconnut qu’une étoile est dans sa position extrême lorsque le mouvement de la terre est perpendiculaire à la droite menée de la terre à l’étoile; dans sa posilion moyenne, lorsque le mouvement de la terre est dirigé suivant la projection de la droite qui joint la terre et l’étoile sur le plan de l’écliptique. Il fut ainsi nécessairement conduit à chercher une relation entre la grandeur du déplacement d’une étoile et ses coordonnées. En employant les coordonnées équatoriales, on ne trouve pas de relation; mais si l’on introduit les coordonnées écliptiques, on reconnaît que le déplacement d’une étoile en déclinaison est sensiblement proportionnel au sinus de la latitude.

384. Explication et loi» de l’aberration. — Le phénomène découvert par Bradley et désigné par lui sous le nom d’aberration est évidemment en relation avec le mouvement de la terre sur son orbite. Bradley eut l’idée d’en chercher la cause dans la composition de la vitesse de la lumière avec la vitesse de translation de la terre dont est animé l’observateur (l*.

Soient E (fig. 367) la véritable position d’une étoile à un instant donné et 0 celle de l’observateur; pour déterminer la position W Phtlotophintl Tran*aelii»n* f. 17*28,1. XXXV, p. 63 7.

de l’éloile, on se sert de deux points O et M entraînés par le mouvement de la terre; lorsque l’observateur aperçoit l’étoile sur la même ligne droite que ces deux points, il la considère comme située dans la direction OM. Mais supposons que l’étoile située en réalité dans cette direction envoie un rayon EM qui arrive en M lorsque l’observateur est en O, il est évident que ce rayon n’arrivera pas à l’observateur; car, pendant que la lumière va de M en 0, en vertu du mouvement de la terre le point 0 va en 0'. Joignons O'M

(fig. a4 8) et considérons une étoile en E' située sur le prolongement de cette droite; pour un observateur placé en 0, la direction véritable de cette étoile est OE' parallèle à O'E'; cependant il la verra dans la direction OE. En effet , à un certain moment, un rayon lumineux parti de E' arrive en M; pendant que la lumière va de M en 0', l’observateur va de 0 en 0’ et reçoit par conséquent ce rayon en 0'; donc pour lui ce rayon passera par les points M et 0, et il verra dans la direction MO , non pas l’étoile E qui y est réellement, mais une étoile E' située sur une direction OE' faisant avec la première un certain angle. Pour avoir la direction apparente de l’étoile E, il faut prendre 00”=00' et joindre 0"M. Pendant que la lumière de E va de M en 0, l’observateur va de 0" en 0 et la lumière lui semble passer par les points M et 0” et par l’étoile. Le mouvement de la terre a donc pour effet de produire un déplacement apparent de l’étoile dans le sens E'EE'. Il est facile de trouver la grandeur du déplacement angulaire; en effet, soit a l’angle de la direction réelle de l’étoile avec sa direction apparente.

c’est-à-dire ce qu'on nomme l’aberration , on a sin a sin MO'O

Or les longueurs MO et 00’ sont les longueurs parcourues dans le même temps par la lumière et par la terre ; elles sont donc dans le rapport v et V des vitesses de la lumière et de la terre. Si l’on désigne par i l’angle MO’O, c’est-à-dire l’angle de la direction apparente de l’étoile avec la direction du mouvement de la terre, on a pour la valeur de l’aberration

sin a = ÿ sin i.

On voit de plus que l’aberration a toujours lieu dans le plan passant par la terre, l’étoile et la direction du mouvement de la terre.

385. De là résultent les conséquences suivantes : i° Si l’on prend une étoile située dans le plan de l’écliptique, l’aberration se fera toujours dans ce plan; l’étoile paraîtra décrire dans ce plan une petite ligne droite et osciller autour d’une position moyenne. Il y aura deux instants où l’aberration sera nulle : quand on aura i— o, c’est-à-dire quand le mouvement de la terre sera dirigé vers l’étoile, ou dans la direction opposée. L’aberration sera maxima quand on aura i = go°, c’est-à-dire quand le mouvement de la terre sera perpendiculaire au rayon qui joint la terre et

l’étoile : on a alors pour l’aberration sin« = ^ •

a0 Supposons l’étoile au pôle de l’écliptique, la direction du mouvement de la terre et celle du rayon vecteur font toujours un angle de qo degrés; on a donc constamment sina = ÿ et l’étoile paraîtra

décrire autour de sa position moyenne un cercle dont le rayon est égal à la demi-amplitude de l’excursion totale d’une étoile située dans le plan de l’écliptique. A un instant donné, l’étoile se trouve sur le point de ce cercle qui est dans un plan passant par la position moyenne de l’étoile, la terre et la direction du mouvement de la terre à cet instant.

3° Considérons une étoile ayant une position quelconque, nous

VITESSE DE PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. fiRl

allons voir que la courbe qu’elle décrit diffère peu d’une ellipse. En effet, supposons l’orbite terrestre circulaire et prenons la terre dans

une position A (fig. a 4g) où son mouvement est perpendiculaire au rayon lumineux AE. Ce rayon sc projettera sur l’écliptique suivant OA L’aberration a sa valeur maxima, car on a 1 = 90°, et par suite sina = ^; elle se fait dans le plan AIE. Supposons maintenant la terre en T : la direction de son mouvement est TI; l'angle ET1 est égal à 1; l’aberration Fis. se fait dans le plan ITE, et

Prolongeons les deux tangentes en A et en T jusqu’à leur rencontre en I; les deux plans IAE, ITE se coupent suivant une droite IE parallèle à AE. Par le point T menons une parallèle TP à OA; TP est la projection de TE sur le plan de l'écliptique; donc l’angle ETP est égal à la latitude X de l'étoile E.

Considérons l’angle trièdre avant pour sommet T et pour arêtes TE, TP et Tl: on a

cos ETI = cos ETP cos PTI +sin ETP sinPTI cosETPI.

L’angle dièdre ETPI est droit , car TP est la projection de TE sur le plan de l’écliptique, et par suite le plan ETP est perpendiculaire à ce plan ; on a donc

cos ETI — cos ETP cosPTl

ou

cos i = cos X cos PTI :

or

PTI — PTO — 90" et PTO = 1 80” — AOT.

Posons AOT = w, il vient

cosi «=rosX sinw.

Cherchons maintenant la position relative des plans dans lesquels se produit l’aberration en T et en A : soit <p l’angle de ces deux plans. Considérons le trièdre ayant pour sommet le point I et pour arêtes IE. IA et IT ; en remarquant que l’angle EIA est droit, on a

cosAIT = — cosû> = — sin icostp.

Nous avons donc les trois équations

sma = ysini, cosi = cosX silice, eosce = sini cos<p.

Pour trouver une relation entre a et <p, il faut éliminer i et w; on a alors

i — sin2i = cos2X(i — cos2 ce) = cos2X ( i — sin2icos2^),

d'où

. sin’X

sln 1 1 - cos’ X cos’ <p ’

et par suite

. v sin X

Sln a = r- ■ , •

v y1 1 — cos Xcos’tp

Sur la sphère céleste, par la position vraie de l’étoile, faisons passer un arc de grand cercle dont le plan soit celui dans lequel a lieu l’aberration lorsque la terre est en A, c’est -à— dire quand on a <p=o. Sur cet arc de grand cercle, à partir de la position de l’étoile, portons une longueur dont le sinus soit proportionnel à la valeur de

sina quand on y fait <£ = o, c’est-à-dire à la valeur de y; comme l’angle a est très-petit, on peut, sans prreur sensible, regarder la longueur elle-même comme égale à y*

Menons un autre arc de grand cercle passant par la position vraie de l’étoile et faisant avec la première un angle <p,; portons sur cet arc, à partir de la position vraie de l’étoile, une longueur proportionnelle à la valeur de sina quand <p = Ç>,, nous aurons ainsi la position apparente de l’étoile quand l’angle <p aura la valeur <pt. On déterminera de cettp façon une série de points représentant les positions

apparentes de l’étoile et formant une courbe dont l’équation polaire est

e sin X

^ V v/~ cô? X cos’ <p

Cette relation est celle qui existe entre le rayon vecteur d’une ellipse et l’angle que fait ce ravon avec le grand axe.

L’étoile parait donc décrire autour de sa position moyenne une ellipse; le grand axe de cette ellipse est parallèle au plan de l’écliptique et égal à -yi et par suite il a la même valeur pour toutes les étoiles. Le petit axe a pour valeur ~ sinX, valeur que prend p quand on y fait ^=90°; le petit axe de l’ellipse est donc proportionnel au sinus de la latitude.

L’aberration fera donc varier d’une manière plus sensible la latitude et aussi la déclinaison pour les étoiles situées près du pôle de l’écliptique. C’est le cas dans le juel se trouve l’étoile y du Dragon que Bradley observa en premier lieu.

386. Détermination» diverse* de la constante de l'aberration. — Bradley trouva ao",9 pour la valeur maxima de l’aberration, c’est-à-dire pour l’arc dont le sinus est égal au rapport ce rapport étant égal à on en conclut que la lumière traverse l’orbite terrestre en 8' 19".

Voici les différentes valeurs trouvées pour le maximum de l’aberration en commençant par la valeur déduite de la vitesse de la lumière , vitesse calculée elle-même par les observations des satellites

de Jupiter :