Dtaeuimion de l'équation de la Irajeetoire. — On
admettra, pour discuter cette expression, que l’indice de réfraction, toujours plus grand que l’unité, est une fonction continue de la seule hauteur v. qui tend vers une limite finie lorsque v devient infini, et dont les deux premières dérivées ne deviennent infinies pour aucune valeur positive de v.
On supposera d’abord que pour toute valeur de v l’expression
V = ( B 4- r)3 n3 — R- »3sin2 f
garde une valeur positive différente de zéro. S’il en est ainsi, on démontre aisément que l’intégrale qui donne la valeur de «, prise entre les limites o et oc , conserve une valeur finie; en désignant cette valeur parc, l’équation
représente une asymptote dont la trajectoire lumineuse s’approche indéfiniment à mesure qu’elle s’écarte delà planète. Réciproquement, un point situé è une très-grande distance de la planète, sur la verticale dont l’équation est ii = c, envoie à l’origine des coordonnées
un rayon qui y parvient sous l’inclinaison i. L’excès de l’angle « formé par les verticales de l’origine des coordonnées et du point
Itlli
u = c sur l’angle i est ce (|u’on appelle la réfraction atlronomujue , dans le cas restreint (pie l’on considère ordinairement.
Supposons, au contraire, que V s’annule pour une ou plusieurs valeurs positives de v, et soient l> la plus petite de ces valeurs, a la valeur de u correspondante, on aura
'<> R‘n .si II i tir o (R-eu)y Y
On a d’ailleurs, en vertu du théorème de Taylor, en désignant par V(r) la valeur de V (pii répond à line valeur particulière I de la variable plus petite que b,
\(v) = \(b) (6-r|V'(6)+^VV>,
l étant compris entre zéro et b.
Donc, si \ ’(i| n’est pas nul en mémo temps que \ (b), c'est-àdire si, lorsque v passe par la valeur />, Y s’annule en changeant de signe, on pourra poser
\\ étant une fonction de c qui demeure finie et différente de zéro pour i j — b. On en conclura, en appliquant les règles relatives aux intégrales définies singulières, que la valeur ci-dessus de a est finie. Au contraire, si \'(b) s’annule en même temps (pie V (4) . on devra poser
H étant une fonction de c qui ne devient pas infinie pour r^-b, et on en conclura que la valeur de a est infinie.
Dans le premier cas. « étant fini, la trajectoire du rayon s’élève de l’origine jusqu'au point dont les coordonnées sont a et è; comme ensuite e ne peut dépasser la valeur b sans que V'V devienne imaginaire, on doit, lorsque cette valeur est atteinte, considérer r comme décroissant et attribuer le signe — à de. On détermine ainsi une seconde partie de la trajectoire, exactement symétrique de la première, qui par conséquent va rencontrer la surface de la planète au point dont l’abscisse est in. Il est évident que cette marche des
rayons lumineux constitue précisément le mirage supérieur dont il a été question précédemment (422).
Dans le second cas. a devenant infini lorsque r tend vers la valeur finie b , la trajectoire lumineuse tourne indéfiniment autour de la planète en s’approchant du cercle asymptote dont le rayon est
Il est important de considérer l’influence de l’incidence /.Supposons (pie l'expression ( R + »)*«* prenne sa plus petite valeur pour r — i S, et déterminons la valeur particulière I de « qui réduit \ à zéro pour v— /S. Cet angle étant aigu, nous aurons
sin I =
( II -+■ & ) a
Il est clair que V ne pourra être nul que si / est compris entre les limites I et Par conséquent, tous les rayons qui à l’origine feront
avec la normale un angle moindre que 1 s’écarteront à l’infini de la planète en se rapprochant d’asymptotes rectilignes. Ils offriront donc tous les phénomènes de la réfraction astronomique plus ou moins développés. Mais tous ceux dont l’incidence originaire sera plus grande que I s’élèveront seulement à une hauteur li moindre que /Set retourneront à la surface de la planète, à moins qu’ils ne tournent indéfiniment autotir de cette surface, en se rapprochant d’un cercle asymptote. En particulier, les rayons pour lesquels / I ont un cercle asy mptolc dont le rayon est R -f /S, car la valeur de V atteint son minimum pour c S, et, comme elle est nulle si on joint à cette hypothèse celle (pie /--=>!. il en résulte (pie l’on a simultanément V =-=o , \ ' • o.
428. Hnlriflioiu s Introduire dons l'application aux planètes du système solaire. — Conséquences. — Pour appliquer ces considérations aux diverses planètes du système solaire, on devra les supposer parfaitement sphériques et négliger la variation de la température de l'atmosphère (pii dépend des coordonnées géographiques. On pourra même, dans une première approximation, négliger la variation qui dépend de la hauteur, et représenter en conséquence le rapport de la densité d’une couche atmosphérique
7i6 LEÇONS SUR L'OPTIQUE.
de hauteur v à la densité de la touche superficielle par l’expression connue
Re
où X désigne la hauteur d’une colonne ayant partout la même densité gue la couche superficielle, «jui exercerait une pression égale à celle de l’atmosphère totale. Il suit de là qu’en appelant k la puissance réfraelivc de la couche superficielle ou aura
Ile
.. . , X(R-ee) , ,
/r — l -r ke 1 — i 4- ke
en faisant, pour abréger,
Hv
On conclut de là
J’1’ R*V i + k sin idv
\ — ^R + rJ* ^ i -| - ke ■— R- ^ i + k*J sin»,
V'= a (R + b) (i 4 -ke W) — ®\
V’- + **“'[• + (‘~^irb))s]'
V" étant toujours positif, on voit que V' est croissant et ne peut s’annuler que pour une valeur unique de v. Si V' est négatif pour v — o, cette valeur /S est positive, et réciproquement. Mais si V' est positif pour »= o, il est aussi positif pour toute valeur positive de e. Lu fonction V est donc constamment croissante et ne se réduit jamais à zéro, puisque sa valeur initiale est positive. Ainsi on n’observera que les phénomènes de la réfraction astronomique, et, à parler rigoureusement. aucun point de la surface ne sera visible d’un autre point de la surface, sur tous les corps célestes pour lesquels on aura
c’est-à-dire
p ^aXji-eA)
Tel est le eas de la terre, pour laquelle
R = 6366i«)8m, X = 797 4"‘. A = o,oooà8cj, et par suite
ïX(i-h4) m
— —7 = O-j 0()Q OOO .
Si au contraire on a
aX(i -4- Am k ’
V' sera nul pour une valeur positive /S de v qui se calculera numériquement sans difficulté. Soit 1 l’angle aigu qui réduit V à zéro, pour r = /3, on aura
sin I
KjS
,ke
et pour toute valeur de i comprise entre I et * l’équation aura deux racines réelles et positives, puisque en supposant, dans V, r — ,3 et i compris entre I et *1 V est négatif. La plus petite b de ces racines sera le maximum de hauteur où pourra s’élever un rayon dont l’incidence initiale est plus grande que I. En appelant comme plus haut on la distance de l’origine au point où ce rayon vient couper une seconde fois la surface du corps céleste, on voit facilement que A décroit continûment de /S à zéro, et on de l'infini à zéro, si i croît de I à Donc, en désignant par », , i2, t,,. . . la série des incidences
pour lesquelles oa a les valeurs Rw, aRw, 3Rw, .. ., ces valeurs forment une série décroissante dont le premier terme est plus ou moins voisin de * et le dernier tenue est I. Il suit de là que d’un point quelconque de la surface du corps céleste on verra cette surface tout entière, et même qu’on en verra une infinité d’images, constituant par leur ensemble une calotte concave, limitée par un
7*8 LEÇONS S II K LOPTIQLK.
cercle élevé Ho ^ — I au-dessus de l’horizon vrai, <|ui sera l’horizon apparent. La première image sera comprise à l'intérieur du cercle élevé de - la seconde formera un anneau compris entre les
cercles élevés de * — », et île ? — et ainsi de suite. Il n'est pas
besoin de faire remarquer de quelles étranges déformations ces images seront affectées: en particulier le point situé aux antipodes aura pour images successives la série des cercles limites qui viennent d’étre définis.
Si l’on suppose i compris entre zéro et I, l'angle est toujours positif et croissant avec ». D’ailleurs, comme, à la limite I. on n simultanément V=o. VG=o, on voit, en remontant à l’expression de que cet angle croît jusqu’à l’infini. Si l'on appelle f, f, f", ... les valeurs particulières de f qui rendent successivement égal à it .
•nr. -5 7r . . . ., ces angles formeront une série croissante ayant pour limite I, et il est facile de voir que d’un point quelconque de la surface de la planète on verra la sphère céleste tout entière, qu’on en verra même une infinité d’images, limitées successivement par des
cercles élevés au-dessus de l’horizon de — f, - — f, - — j" ....
— —F. Les mêmes déformations extraordinaires auront lieu dans
l’image de la surface de la planète : en particulier, les images successives du nadir seront les cercles limites qui viennent d’être définis.
Knfin. il est à remarquer qu’un observateur placé en dehors de la surface de la planète doit voir d’abord une image principale circulaire de la surface InUtle de la planète, et tout autour une infinité d'images annulaires. Il voit même dans l’atmosphère de cette planète une infinité d’images de la sphère céleste, fies deux conséquences sont faciles à apercevoir en examinant avec un peu d’attention les propriétés des trajectoires lumineuses qui viennent d’être exposées. L'est en particulier ainsi que la planète sera vue par un astronome placé sur la terre.
V2D. C’m de I» planète Jupiter. — Supposons que l’atmosphère de Jupiter soit de même nature que l'atmosphère terrestre. Désignons par h la hauteur d’une colonne d’air, de densité égale à la densité de l'air sur la surface de la terre, qui exercerait la même pression que I atmosphère de Jupiter: appelons À, la valeur de X relativement à la terre, g-, et g l'intensité de la pesanteur à la surface de la terre et à la surface de Jupiter. S le rapport de la densité île l’air à la surface de Jupiter à sa densité à la surface de la terre: il est clair qu’on aura
Par suite, si k et 4, sont les puissances réfractives de l’air à la surface de Jupiter et à la surface de la terre, on aura
!h Ai
d'ailleurs. X se rapportant à Jupiter comme X, à la terre.
donc les réfractions extraordinaires précédemment décrites auront lieu à la surface de Jupiter, si l’on a
c’est-à-dire
Ti
En adoptant î o,8ti pour le rapport des rayons de la terre et de Jupiter, 338 pour le rapport de leurs masses, on trouve
!l- ■= -i.8lifi
et la condition ci-dessus se réduit à
Il suflirait donc que l’atmosphère de Jupiter eut la vingtième partie de la puissance de l’atmosphère terrestre.
LEÇONS Slilt L’OPTIQUE.
Si i’on admet que les masses des deux atmosphères sont dans le même rapport que les masses des planètes respectives, h sera déterminé par l’équation
mr™’
R et R, étant les rayons de Jupiter et de la terre. On trouve dans cette hypothèse
4=o,oo484 . X = ‘»78ü'"
et
£=ii3i)/im, l-86°ia\
ce qui donne 3° 48' pour l’élévation de l’horizon apparent au-dessus de l’horizon vrai.
Il est évident que les conclusions des calculs précédents ne s’appliquent en toute rigueur qu’au ras d’une atmosphère absolument transparente. Dans la réalité, on ne verrait un peu distinctement à la surface de Jupiter qu’une partie de la première image de la planète et de la première image du ciel. Tout au plus le sob il demeureraitil constamment visible. Quant aux images ultérieures, elles seraient sans doute tellement affaiblies, que leur ensemble donnerait simplement naissance à une bande bleue s’étendant des deux côtés de l’horizon apparent à une distance plus ou moins grande.
h° COLORATION ET VISIBILITE DE L'ATMOSPHÈRE.
430. Couleur bleue du ciel. — L’atmosphère dans son état normal donne lieu à des phénomènes que nous allons étudier : nous voulons parler de sa coloration et de sa visibilité.
Il semble, à première vue, que l’atmosphère soit bleue; mais, en examinant les faits avec attention, on reconnaît que la couleur bleue du ciel se produit dans des circonstances très-variées. 11 est à remarquer, d’abord, que cette couleur bleue nous vient de tous les points de l’atmosphère et non pas seulement de ceux qui reçoivent directement les rayons solaires : la lumière revient donc colorée en bleu vers notre œil, quel que soit le chemin quelle ait suivi. Ce phénomène diffère totalement de ceux que présente un verre coloré : il y a à expliquer la visibilité de toutes les parties d’une manière intense
UÉTKOKOMH.IK OPTIQt K. 751
dans toutes les directions, et la disparition de la couleur bleue par l'interposition des nuages.
On peut faire l’hypothèse d’une teinte bleue inhérente aux molécules d’air: l’atmosphère serait bleue de même que l’eau est bleue lorsqu’elle est pure, verte lorsqu'elle est impure. Mais ou doit regarder l’atmosphère comme à peu près incolore. Si elle était bleue, les objets éloignés devraient présenter celle teinte, ce que l’on n’observe généralement pas; cependant un fait paraît confirmer celte prévision, c’est que les montagnes éloignées paraissent bleues : on attribue généralement ce phénomène à la masse d’air interposée, dette explication est renversée par la remarque suivante, due à Saussure : les \lpes. couvertes de neige, paraissent blanches lorsqu’elles sont vues de très-loin; au contraire, les montagnes qui semblent bleues sont des montagnes de couleur très-foncée. Il faut donc, pour expliquer la coloration des montagnes bleues, dire que l’on voit une teinte bleue dans cette direction, comme on la voit dans une direction quelconque, et que la lumière que l’on reçoit est envovée par l’atmosphère.
Si l’air atmosphérique avait une couleur propre, cette couleur serait plutôt rouge ou rouge orangé, comme il résulte de l’observation des teintes crépusculaires qui se produisent lorsque la lumière nous arrive après avoir traversé des couches d’air de plus en plus épaisses : les objets éclairés dans ces circonstances sont dans les conditions les plus propres à manifester la couleur de l’atmosphère.
Il y a donc là des phénomènes très-particuliers a expliquer, et l’on ne peut songer à une couleur propre des molécules d’air.
