L.P = ^L. t'+ajî

d’où l’on lire

Telle est l'intégrale première de l'équation du second ordre, et par suite l’équation différentielle du premier ordre delà trajectoire. La valeur de la constante C n’est autre chose que psi ni; ainsi la théorie générale nous conduit à la même équation que le raisonnement (pie nous avons fait précédemment ; nous en conclurons que le raisonnement était evacl.

LEÇONS SLR L'OPTIQUE.

u1 . (Iz'

3* RKKHVCTIOS \ LA MM'ACK IIKS PLAstlCS.

A 25. ÉquRtlom dlITérenlIellH de la trajectoire d'un rajon lumineux. — .Nous n’avons considéré dans ce qui précède que l’influence de l’atmosphère terrestre sur la marche des rayons lumineux. M. Ruminer*1' a obtenu des résultats très-intéressants en étudiant ce qui se passerait à lu surface d'autres planètes.

Considérons un milieu où l’indice de réfraction « est une fonction continue des coordonnées x. y. z; soit /(x,y, r) = n cette fonction : pour avoir les équations différentielles de la trajectoire d'un raton lumineux, il faut exprimer que le rayon lumineux se rend d'un point à un autre dans le temps le plus court, c’est-à-dire que l’intégrale l'ut/x est minima.

Or on a

,U ~ \j (S):+ (S)'J + Wf (/< = \x'J +/- + ;■» di.

L’intégrale à rendre minima est doue

| a v x^-f y'-+ dl.

Appliquons les principes du calcul des variations, nous aurons les équations

^ Muitnlnhenrhlp ilrr Akatlnnir :n ileiiin , i H(io , p. Ao5. Vcrdet a donné une anaKse du mémoire de M. Ruminer dans le* !/»«. tir chim.el tir /tlty*.% (3), Ll , 4 c|<> [itttiij.

MÉTÉOKOLOülE OPTIQUE.

du d.r

el de même

(bi

iln

En remplaçant dans ces trois équations V x'1 + y'1 4- j’"' dt par sa valeur d», on a pour équations différentielles de la trajectoire d’un rayon lumineux, dans un milieu quelconque dont « est l’indice de réfraction ,

iln

. (il (Lu .

dy-

tln

et on prouve aisément que ces trois équations se réduisent réellement à deux, l’une quelconque d’entre elles étant une conséquence des deux autres.

4 '26. Application à une otmocphère formée de couche# concentrique# avec la planète. — Supposons ces équations a|>pliquées à une atmosphère planétaire disposée par couches d’égale densité concentriques avec la planète; l’indice n sera simplement fonction de la distance r du point considéré au centre de la planète, et la trajectoire sera plane. Si l’on prend le plan de cette trajectoire pour plan des x, y. la troisième équation différentielle sera satisfaite d’elle-mème, et on déduira aisément des deux premières

, rf.r , < I v

y .i ’-e/’-e; Ull \\'J ’+y'+;':/

\U -dt

d ! nz' X

y /x',+/,+i'*dt

c'ii ayant éjja rd à la circonstance que, n étant simplement fonction de \fx*+y% l’expression y' J” — x|J" est nulle. Développant, on obtient

„ (y d. J - xd. d£j + du (y js - .r J) = o.

c’est-à-dire

nd.

/ rff </v\ / f/.i. </V\ ,

+ U T-Xts)dn = °'

<Iy\

dy d.ï

ou , en posant x -j- --y ^ — ji,

dont l’intégrale est

ii dji -j- ji dn — o , ll/l - (J.

Si l’on passe des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, en faisant

x = rcos^, y = rsin<p, r“ Yx’+y1.

cette équation devient

d’où

\ ch ' -+- /-*</ ^

Cf fr

Soit R le rayon de la planète; posons r = R + r, R<p=u. On pourra considérer u et r comme les coordonnées d’un point quelconque de la trajectoire dans un système particulier, où les abscisses u seront des arcs de grand cercle comptés à la surface de la planète , et les ordonnées r des hauteurs verticales comptées à partir de la même surface. L’équation différentielle précédente deviendra

rf» =

(l\ + i')\ (ItH-rlV-C*

et si l’on place l'origine des coordonnées au point où le rayon rencontre la surface de lu planète, si de plus on désigne par n0 et par i

les valeurs en ce point de l’indice de réfraction et de l’angle de la trajectoire avec la direction du rayon de la planète, on aura, en remarquant que i a pour sinus la valeur particulière de l’expression

pour u = u , i> = o.

au'+dv'

(i = Ra.sin i

J’1' K’n„sin idv

o (lt + e) y/( II -i- v)’n’— R'i^sin'i