Théorie élémentaire de* miroir* concave

Soient A (fîg. 98a) le sommet du miroir MM', (! le centre, P le foyer lumineux, lv son foyer conjugué; en posant

AP-p, AP'-/, AC — H.

on a

INSTRUMENTS D’OPTKJUE. 8.11

formule où les quantités sont rensées positives dans le sens indiqué précédemment. Il sullit de la discuter pour connaître le cas de réalité

Kig. 181.

ou de virtualité des images. Si en eiïet p est supposé plus grand

que R, on a - <Cn’ et il en résulte ou »'< R. D’ailleurs,

1 ** P ** jj

p' doit être plus grand que - pour que la somme ^ï+- puisse être

égale à ^ • On voit par là (pie, si p décroît jusqu’à R, le foxcr se déplace depuis le foyer principal jusqu’au centre du miroir. Si maintenant on suppose p <Z R. il faudra que l’on ait »'> R. /(décroissant jusqu’à p' croît jusqu’à l’infini. Enfin, pour /><“’ p' est négatif, on a un foyer virtuel qui, situé à l’infini lorsque p diffère très-peu de -> se rapproche du miroir quand p diminue et se trouve sur le miroir même si /> = o.

Reste à considérer le cas où p est négatif, Le que nous appelons en effet le point lumineux est le point de croisement de l’axe du miroir avec les rayons lumineux ; on peut donc concevoir que ce point soit situé derrière le miroir. La formule

indique en ce cas que p' est positif et plus petit que ^ • Le foyer conjugué du point lumineux virtuel est donc réel et compris entre le sommet et le foyer principal.

La formule que nous venons de discuter est obtenue en ne tenant Ykrdict, IV. — Conférences «le physique. 53

«:ià I.KÇONS SI R l/OPTIQl K.

pas compte de quantités pplites qui no sont négligeables que dans le voisinage de l’ave; elle n'est donc qu’une première approximation . et il est nécessaire d'examiner les phénomènes de plus près.

Cherchons d'abord comment sont distribués les points de rencontre des rayons réfléchis avec l’axe. Pour les rayons centraux, la formule (») donne la valeur exacte

i u i \p R i pH

p„ Il p R/) ’ ‘ip— R*

mais elle ne convient pas aux rayons réfléchis à quelque distance de l’axe, en 1 par exemple. Dans le triangle P1P', IC est la bissectrice de l’angle I, (’P -=p — R, CP’ ■■= R — p', et l’on a

Ht I* r

Substituons, dans cette équation, à PI et P I leurs valeurs en fonction de l’angle ACI

PI \ H* 4- (p- R i2 4- R (p — Ri cos ti .

P I \ R2-H R Pf >RtR -yicnsC,

il vient, en élevant au carré.

| R4 + (/< R )s -f- ■» R ( p R ) cos (1| ( R - p'j*

- [ R* + I R -p'f — iR( R /é)cosr.] \p R)*.

Simplifiant et supprimant le facteur (p — p' ) R qui donne une solution p — p étrangère à la question, on a

d’où

R ( p + /< i •! R •' - (p Ri (R p i eos < i o ,

Il «Il — i>i + -dl /> 11) eos ( ^

11 + •( ' p - 11] cos t;

Telle est In distance au sommet du point où l’axe est coupé par les ruvons réfléchis en I, et sur tout le rerrle que découpe sur le miroir un cône concentrique d’ouverture Si nous supposons qu’il

s’agisse des rayons marginaux. C sera la demi-ouverture angulaire du miroir cl p' la dislanrc du sommet au foyer de ces rayons.

478. Aberration longitudinale. — Si l'on désigne par p la distance focale conjuguée des rayons centraux, p' étant celle des rayons marginaux, la dillérence p' yé mesurera en quelque sorte l’écart qui existe entre le miroir tel qu’il est et le miroir hypothétique considéré d’abord. On appelle cette différence une aberration, et comme elle est comptée dans le sens des longueurs focales, on l’appelle aberration longitudinale; p' et p avant des signes et des grandeurs variables, nous conviendrons d'appeler aberration longitudinale la différence p' — yé prise avec son signe, et nous la repré-enterons par

Si la différence y/ — pu est positive, cette longueur sera portée à partir du foyer des rayons centraux, du côté des valeurs positives; -i elle est négative, on la portera en sens contraire; il ne reste plus aucune ambiguïté en avant égard à ces conventions.

delà posé on a, en remplaçant y/ par sa valeur ^ ^ <

, , 'lit tp- U g (y — costj

I' P» (•!/> — ll)[lt ■! (p — H’ coati] ’

expression dont le numérateur est toujours positif; la longueur p y/ est donc toujours négative, à moins que le dénominateur ne soit négatif.

Considérons d’abord le cas où le point lumineux et le foyer sont réels.

Soit p> K : le dénominateur est positif et, par suite, on a p — y/<Co; ainsi, tant que le point lumineux est au delà du centre du miroir, il faudra porter du côté du miroir la longueur y»’— p\ Si p

est compris entre R et le facteur -vp 15 est positif et le signe de l’aberration est déterminé par celui du facteur 15 9 \p - R) cos (J.

Klle est négative comme dans le cas précédent, si l’on a