C-ir)T
Connue on le voit, il contient encore®: mais on tirera de l'équation 4- une valeur sullisaniiiicnt approchée de ® pour la substituer dans l’expression précédente ; en ayant aussi égard à la relation -f- (ii — i) dont le degré d’exactitude est le méine,
les facteurs qui contiennent w pourront s’écrire
ÏF
lits
ÎV ‘
+ 1 fi , n- iN i fn- n-— i n- n ,i i \
if \p+ ir ) ~ï? vit ~ a — r +ïv r'J
+ ')(r— à-)Ji
fin conséquence, la valeur de y devient
et la relation définitive qui lie y/ et /> est
'•-H-. )(i-i O-IO+tt)’
n— i » r/ 1 n -i- r\ / 1 i yJ /i n *■ i\ / i i v-'i
in- y lu /> ) v/i it/ U’ iK ) l/é nv J
LEÇONS SUIt L'OPTIQUE.
Il est bon de reuiiirqucr (|iù*lle n’est pas symétrique en /> et elle ne l’est pas non plus pur rapport à K et IV; ainsi la position des foyers dépend de 1a face tournée vers la lumière.
.‘>08. Cm où le* rayon* incident* aont parallèle*. —
Considérons le cas particulier où ]i = z c. Posons alors p'=f, distance focale des rayons qui rencontrent la lentille à une distance y de l’axe, \ppelons f, la distance focale des rayons centraux, il vient
■> ChfH (t)’^ (Hè-x) (H)1
Cette expression n’est pas symétrique en R et IV: l’aberration longitudinale dépend donc de la surface de la lentille que l’on tourne vers les rayons lumineux. On voit en outre que le premier terme du
second membre est égal à y ’ que le second est un terme correctif
qui fait estimer avec plus de rigueur la distance focale et le pouvoir grossissant; et qu’enfin le troisième caractérise la perfection plus ou moins grande avec laquelle la lentille réunit les rayons centraux et
marginaux, \insi, en désignant par A y- les variations de y- lorsque l’on donne à li ou // un accroissement, ou a
C’est du dernier terme que nous déduirons la valeur de l’aberration longitudinale A ,f0: quant à l’aberration latérale, nous savons qu’elle offre peu d’intérét, vu la distribution non homogène de la lumière sur le cercle d’aberration. Il est au reste facile d’en déduire la valeur de celle de l’aberration longitudinale, en multipliant celle-ci par la tangente de l’angle que font les rayons marginaux avec l’axe, tangente (pii est égale très-approximativement à ■ Mais revenons à l’aberration longitudinale principale.
Comme on a d’une manière générale A f— f* A ^ la valeur de A,/, est évidemment
Telle est l’expression de l’aberration longitudinale principale. Nous allons chercher si, dans les lentilles en verre, on peut la rendre nulle, ou, sinon, quelle est sa valeur minimum. Pour celle recherche, il est commode de poser
on a alors
Pour (pic cette expression soit nulle il faut, lorsqu’on tient compte dey, que le dernier facteur soit nul; on a donc, dans celle hypothèse .
S3 — [J' — (n* — i ) (S ■— <T)| |(«— i)(i— S') — O, ou, en développant les calculs,
s3 — r+(«a - [(«... ,)(i i). rf
La solution S S' correspond à une lentille dont les deux surfaces ont des ravons égaux de même signe; mais une telle lentille n’est autre chose qu’un verre de montre et ne peut être employée dans les instruments d'optique; ainsi cette solution ne convient pas à la question. Supprimant le facteur 5— S', il vient
ou
S3 1 1 -H«4- i )(*— i )3J — SS' |u(«+ i)(«— i )s-f («4- i)2(9H-f-3) 1 1
I.ies verres dont on fait les lentilles ont des indices de réfraction peu différents de ; faisons donc « — ^ dans l'équation précédente. En posant =jr, ou a, toutes réductions faites.
/X- tix + ay- o,
«8» LEÇONS SUil L’OmULK.
«'< juul ioti i|iii n’a «j ue des racines imaginaires. Ainsi, on ne peut donner à la lentille aucune forme pour laquelle l’aberration longitudinale soit nulle.
Mais on peut la réduire à un minimum. Cherchons parmi toutes les lentilles la distance focale p qui donne la plus petite aberration. 11 suffit d’égaler à zéro la dérivée de l’aberration prise par rapport à 1a variable S par exemple; l'équation F (n — î) (S -- S’) déliniro (!$'
la dérivée — ^ i . et par suite S sera la seule variable indépendante,
l'ài effectuant ce ealeul ou a
.‘îcî1 ( I* — S'Y + o | S — (h -t- 1 1 F |- ( f S') — o, et, en mettant pour F sa valeur.
+ a| S' (ir . )(S i')J[(«-.)(i
La solution S — S' correspond à un cas illusoire, et, en ôtant le facteur S — S', on a une équation du premier degré qui donne sans ambiguïté la relation qui doit lier S et S pour que l’aberration soit un minimum,
3 ( <î -t- S") — (an 4- 3) (m — i )- (i S'j 4- a (n 4- 3) (« — i) S — • o. équation (pii se réduit à
<Î4- (iiT — u,
d’où
ïï4-iï = o.
et |iar suite
R’ = — üK.
\insi, |iour obtenir la plus petite aberration, il faut donner à lu deuxième surface de la lentille un rayon de signe contraire au premier et sextuple de celui-ci. Klle peut donc être biconvexe ou biconcave; la face la plus courbe est tournée vers les rayons incidents.
Il est intéressant de connaître la valeur de re minimum d'aberration: nr, en inlroduisant l’Iiv |>otlièse R' (JR dans l'expression
de j un
La distance focale de la lentille est dune égale aux du plus grand
des deux rayons: pour obtenir la valeur de l'aberration, on remplacera 5 et S' par
Ton uura
Ainsi l’aberration, dans le cas où elle est uiinima, égale les
du rapport de y - à la distance focale; elle est de signe contraire à relui de f. et par conséquent positive dans une lentille conver-
Ki*. .lit.
gente AB (fig. 3 1 :i). c’est-à-dire qifalors le lover des rayons marginaux est plus près de la lentille que celui des rayons centraux. C’est le cas de la ligure.
Les formes des lentilles le plus ordinairement employées produisent une aberration plus grande : rherchons-en la valeur dans le
H'JII
LEÇONS SUlt l/OI'TKJUE.
cas de la lentille plan-convexe et de la lentille à courbures égales ou lentille éq uiconvexc.
Si la première tourne sa face plane vers la lumière, on a lî = oo , S— o. S'— a F, et l'aberration est
1 >1 (lT\
File est presque une fois et demie supérieure à l’aberration minima. Si au contraire on tourne la face convexe vers la lumière, on a
S — 9F, <T — o, et l’aberration égale — ^ y (S 4- ^ y qui
surpasse l’aberration minima. mais de moins de De là l’usage
fréquent des lentilles plan-convexes, (pii. présentant la face courbe vers la lumière, équivalent presque dans la pratique à des lentilles où l’aberration serait réduite à sa plus petite valeur.
La lentille équiconvexe est celle que l’on considère le plus fréquemment dans les traités d’optique, et c’est d’après l’aberration qu’elle produit que nous jugerons de l’importance de cette imperfection dans les lentilles, au point de vue de la pratique. On a ici
S- -ÿ et t--¥.
La valeur de l’aberration longitudinale principale est
-i.rf,
Comparons cette valeur à l’aberration minima. qui nous
voyons que dans la lentille équiconvexe elle est une fois et demie plus grande.
509. Importance relative de l’aberration de sphéricité et de l’aberration de réfrangibilité. — Pour traiter complètement le problème de l’aberration de sphéricité dans les lentilles, il serait nécessaire de considérer les rayons inclinés sur l’axe d’une manière quelconque : mais , à cause de l’extrême longueur des calculs .
I NSTKUMKNTS n’OI'TIQUK.
