HH

il est bon <!<■ chercher quelle est l'importance il<* l’aberralion de ces rayons oblii|ues, et de \oir si l’on ne peut se contenter de ce qui a été dit sur les rayons parallèles à l’a\e.

Il existe, en effet, dans les lentilles une aberration de réfranjji— bililé que l’on corrige avec beaucoup de peine, et si, après qu'on l’a rendue aussi petite que possible, elle conserve encore une valeur comparable à l’aberration de sphéricité des rayons parallèles, il n’y aura pas grand intérêt à étudier celle-ci pour les rayons obliques. Or l’aberration de réfrangibilité est égale à la variation produite dans la distance focale f, lorsque l’indice de réfraction » varie; elle est donc égale à

La valeur de y se compose de (h — 1) (S — S'), plus des termes qui sont fonctions de n et proportionnels à l’épaisseur h de la len-

yl ,

tille, ou ky; on aura donc, pour A. ^ le ternie An (i S!), puis • • y*

des termes où An est multiplié par // ou par y et qui sont très-petits par rapport au précédent. Ainsi, pour première approximation, l’on a

A./— /An (S-S1) - -p\n—~-

s'appelle le pouvoir dispersif; en le représentant par d, l'aberration de réfrangibilité est représentée par fil, produit de la distance focale par le pouvoir dispersif.

Les rapports des aberrations de sphéricité, dans la lentille d’aberration miniuia et dans la lentille équiconvexe, à cette aberration de réfrangibilité, sont

i \ pd il pd

Or il est assez ordinaire que l’on ail y = ^: c'est la valeur que

Frauenhofer adoptait pour ses objectifs. D’autre part, le pouvoir dispersif du crown est o.o.l; celui du (lint o,o5. Kn substituant ces nombres dans les rapports précédents, ils deviennent :

LEÇONS SDH I/O PT Ig U K.

Dans la lentille d'aberration minima en flinl. jj j

Dans la lentille d'aberration minima en crntvn.. | ,|0 l'nlierralioa

Dans la lentille équiconvexe en flinl ^ 1 de réfrangibilité.

Dans In lentille rqiiirnnvexe en wi*n '

iG

On ne peut donc songer à corriger l'aberration de sphéricité sans avoir préalablement nchromntisé la lentille aussi exactement que possible.

Comme dernier exemple, nous citerons un grand objectif de Frauenhofer, de a mètres de distance focale, et dans lequel y = ■

L’aberration de sphéricité n’était que de o",oo37, c’est-à-dire de moins de h millimètres, quand la lentille d’aberration minima en aurait produit une de o",ooaa , c’est-à-dire plus grande que a millimètres. Ces quantités sont très-petites, comparées à l’aberration de réfrangibilité qui, dans une lentille en flint, était égale à o“,io. et, dans une autre lentille en crown, à o™,o6.

Ainsi notre étude de l’aberration de sphéricité ne peut s’appliquer à la pratique qu’après une étude complète de l’achromatisme.

On substitue généralement les axes secondaires aux directions des rayons sans déviation; on commet ainsi une erreur qu’il importe de connaître et d’éviter; c’est également à tort que l’on suppose les images comprises entre les cônes avant pour sommet le centre optique. Nous avons donc à reprendre à nouveau toute la théorie des lentilles, en cherchant le degré d’approximation de nos calculs pour la recherche des foyers.

510. Règles empirique» suivie» dam* la construction de* objectif* — Avant d’exposer la théorie complète des lentilles, nous donnerons, comme conclusion de ce (pii précède, nu sujet des aberrations de sphéricité et de réfrangibilité, une règle suivie dans les ateliers de Cauchois, et que suivent encore beaucoup d’opticiens sans trop en connaître les raisons. Elle est relative à la construction d’une lentille achromatique. Lne lentille achromatique se compose d’une partie en croon et d’une partie en flint, substances dont les

INSTKLMKNÎS U OPTIODE.

indices moyens diffèrent peu dp elle produit donc sur les rayons moyens du spectre l’effel d’une lentille unique limitée par les surfaces non communes des deux précédentes. On taille ces surfaces de manière à rendre l’aberration de sphéricité minima; ainsi le rayon de la surface en flint sera six fois plus grand que celui de la surface en crovvn; quant à ce dernier, il est donné par la formule élémentaire en fonction de la distance focale. Ainsi on a

7=(" - ')(i + iï')’

IV = fi K.

(îela fait, on cherche, par les règles élémentaires de l’achromatisme, quel doit être le rayon commun des surfaces de crown et de flint en contact; on monte les «leux lentilles ensemble et on reconnaît : i"que le système est imparfaitement achromatique; a° que la distance focale diffère un peu de la distance calculée; 3° que l’aberration de sphéricité n’est pas minima : mais les trois conditions qu’on s’était imposées ne sont cependant pas loin d’être réalisées. On monte la lentille sur une lunette et on vise une mire très-éloignée : des barres noires, comme des caractères d’imprimerie, font une mire convenable à une distance suffisante; on peut aussi viser le ciel : par la coloration des images, on juge du degré d’achromatisme obtenu, et on rend cet achromatisme aussi parfait que possible en travaillant les surfaces de contact des deux verres; puis il faut restituer à la distance focale la valeur qui convient en retouchant une des surfaces extérieures, et comme ce travail a détruit l’achromatisme, on le rétablit en revenant encore aux surfaces de contact. Chaque opération détruit partiellement l’effet de la précédente, mais, en continuant à corriger la distance focale et l’achromatisme, on parvient à réunir les deux conditions à la fois, il reste une troisième surface à laquelle on n’a pas louché : c’est elle qui servira à corriger l’aberration de sphéricité; pour cela, on examine un objet éloigné en couvrant successivement le centre puis les bords de la lentille, à l’aide de diaphragmes convenables; i*l dans les deux cas il faut que les images aient la même netteté sans qu’on soit obligé d’enfoncer plus ou moins l’oculaire; jusqu’à

••p qu’on y soit arrivé, on modifie la courbure de la troisième surlace en se guidant par la formule d'aberration minima. Ce dernier travail détruit en partie l'effet des précédents, mais il suffit de les reprendre dans le même ordre, et, en n’enlevant «pie des quantités de matière extrêmement petites, ou modifie assez les courbures pour réaliser toutes les conditions qu’on s’était imposées. C’est d’après «s règles que sont faits la plupart des objectifs îles bonnes lunettes; ils sont excellents, mais ce ne sont pas les plus parfaits que la théorie nous permette d’imaginer.

3° TIIKORIK DF. CUSS.

511. Imperfections de In théorie précédente. — Nous avons signalé l'inexactitude des résultats auxquels conduit la théorie élémentaire de l’aberration de réfrangibilité, appliquée aux lentilles; celte inexactitude provient de plusieurs causes : on a substitué des axes secondaires aux rayons sans déviation; on a négligé l’épaisseur de la lentille; enfin on a déterminé les foyers par des constructions planes, sans s’inquiéter des aberrations des rayons non situés dans les plans considérés. On voit donc que pour mettre quelque rigueur dans les calculs il faut renoncer aux constructions géométriques simples, et considérer à l’aide de la géométrie à trois dimensions les rayons réfractés dans des plans divers; c’est à ce point de vue que nous allons traiter de la réfraction. On doit à (îauss d’avoir introduit dans cette question la géométrie à trois dimensions, d’une façon très-élégante, et nous le suivrons dans ses calculs.

Ajoutons que l’aberration de sphéricité a été étudiée par Kuler, non sans de longs calculs, et que la théorie élémentaire de l’achromatisme est due à Dollond et à quelques autres opticiens anglais.

5112. Réfraction par une Mtrfaec sphérique. — Kn premier lieu, considérons la réfraction, par une surface sphérique, d’un rayon situé d’une manière quelconque par rapport A l’axp, mais trèspeu incliné sur lui.

Soit l’axe 0.r (fig. 3i3) parallèle à l’axe de la surface, r’est-àdire à la ligne qui joint le rentre de la calotte sphérique considérée

INSTHU MKNTS D'OPTIQUE. S'Jf.

■à >on pôle ou sommet : appelons A et (j les abseisses du sommet A et du rentre C. Nous compterons les abseisses positivement dans le spos de la propagation de la lumière : cette convention, contraire à

Ki(. 3i3.

celle cpie nous avons faite quelquefois, a pour but de faire croître les abscisses à mesure que le rayon s’avance vers les diverses surfaces dont il sera question par la suite. Un rayon quelconque SP, qui rencontre la surface considérée, a pour équations

Il est commode de les écrire sous une autre forme, en remplaçant x par x — A et mettant en dénominateur dans son coefficient l’indice de réfraction » du milieu qui précède la surface; on aura ainsi pour équations du rayon incident

b et c sont les coordonnées du point où ce raton rencontre le pian tangent mené par le sommet A. Nous supposons, comme il a été dit, le rayon SP très-peu incliné sur l’axe des x, et par conséquent ,3 et y sont des quantités très-petites, de l’ordre des angles d’incidence et de réfraction; dans nos calculs, l’approximation sera poussée aux valeurs de l’ordre du cube de ces quantités.

Kn désignant par u l’indice de réfraction du milieu qui suit lu

\ tRDtT, IV. — (’.onf«'*r*»nres d** pln**i<jm\ ;»7

surface*, les équations du rayon réfracté peuvent se mettre sous la forme

dans lesquelles /S', y', b', c ont des relations déterminées avec /S . y, b. c. Pour trouver ces relations, considérons le point P où le rayon incident se réfracte; joignons-le au centre <1 H soit 6 l’angle de PC avec l’axe. L’abscisse de P est

OA 4- AH = A -j- R (« — eos 6) :

cette valeur, substituée dans les équations des deux rayons, détermine des valeurs identiques pour y ainsi que pour On a donc

- R (i — cos 0 ) 4- b = —, R ( i — ros 6 ) -t- li',

~ R (« — cos Ô) + c = ^ R (i — cos $J + r .

i — cos 6 est un sinus verse, quantité infiniment petite du second ordre ; les premiers termes sont donc du troisième ordre et on les néglige: ainsi

Il reste à déterminer /S' et y'.

Considérons les points Q, Q', où le rayon incident et le rayon réfracté rencontrent le plan perpendiculaire à l’axe mené par le centre C; les points C, Q', 0 sont sur une droite intersection de ce plan avec le plan normal d’incidence : nous désignerons par X, X' les angles de cette droite avec PQ et PQ', et par f, r les angles d’incidence et de réfraction. En considérant les triangles PQC et PQ'C, on a

sin i CQ sin r CQ'

sin X lt ’ sin X’ R ’

donc

CQ' sin r sin X « sinX CQ sin i sin X' n'sinX

Mais le rapport est celui des projections de CQ' et CQ sur les

liNSTRUMF.VTS D’OPTiyilK.

axes îles y el des r, projections ipii sont les y et les z des points ()’ et (), dont l’abscisse est j: = f!. Les équations du rayon incident el du rayon réfracté deviennent donc

sin X sin X

sin X

sin /

On peut simplifier ces relations en remarquant que le rapport de sinus d’angles infiniment voisins de <jo degrés ne diffère

de l’unité que de quantités infiniment petites du second ordre, et comme b' et r' sont égaux a li et c, aux quantilés infiniment petites du troisième ordre près, on a avec la même approximation

Oos quantités doivent demeurer infiniment petites du premier ordre;

il faut donc que- — - — ■^so‘,‘nl <l*< premier ordre.

513. Réfraction par un nombre quelconque de aurfaeea sphérique*. — Passons au cas où le rayon lumineux, toujours peu incliné sur l’axe, rencontre une série de m surfaces sphériques ayant toutes le même axe. Soient A,, A,, A2, ..., A, les

abscisses des sommets; (!0, C,, Cs C„ celles des centres de

courbure; «ot a, , . . . . , nm les indices de réfraction des milieux

qui précèdent les surfaces caractérisées par les indices o, 1, e,..., m; et soit enfin n„ + 1 l’indice de réfraction du milieu qui suit la m*"" surface.

Le ravon incident a pour équation

H'M LEÇONS Slilt L’OPTIQUE.

Pour caractériser le rayon réfracté une fois, on a d’après re qui précède

Aj [■!>,.

y. » . . n. — nm

et. pour simplifier les notations, nous poserons

en augmentant tous les indices d’un nombre égal d’unités pour avoir u2 um: les valeurs de /S,. y, prennent ainsi la forme

Pour passer du rayon réfracté une fois au rayon réfracté deux fois, il faut donner aux dernières équations la forme qu’avaient celles du rayon incident, afin que les calculs soient symétriques: le ravon , réfracté une fois contiendra donc dans ses équations la coordonnée A, du deuxième sommet, et par exemple l’une d’elles sera

è, est une nouxelle quantité qu’on détermine en identifiant cette nouvelle forme d’équation avec la première.

d’où

en posant, pour simplifier l’écriture.

Les fonctions t.,, I3, ... s’obtiennent en augmentant convenablement les indices. Kn résumé, le rayon réfracté une fois a ses équations île la forme de celles du rayon incident, et , de même que l’une

est déterminée en fonction de

(Je même nous déterminerons l'équation correspondante du rayon réfracté deux fois, en fonction de

Le troisième rayon réfracté dépend pareillement de h.2 et le quatrième de b3 et /S^ enlin le »« + i““, (pii est le rayon émergent . dépend de hm et j3m + l dont les valeurs sont

K A-.-H.A. A. + , 0m + uubm.

Nous ne considérons qu’une des équations de chaque rayon, on passerait à l’autre en changeant y , A, / 3 en z, c. y.

Toutes les relations précédentes sont linéaires; ainsi les constantes qui entrent dans les équations des divers rayons sont des fonctions linéaires cl • A, et /3„; elles ont de plus avec les constantes initiales A., A des relations remarquables qui permettent de considérer les coefficients de A„,/3„ comme les numérateurs et les dénominateurs des réduites d’une fraction continue. Considérons, en effet, la suite des termes :

Premier ravon.

A = yS„-(- «„A„.

Deuxième rayon,

b\ — b„ 4- h ( A + «u A) = A { * 4- «.h ) 4* Ah ,

A- “A4- «.A 4- «j (« 4- «oh) b„+u,l, /30 “ A | «0 4~ «i(i 4- «„h)] 4- A ( » 4- »ih)-

Troisième rayon.

Les coellicients de A, et de A suivent la loi qui lie les numérateurs

et les dénominateurs des ternies des réduites d’une fraction continue : chacun d’eux est égal à l’antéprécédent , augmenté du produit du précédent par une quantité nouvelle; par exemple, dans A,, on voit que le coefficient de h , est égal à celui de A„ dans l’expression de A, plus le produit d’une quantité nouvelle t2 par le coefficient de A„ dans l’expression de /3.,; la même relation existe entre les coefficients de /3„. Si donc l’on calcule les réduites de la fraction continue

leurs numérateurs sont les coefficients de A„ dans les expressions des constantes A|,(S2. b.,. /33, etc.; leurs dénominateurs sont les coefficients de j3„ dans les mêmes expressions. On remarquera que pour déterminer le »i-t- i'""‘ rayon réfracté, c’est-à-dire le rayon émergent, il faudra calculer la sa - i""' et lu w"" réduites; en conséquence, si

nous les désignons par ^ et j < la différence /// lik sera égale à -f- 1 , et cela d’après celte propriété qu’ont deux réduites consécutives

pn* <le donner une expression A!,) — Bw Ai*+’1 qui

égale -f-i si «+ i est pair, et — i si « 4- î est impair. Ainsi le rayon émergent est déterminé par les équations

dont les coefficients sont donnés par

!>. ■- ffA„ + /'&.