AA„ 4- //S

et

c- /;r« + y. + ,=Ac„-f ly„.

avec la relation

/;/ — lib — i .

Pour abréger l’écriture, nous marquerons d’un seul accent les coefficients qui entrent dans les équations du rayon émergent: ainsi posons

bm = b\ = /3\

il vient alors

!>' — gb o 4- A/ 3„.

d’où l’on déduit, en multipliant la première par /puis par A-, l’autre par A puis par g, et retranchant,

A„ = lb' — //£'.

A-flS'-W'.

Nous avons ainsi déterminé complètement le rayon émergent. Avant de le comparer au rayon incident, nous ferons encore celle remarque sur toutes les réduites, et en particulier sur g, A, A, /, c’est que ces quantités sont des fonctions de u0, I,, Uj. t3, ..., qui

ne changent pas si l’on renverse l’ordre de celles-ci, si par exemple on change u„ en t3,tl en u.^, u, en L,, et réciproquement.

51 A. Théorie générale des foyer» et des images. —

Revenons maintenant au rayon incident. Prenons sur lui ou sur son prolongement au delà de la première surface un point arbitraire dont les coordonnées sont £. a, Ç : ces valeurs satisfont, par conséquent, aux équations du rayon incident, et l’on a

A cause de leur symétrie, considérons seulement la première de ces équations et remplaçons-y jS, et b . par leurs valeurs en fonction de b', /S': il viendra

OU

ce qui donne une

LEÇONS Sl’R I/OPTIQUE.

nouvelle expression de h',

,, ». i + /S' [ uji j(£-\.)|

nj /.•(? \.

(jette expression, substituée dans les équations du rayon émergent, V introduit ainsi les coordonnées d’un point du rayon incident: on pourra donc chercher si à ce point ne correspond pas quelque autre point remarquable. Effectuons cette substitution : l’une des équations du rayon émergent prendra la forme suivante.

(.r - .V)rf-

On a de même pour la seconde équation

j ) «'|»../i-ÿt< V |* . n£

De là cette conséquence : ces équations sont satisfaites si on annule la parenthèse pour déterminer x, et qu’on égale y et aux termes qui restent; le point dont les coordonnées s’obtiennent de cette manière est situé sur le rayon émergent, et, en appelant £', a’, Ç’ ses coordonnées, on a

(aimme ou le voit, ces trois coordonnées sont fonctions de g, h. À, /. c’est-à-dire des positions et de la nature des milieux réfringents: puis de ç, u.Ç. (pii déterminent un point du ra\ou incident. Mais elles sont entièrement indépendantes de è„, r„, ipii déterminent le point d’incidence sur la première surface. Donc tout rayon passant an point l ï. a, £|, et rencontrant les surfaces réfringentes dans le

voisinage de l’axe, vient passer au point (£'. Ç ). Pour arriver à ce résultat, on néglige les quantités de l’ordre du sin* de l’angle du rayon incident avec l’axe. Il est donc démontré d’une manière trèsgénérale, au degré d’approximation qu’on v ient d’indiquer, que les rayons passant en un point situé ou non sur l’axe, et qu’on peut appeler foyer, vont passer à un deuxième lover, après réfraction sur un sy stème de surfaces sphériques ay ant même axe. Le premier lover est réel si l’on a £ — <Z o, et virtuel dans le cas de Ç — A„> o : le deuxième est réel pour ç'~ V !> o et virtuel pour o.

Considérons les situations relatives de ces deux foyers: la comparaison de leurs abscisses n’olfre rien de remarquable, mais on a pour les autres coordonnées

v C __ JK

relations qui indiquent que les projections du point lumineux et de son foyer sur le plan yz sont situées sur une ligne droite passant par l’origine, que par conséquent le point lumineux et son foyer sont dans un même plan avec l’axe des .v. Comme, d’autre part, £’ ne dépend que de la valeur de ;, les points lumineux situés dans un plan perpendiculaire à l'axe ont leurs images dans un même plan aussi perpendiculaire à l’axe. El de toutes ces remarques il résulte avec évidence que l’image d’un objet plan est plane et semblable à cet objet.

Le rapport des dimensions linéaires de l’image et de l’objet s’appelle grossissement; comme on le voit, sa valeur est ici

Si cette expression est positive, £' ont les mêmes signes

que £. a, £, et par suite l’image est droite; si l’expression est négative, l’image est renversée.

On peut donner à cette expression du grossissement une autre forme, en ayant égard à l’identité gl kh ----- 1. car on a

no/l LEÇONS SUR L'OPTIQUE,

d’où

et en ajoutant g- de part et d’autre, après avoir tout multiplié par G