PImm et pointa principaux. — D’abord , pour le cas

d’une surface réfringente unique, nous avons vu que si l’une des projections du rayon incident est représentée par

9~îix~ A) + 6’

la projection correspondante du rayou réfracté a pour équation » = £(* *) + *•

où /S' est déterminé par l’équation /3' = — g b\ A — (i est égal

et de signe contraire au rayon de courbure de la surface, si elle tourne sa convexité vers les rayons lumineux: il est de même signe que ce rayon, si la surface tourne sa concavité vers les rayons lumineux. Or, en examinant ces équations, on peut dire qua ce degré d’approximation le rayon incident et le rayon réfracté coupent en

un même jioinl le plan mené perpendiculairement à I’a\e par le sommet de la surface réfringente : ceci nous donne un point du rayon réfracté, et il sullira d’en chercher un second pour le déterminer complètement.

Si l’on possédait un plan doué de la inéme propriété, lorsque le rayon traverse un grand nombre de surfaces réfringentes, on conçoit qu’il serait d’une grande utilité pour la construction du rayon réfracté; cherchons donc s’il n’existerait pas un pareil plan.

L’une des équations du rayon incident sur la première surface est . comme on l’a vu.

Téquation correspondante du rayon émergent est, d’autre part,

Si, au lieu d’égaler les valeurs dey correspondant à une même abscisse x, il nous est plus commode de le faire pour des abscisses distinctes, il est clair que le résultat sera le meme, car nous aurons deux plans rencontrés à la même distance de l’axe, l’un par le rayon incident, l’autre par le rayon émergent: de l’un des points connu, on passera à l’autre en menant une parallèle à l’axe. Soient donc E. K’ deux valeurs spéciales de x, telles qu’on ait

K - AJ + /,„ - A') +gb. + /i/3„.

Pour que les plans correspondant aux abscisses K , E' jouent le rôle du plan dont on a parlé dans le cas d’une surface unique, il faut que l’équation précédente ait lieu pour tous les rayons incidents: elle doit donc être satisfaite quels que soient et /S „, ce qui exige que les coefficients de ces quantités soient nuis : en les égalant à zéro, nous aurons deux équations du premier degré qui détermineront E et E'. On ne peut, comme dans le cas d’une seule surface, avoir un plan unique, car les équations qui en donneraient l’abscisse sont en général incompatibles. On a donc

rtofi

d’où

E'=A' + (i-ff)£:

et semblablement

*ïr “ «' ( K' - A' ) + * - ( 1 - 1) i + A •

d’où

Les deux pians ainsi déterminés ont été appelés par Gauss les plans principaux. Les plans principaux sont donc des plans perpendiculaires à l’axe du système réfringent, et rencontrés à la même distance de l’axe, le premier par le rayon incident, le second par le rayon émergent.

Les points où ils coupent l’axe ont été appelés les powls principaux.

Les plans principaux étant au nombre de deux, on convient que le premier soit celui qui est déterminé par A., »0. /, k, c'est-à-dire celui dont on considère l’intersection par le rayon incident; l’autre est appelé le second, quelle que soit d'ailleurs sa situation par rapport au premier et à la source lumineuse. Le point de rencontre du premier plan par le rayon incident est défini par les données mêmes; par ce point, on mène une parallèle à l’axe jusqu’à la rencontre du second plan, et l’on connaît ainsi un point du rayon émergent.

516. Plan* focaux. — Connaissant un point du rayon émergent, il suffira d’un deuxième point pour le déterminer entièrement. Pour cela, nous considérerons le rayon incident comme appartenant à un faisceau de rayons parallèles, et nous en déterminerons le lover de convergence. Or, en vertu des propriétés du plan mené perpendiculairement à l’axe par le foyer des rayons parallèles à l'axe, il suffit de trouver ce loyer: incidemment, nous chercherons aussi le point d’où les rayons incidents doivent émaner pour émerger parallèlement à l’axe; ces deux points, que nous désignerons par F’ et F, détermineront les plan' focaux du système.

I INSTRUMENTS l)‘OPTIQUK. ‘J07

Appelons F l’abscisse du point F où se croisent les rayons incidenls donnant à l’émergenre des rayons parallèles. Pour déterminer F, il faut exprimer t|ue les rayons éinerj;ent parallèlement à l’axe: par consérpient, dans l’eqiialion

U — l~l^‘ (x - \’) + gb'+ l,i S„

qui est une de celles du rayon émergent, il faut nue l’on ail

et on a une condition analogue au moyen de la seconde équation du rayon émergent; mais, à cause de la symétrie, il est inutile de l’écrire. La valeur de /S., substituée dans l’équation de la projection du rayon incident sur le plan xy, lui donne la forme

Nous pouvons dès lors trouver aisément le point F, qui est le point où ce ravon incident coupe l’axe; faisons y— o dans cette équation, elle devient

d’où

ün remanpiera la simplicité de la relation qui existe entre F et K,

Cherchons maintenant F’, abscisse du point où l’axe est coupé par les rayons émergents provenant des rayons incidents parallèle?, à l'axe. On fera — o, et l’une des équations du rayon émergent considéré sera

LEÇONS SDK L'OPTIQUE.

Pour avoir 1«* point de renrontre avec l’axe, faisons-y y—o; il vienl

d’où

On remarquera la relation très-simple <|ui existe entre F' et E\

Les abscisses des points principaux sont E et E'; celles des plans focaux sont F et F'; on distingue le premier plan focal et le deuxième comme on n distingué le premier plan principal et le deuxième, c’est-à-dire par des propriétés physiques et non par la situation dans l’espace. Ajoutons cette remarque bien évidente, qu’en vertu du principe du retour inverse des rayons, si la lumière vient de l’autre côté, le premier plan focal devient le second, et rire rersa.