INTÉGRATION D UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Par définition,

—b-hh , — b — h , h

donc l'équation (I) peut prendre la forme

ou bien

dz z

En multipliant les deux membres par (a — a'), on trouve d (z-

dt\z d'où

Or pour / =: 0, on a

-, = Ge^'.

u — a et par suite l'intégrale cherchée est définie par l'équation

(1) .^ZZ5,= H^l^e/.r. ^^

^ ' z — au — a

Remarque I. — Posons

de sorte que

pp>

k = ^, 6 = (P'B, PB);

l'équation (1) prend alors la forme

^^=^ = Te'^ (T = ke

ht\

Lorsque la variable (réelle) T est quelconque, cette équation représente (chap. vi, § 2, a) la circonférence entière circonscrite au triangle PBP'. Mais comme T est positif la courbe intégrale se réduit à l'arc de circonférence PBP'.

Remarque II. — La transformation (1), qui fait correspondre le point variable (z) au point fixe («), est une transformation cyclique. L'équation (1) est la forme canonique. Enfin les transformations obtenues en faisant varier t forment un groupe à un paramètre t.

INTEGRATION D UN SYS TEME D EQUATIONS DIFFERENTIELLES 49

c) Intég-ration de l'équation I. — 2** cas : b^ — Aac < 0.

— Soit

6^ — Aac = — h^;

les racines du trinôme sont

— b-+-hi , — 6 — hi , hi

Le calcul précédent est encore applicable et donne

? ^= je

iht

Remarque. — Soient p et p' les points d'affîxes a et a'; ces points sont symétriques par rapport à Taxe des x. On a encore

donc réquation (2) devient, en posant ^-hht = — T,

ke-

La variable réelle T étant ici quelconque, cette équation définit la ciVcon/erence en //ère passant par le point B(u) et appartenant au faisceau [p, p').

Enfin la remarque II du paragraphe 6 précédent est encore applicable ici.

d) Intég-ration de l'équation I. — 3*= cas : 6^ — Aac = 0. —

L'équation (I) devient

^ = c(z-ar

et l'intégrale cherchée est définie par l'équation

(1) — — = cl. <-Œ

Cette équation est celle d'un cercle passant par le point donné B («) et tangent à l'axe des x au point d'abscisse a (voir chap.vi, §2, c).

Remarque. — La transformation (1) qui fait correspondre le point variable (z) au point fixe (u) est une transformation cyclique à points doubles confondus. L'équation (1) est sa forme canonique. Enfin les transformations obtenues en faisant varier / forment un groupe à un paramètre /.

DE TANNENBERO, Tratisform, 4