Unité de capacité : litre

Par définition, on appelle litre, le volume du kilogramme d'eau à son maximum de densité (4° environ).

Si la définition admise pour le kilogramme par les fondateurs du système était rigoureusement réalisée, en aurait : litre = décimètre cube.

Après de longues expériences où l'on a mis en œuvre les moyens les plus précis, on a trouve :

litre= 1,000.027 décimètre cube.

Il revient au même de dire qu'au maximum de densité, un décimètre cube d'eau a pour masse :

0,999.973 kilogramme.

La différence est de 27 milligrammes.

La masse spécifique de l'eau au maximum de densité est donc : 0,999.973.

114. Profil choisi pour les mètres étalons. J\ — Tous les livres d'enseignement contiennent dételles sottises à ce sujet que je dois insister; autrement elles se perpétueraient, eu vertu de la commode habitude des faiseurs de bouquins de se copier les uns les autres sans jamais comprendre ce qu'ils écrivent, ni même regarder les figures qu'ils s'empruntent.

La figure 139 représente deux des protils clioisis. le premier en Xpour les mètres étalons, le second en II pour les n'aies géodésîlues. Ils sont inscrits tous deux dans un carré. La nervure G<i sur laquelle est tracée la graduation passe par le cent!.- () du carré : d'où résulte que les profils ne sont pas si/nir/ri'/m'S par rapport mi.i axes horizontaux Oy. Tous les bouquins d'enseignement les repré-

sentent symétriques; cette dissymétrie est pourtant essentielle, puisque, dans l'indétermination presque absolue du 'profil, la seule condition exigée par les considérations suivantes est que la trace GG du plan de la graduation passe par le centre d'inertie de la section. Si la section était symétrique par rapport à Oy, il est clair que le centre d'inertie serait à l'intérieur du métal.

Pour comprendre la suite, le lecteur se reportera aux §§ 39 et suivants de mon Cours de mécanique physique; je les résume, afin de rendre évidente la nature du problème et l'ineptie de ce qu'on trouve imprimé partout (sauf dans le mémoire original de Tresca, dont le texte in extenso est difficile à trouver).

i?°. — Posons une règle cylindrique, telle que celles dont les profils sont représentés, sur deux supports dont les arêtes, sont horizontales et parallèles (fig. 140).

La théorie élémentaire de la déformation s'appuie sur un certain nombre d'hypothèses qui amènent les conséquences suivantes.

Yxç. 140.

Les sections droites de la règle non déformée restent des sections droites de la règle déformée. Chaque section tourne autour d'une droite horizontale A passant par son centre d'inertie. La règle étant cylindrique avant toute déformation, les droites a forment un plan n appelé plan des fibres neutres. Dans la déformation ce plan devient un cylindre dont les génératrices a sont normales à Taxe du prisme.^

Toute droite parallèle à l'axe du cylindre non déformé et contenue dans le plan n, est une fibre neutre; on entend parjlà qu'elle ne s'allonge pas sensiblement ni ne se raccourcit du fait de la déformation.

Etant données la longueur d'une barre cylindrique et la position des arêtes d'appui (supposées dans le même plan horizontal), la forme queprend une fibre neutre quelconque ne dépend que du poids p de la barre par unité de longueur, du module d'Young E, de la matière qui la forme, enfin du moment d'inertie I de la section droite par rapport à la droite a.

Ce moment est délini par l'équation ;

l=ffx*dxdy;

la droite a est prise pour axe 0//; l'intégrale est étendue à toute la section droite.

SYSTEME MÊTRIQt : l.V,

Posons n=/> ; El. Les flèches et les inclinaisons de la libre déformée sont, toutes choses égales d'ailleurs, proportionnelles à il. D'où résulte que le métal de la barre étant donné, ainsi que Taire de sa section droite (les quantités p et E sont dès lors imposées), les flexions sont en raison inverse de I, la position des supports étant, par hypothèse, elle-même imposée.

3*. — Le lecteur comprend maintenant l'immensité de la sottise de dire qu'on a choisi la section de manière que la résistance, à la flexion soit maxima. Cela revient à dire qu'on l'a choisie de manière que I soit maximum. Or I n'a pas de maximum; pour une section d'aire donnée, rien n'empêche de prendre I aussi grand qu'on veut, théoriquement au moins : par exemple, on peut donner à la section la forme d'un anneau infiniment mince de rayon infiniment grand. Il est vrai qu'alors la théorie élémentaire ne s'applique plus, sans parler d'autres déformations qui deviennent infiniment dangereuses.

En fait, le problème du minimum de déformation est absolument indéterminé; la section droite choisie pour le mètre étalon présente les mêmes avantages qu'une infinité d'autres; le lecteur le plus ignorant des mémoires relatifs aux étalons en est prévenu par le fait qu'on exécute simultanément des règles en X et des règles en H; preuve que des formes aussi différentes sont également acceptables. Il est même amusant de remarquer que, dans son mémoire, Tresca ne parle de la condition de raideur maxima que pour déclarer son importance secondaire.

Au surplus, quel physicien ayant jamais discuté un problème, peut s'imaginer que des formes aussi complexes que celles représentées sont mathématiquement déterminables ?

Voyons donc à quelles considérations générales on a obéi.

4°. — On n'a pu poser qu'une seule condition mathématique impérative : le tracé de la graduation sur le plan des fibres neutres, par suite le choix de la section de manière que ce plan soit une des surfaces limites du solide choisi.

Ce que nous avons dit. du plan des fibres neutres (il conserve des dimensions invariables pendant la déformation) justifie ce choix.

En définitive, on a posé qu'une surface libre horizontale GG du cylindre supposé placé sur un plan horizontal, contiendrait le centre d'inertie O de la section : ce qui laisse une indétermination quasi complète. Une seule conséquence est imposée, celle même que les faiseurs de traités oublient : la section droite ne peut plus être symétrique par rapport à un plan horizontal. En effet, si elle Tétait, le centre d'inertie qui serait évidemment dans ce plan, se trouverait dans le métal, et non sur le métal.

Voici l'expression analytique de la condition imposée :

ffx.dxdy = 0;

l'intégrale est étendue à toute la section droite. 5°. — Nous sommes encore fort loin duJ)ut. On a comblé Tinter-

valle comme on a pu, arbitrairement, il va sans dire, mais de la manière qui semblait la plus naturelle.

On a posé que la section serait symétrique par rapport à la verticale Ox passant par le centre d'inertie, qu'elle serait inscrite dans un carré, que le plan GG des fibres neutres passerait par le centre de ce carré, que la surface extérieure serait symétrique par rapport à Taxe Oy. En un mot, on a imposé toute la symétrie compatible avec la condition de mise à nu du plan des fibres neutres.

La figure 139 montre que des formes aussi différentes que l'X et H, satisfont à toutes les conditions énoncées.

(>ù. — Il fallait bien en arriver à des nombres.

Pour les règles en X en platine iridié, on a pris 150 mm* pour aire do la section droite et 2 cm. pour coté du carré circonscrit. On ne pouvait guère augmenter Taire sans aboutir à un poids, c'eftt-à-dire à un prix prohibitif. Une telle section donne au mètre un poids voisin de 3 kilogs, c'est-à-dire un prix de l'ordre do 20.000 francs, au cours actuel du platine. D'autre part, pour une aire et une forme générale données, le moment d'inertie croit quand on augmente le côté du carré circonscrit, mais corrélativement l'épaisseur des bras diminue. On est conduit à ne pas les prendre trop minces; l'aire du carré étant de 400 mm*, le vide vaut environ deux fois le plein.

La règle géodésique en H est inscrite dans un carré de 4 cm. de côté.

115. Flexion et variation de longueur d'une poutre supportée par deux appuis.

C'est la généralisation très élémentaire du § 44 de ma Mécanique physique, à laquelle je renvoie le lecteur.

Désignons par / la distance des supports (fig. 140), par L la longueur de la poutre, par p le poids par unité de longueur.

Le poids de l'élément dz est donc pdz.

Posons pour simplifier l'écriture : z:L = ly l: L = X, />:EI=n.

/°. — Le couple qui s'exerce dans une section quelconque M comprise entre les appuis, a pour expression :

En effet, le poids total de la barre est/;L; la force verticale dirigée vers le haut qu'exerce chaque appui est //L : 2. Le moment de cette force par rapport à la section M est donc bien représenté par le premier terme.

Un élément dz = du, situé n'importe où à droite de M à la distance u du point O, produit en M un couple :

— pdu[u — z\

Il faut intégrer cette expression par rapport à u entre z et L:2. Cela donne précisément le second terme de l'expression.

Appliquons la formule fondamentale [Mécanique jthysique, % \\) :

dzi Il vient :

dz~ 2 L 4+ 2 3 ]' r— 2 L 8 + 4 12J

Les constantes d'intégration sont déterminées par la condition que la courbe passe par l'origine et y soit horizontale.

Cherchons l'inclinaison de la barre au point de contact avec les supports et la flèche en ce point (distance A*; ; il suffit de poser z=l:2. On trouve :

Ar nLar X a» ),3n tg*~ dz~ 2 L 8+4 24 J'

Ul/r^! ril ^L l

2°. — Considérons maintenant une section N en dehors des supports. Le couple qui s'exerce dessus a simplement pour expression :

C = ~fi\2~Z) =VL— 4 + ;ï J'

D'où par intégration :

dx\\Up} ; C* ;3i dz~ 2 L8 4 + 2 3J'

Les constantes d'intégration sont déterminées par la condition que les courbes (1) et (2) se raccordent tangentiellement au niveau des appuis.

L'inclinaison et l'ordonnée aux extrémités de la barre sont :

Q rf-c nLTAl JLl tg?— ^ — ~2L8 24|'

X~ 2 L 48+lG 64 J" La flèche f'=Bb a pour expression :

'/v nL*r 1 Ta» X3 » -1 ' ~~ 2 LG4 32 + 12 192 J*

3*. — Le calcul approché de la longueur de la règle déformée ne présente aucune difficulté. On a :

*=iV'+(l)'^=/"=+/l(ë)'^

Il ne reste qu'à substituer les valeurs précédemment obtenues pour d.ridz.

Par des calculs qu'il est inutile de transcrire, on trouve pour nouvelle longueur : #

v-»'A'OAB-T4-n'LT3 3)S4.7)t 4X,.n

Si la règle est supportée en son milieu {1=0) :

. "q___nl/ /f__5nL* AT ",LÏ g?— ^48' '~ 128" 7168"

Si la règle est supportée par ses extrémités (/=L) :

Enfin le raccourcissement aa = a — L, est minimum pour :

On a alors : AL = 0,000.000.653 n5L7,

/=0,000.326.uL\ /"=0,000.183.nL\ tg3=— 0,001.277. nIA

7i°. — Application aux mètres prototypes.

La section est d'environ 150 mm8. Le moment d'inertie dont dépend la flexion est d'environ 1 = 5212 mm4.

La longueur totale des règles est de 1020 mm.; le volume est de 154 cm3; le poids est de 3,3 kilog.

Le poids par millimètre est donc environ p = 3 gr.

La distance des supports est de 570 mm.

On a pris : E = 21,4. 10* (millimètre-gramme).

On trouve ainsi des flèches de quelques microns et un raccourcissement inférieur au centième de micron.

116. Remarques sur les calculs précédents. Nous avons calculé la longueur que prend la fibre neutre après déformation. C'était par acquit de conscience; il était, en effet, à prévoir qu'elle était très petite par rapport aux déformations (flèches). En effet, la théorie (approchée) de la résistance des matériaux (dont nous avons appliqué les formules) ne considère pour les fibres neutres que des déplacements (suivant Ox) normaux à la direction initiale 0,3. D'où résulte que, quelle que soit la forme de la fibre neutre déformée, la longueur de sa projection sur O^ est égale à sa propre longueur : pour passer de l'une à l'autre, il faut, en effet, multiplier les divers éléments de Tune par le cosinus d'un angle

infiniment petit. C'est en ce sens seulement que la libre neutre ne change pas de longueur : ce changement, qui ne peut cire strictement nul* est du second ordre par rapport aux déformations.

D'après les hypothèses de la théorie de la résistance, il n'en est plus de même des plans qui sont à la distance h du plan des libres neutres.

Nous avons vu que les sections droites primitives restent des sections droites, mais tournent, autour de la droite a comme axe, de manière à demeurer normales au cylindre formé par ces droites a, cylindre dont la projection verticale est précisément la courbe B'AOAB (iîg. 141).

A la distance h du plan des fibres neutres, la variation de la coordonnée .r est donc :

En supposant les traits extérieurs aux supports, on a :

. .TlL'p

Viç. 11 1

Il est possible d'annuler ce déplacement en disposant les supports de manière à annuler la parenthèse :

L'allongement est généralement du premier ordre. Il s'annule à cet ordre pour h=0 (plan des fibres neutres); il augmente pour une section donnée à mesure que l'épaisseur de la barre croît.

En dehors des plans des fibres neutres, toute ligne convexe est allongée, toute ligne concave est raccourcie.

C'est précisément pour éviter ces variations de longueur qui, pour petites qu'elles soient, sont notablement supérieures à la limite de précision des mesures, qu'on trace la graduation sur le plan des fibres neutres; d'où la nécessité de le mettre à nu.

Avant l'adoption du profil de Tresca, on avait bien reconnu l'importance métrologique de ce plan; mais on ne le mettait à nu (au moyen de puits creusés dans la barre) qu'au niveau des traits terminaux. Tresca soutint avec raison qu'il fallait éviter toute altération partielle de la section droite, par conséquent donner à la barre une forme cylindrique continue. Les formules de la résistance des

matériaux ou de la théorie de l'élasticité n'ont, en effet, plus de sens au voisinage des discontinuités.