RÉFLECTEURS MANGIN

On peut annuler les aberrations d'un miroir sphérique au moyen du verre nécessaire pour protéger l'argenture. Démontrons le théorème dans le cas de l'indice a = 1,5. La solution existe toujours, mais le calcul se complique pour une autre valeur de l'indice.

Pour simplifier, supposons mince la couche de verre à laquelle nous donnons la forme d'un ménisque divergent (fig. 413).

Plaçons le point lumineux au centre Ct de la surface St du dioptre sphérique constitué par la face droite du ménisque de verre.

Les rayons tombant normalement sur Sn ils ne sont pas déviés par réfraction dans leur marche de droite à gauche. Ils sont réflé-

Posons :

On a :

JL4.I — 1

Fig. 413.

chis par le miroir sphérique argenté de rayon R2 constitué par la face gauche du ménisque. Le foyer des rayons centraux est en A.

ÂO=p'.

Les rayons vont maintenant de gauche à droite. Choisissons le rayon R2 de manière que le conjugué du point A soit à l'infini par rapport au dioptre S4 traversé de gauche à droite. On a :

n 11 — 1 2rtRt

p'~ ~ÏV~' K,~2ïf=T Dans le cas où: 71 = 1,5, on a : R2 = 3R,:2.

Le rayon R2 de la seconde face du ménisque divergent de verre se trouve ainsi déterminé.

3°. — Passons aux aberrations.

Nous savons (voir Optique géométrique) que la caustique pour un miroir S2 de rayon R2 est tournée comme l'indique la figure 413.

PHARES ET SIGNAUX LUMINEUX MB

L'aberration est :

Le point lumineux est au centre C, de la surface S,. D'où :/>=R,. Nous avons pour l'aberration principale d'un dioptre quand le point est à l'infini à droite :

Le rayon R, du dioptre est ici négatif; &/>' est donc positif. La lumière se déplaçant pour l'instant de droite à gauche, la caustique est tournée comme l'indique la figure 413. On a :

r,r, t, »-ib; i

P°=2R^Wt> 4/,==2^'R1(2Rt R1)^- <2>

Écrivons que les aberrations sont les mêmes :

n— 1RÎ(R,— R,)' n— 1 R, / R,\*

2n* %~ R, ' 2ra* R, — \ rJ '

Cette égalité est précisément satisfaite pour : R,:R,=n=3:2.

Ainsi les rayons issus de Ct après traversée normale de la surface du dioptre S, et réflexion sur le miroir, sont disposés dans te milieu verre comme les prolongements des rayons issus de l'infini à droite, après réfraction sur le même dioptre S,. En vertu du principe du retour des rayons, les rayons issus de C, vont donc sans aberration de l'ordre de y', passer par l'infini à droite. Ce qu'il fallait démontrer.

Le calcul précédent est très analogue a celui par lequel on démontre que les aberrations se détruisent en partie dans le télescope de Cassegrtrin {§ 181).

3*. — En définitive, la solution Mangin consiste à placer la-lumière au centre de la surface sphérique du dioptre S, et à donner à la seconde face sphérique argentée du ménisque de verre un rayon égal à une fois et demie celui de la première. Elle est rigoureuse (aux termes en y* près) pour «=1,5, à supposer le verre sans épaissenr; elle l'est approximativement pour l'indice n— 1,53 de la glace de Saint-Gobain.

Alors même que l'aberration ne serait pas nulle, elle est corrigée en grande partie et l'argenture est protégée. Cn tel projecteur coûte beaucoup moins cher qu'un projecteur parabolique de môme ouverture; il rend les mêmes services dans la télégraphie optique et la géodésie, où le stigmatisme rigoureux est inutile.

Au point de vue pédagogique le problème a l'intérêt d'appliquer des formules classiques et de montrer la possibilité de corriger l'aberration d'un élément d'un système par celle d'un autre élément.