INTRODUCTION

Dans ses remarquables leçons sur la Théorie générale des Surfaces, Gaston

Darboux montre (t. IV, Chap. virr) que si l'on prend l’équation du plan

tangent à une surface © sous la forme

(a Be i(B-—x)y + (a8—-1 7 E— 0

£ étant une fonction de zet 6, et si cette surface est rapportée aux coordonnée: curvilignes de ses lignes de courbure u et v, on a les relations

08 04 08 du

0 = Ds 1 ou ? Qu? ov ov (1) 0p ec op ,0 ER

CE er (2) ou ou dv ov

dans lesquelles w désigne une fonction auxiliaire eL p et q les dérivées partielles de £ par rapport à z et £; de plus, si la surface Ÿ est réelle, w est une expression imaginaire de module un et z et f ainsi que p et q sont imaginaires

conjuguées.

tie

Il résulte de cela que si, inversement, on se donne une fonction z telle que w — ei?, on pourra, en choisissant convenablement les solutions des systèmes (1) et (2), obtenir une infinité de surfaces réelles rapportées aux coordonnées curvilignes de leurs lignes de courbure, ces surfaces étant définies comme l'enveloppe de leurs plans tangents.

Cette question a été étudiée par Darboux dans le même Chapitre var. Il a montré que la résolution des systèmes (1) et (2) peut se ramener à celle d'une équation à invariants égaux admettant une solution particulière de module un, suivie d’une quadrature. Il a fait remarquer de plus que la loi de récurrence de Moutard, sur les équations à invariants égaux, s'applique au cas particulier précédent, pourvu que l’on prenne comme solution de passage d’une équation à l’autre l'une quelconque de celles qui donnent pour + et ÿ des quantités imaginaires conjuguées.

Les calculs relatifs à l'application des résultats obtenus par Darboux, au cas où l'équation à invariants égaux est intégrable par la méthode de Laplace, deviennent très laborieux dès que cette équation est d’un rang supérieur au premier.

Le but de notre étude a été de chercher à déterminer, par une méthode directe, les éléments réels qui rentrent dans les expressions de «, &, p et q relatives à une fonction + donnée.

Nous avons montré, dans le Chapitre 1, que le problème revient au fond à la résolution d’un système de la forme

0x de ot de

St pe 0 ES EE Te (3)

et que l’application de la méthode de Moutard conduit à une série de fonctions %, 92... On …. que l’on peut déterminer sans avoir recours aux équations à invariants égaux.

Ce qu'il y a d'important dans la forme des équations (3) c’est que si l’on pose

(f] in II

elles deviennent identiques à celles qui ont été obtenues par Darboux dans ses Compléments et solutions nouvelles sur les équations linéaires aux dérivées partielles du second ordre intégrables par la méthode de Laplace (t' IL 2% édit. «Chap vi).

lo ce

Le Chapitre 11 de notre mémoire a été consacré à l'étude du cas où l’équation à invariants égaux, déduite des systèmes (1) et (2), est intégrable par la méthode de Laplace.

Nous avons montré comment on pouvait obtenir, dans cette hypothèse, par un procédé simple et régulier, la solution complète du problème.

Dans le Chapitre 111 nous avons étudié au point de vue géométrique les surfaces successives Ÿ, et S», obtenues par application de la méthode de transformation de Laplace, en partant, d’une part, des tangentes aux lignes de courbure de la surface À et, d’autre part, des tangentes aux courbes correspondantes tracées sur les surfaces des centres $ et S:.

Nous avons ensuite montré comment il était possible de déterminer, par voie récurrente et par le seul emploi des fonctions H, et 0, de Darboux ou de fonctions jouissant des mêmes propriétés, d'une part, les paramètres directeurs des tangentes aux surfaces successives le long des courbes u et v et, d'autre part, les coordonnées d’un point quelconque de ces surfaces.

Enfin, le Chapitre rv a été consacré à l'application des résultats trouvés dans les deux Chapitres précédents, au cas où la suite des surfaces X, et S, est limitée. Cette étude nous a permis d’obtenir les éléments nécessaires à la détermination d’un certain nombre de surfaces rapportées aux coordonnées curvilignes de leurs lignes de courbure. |