ZONE

Direction 111. — K sera infini lorsque p'—0, ou lorsque s'd + d's— 0, l'extrémité de la zohe est donnée par celle de ces deux possibilités correspondant à la plus petite énergie. On arrive très simplement à l'aide du système (11) par la même méthode que précédemment, à des résultats qui s'écrivent formellement dans le cas oùp/—0 de la même façon que dans le cas p' — 0 dela direction 100, et dans lecas s'd + d's — 0 de la même façon que dans le cas s'd + od's —0 précédent, seuls les coefficients ont des valeurs numériques différentes, on doit remplacer dans les formules obtenues

Si ee —— kx par CE — |k| ), puisque l’extrémité de la zone

» LT LI è É ù Ga correspond pour la direction 111 à une valeur de |X| 2 V3.

égale à — = . Les courbes donnant la probabilité en fonction

LS de | Æ| sont donc, à l'échelle des ordonnées près, qui est

SL V3 x multiphiée par Fr analogues aux courbes de la figure 2 et 2';

V3 k, y représente maintenant °

On pourrait évidemment essayer de faire un calcul analogue, qui serait beaucoup plus long, pour d’autres diréctions; ce calcul est en général impossible à faire algébriquement par suite de sa complication, il ne peut se faire qu’en prenant un cas numérique particulier.

Nous voyons sur les deux exemples simples choisis, que, même pour des directions bien déterminées on ne peut en général donner la valeur de la probabilité, puisqu'on ne sait pas comment sont placées les unes par rapport aux autres les énergies correspondant à p'—o, sd'=o et s'd + 2d's— 0. Pour un même corps, la probabilité peut avoir la même allure en fonction de k, que Æ soit dirigé suivant la direction 100 ou la direction 111, ou une allure tout à fait différente pour chacune de ces directions. Il en sera évidemment de même pour les autres directions. On ne pourra donc donner la probabilité en fonction du vecteur d'onde que lorsqu'on aura résolu toutes les équations numériquement pour un métal déterminé. On peut s’attendre toutefois, pour une direction du vecteur d'onde donné et en appelant ke le vecteur d'onde correspondant à l'extrémité de la zone, à avoir des courbes donnant la probabilité de passage en fonction de la longueur de k d'allüres comprises entre celles des courbes de la figure 3 et de la figure 4, certains métaux pouvant avoir des courbes analogues, quelle que soit la direction de k, à une seule de ces courbés. On pourrait faire les mêmes calculs avec les autres types de réseaux. J’ai fait le calcul dans le cas du résaau cubique à corps centré, les résul-

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tats, que je ne développerai pas ici, sont semblables qualitativement à ceux obtenus ci-dessus. On voit que l’on ne peut espérer donner en général a priori la répartition de l'intensité à l’intérieur des bandes X d'émission; un long calcul numérique détaillé est nécessaire pour chaque métal particulier.

4. Récapitulation des résultats obtenus. — Au début de la première zone, l'intensité émise est proportionnelle à :

(W—W,)? pour une raie K

et à :

(W — W,)? pour une rate Lir, im,

W désignant l'énergie du quantum émis et W, l'énergie correspondant au début de la bande.

Ces formules sont valables tant que l'approximation de Wigner et Seitz 4 — ue°T{*" est valable, c’est-à-dire dans le cas des métaux pour la plus grande partie de la première zone. Nous verrons plus loin que c'est le cas du magnésium, de l'aluminium et du silicium On ne peut prévoir sans un calcul numérique détaillé appliqué à chaque cas particulier quelle est l'intensité à la limite de la première zone ainsi que dans les zones suivantes. Dans le cas du zinc, du cuivre, du nickel et du cobalt, plusieurs bandes d'énergie dues à des zones différentes se recouvrent et on ne peut rien dire & priori sur la forme de la bande.

Comme on l’a vu précédemment, l'énergie des électrons, pour la plus grande partie de la première zone est donnée par la formule :

Bo > E—E, + |#

que j'’appellerai la formule des électrons libres. Cette formule ne donne sûrement plus l’énergie à la limite des zones, mais

on peut penser qu'elle donnera en première approximation, si on y remplace IF | par une valeur correspondant à la limite d’une zone, une valeur de l'énergie autour de laquelle l'influence de cette zone se fera profondément sentir. Cette formule est en effet valable pour les métaux lorsque | R | est voisin de zéro comme l'ont montré Wigner et Seitz, et, lorsque K est très grand (électrons de grande énergie cinétique), puisque c’est sur elle qu'est basée la théorie, très bien vérifiée expérimentalement, de la diffraction électronique et de la formule de Bragg. On peut donc s'attendre à ce qu’elle donne approximativement les énergies E, et E,, etc., correspondant à la limite des zones. Par conséquent on doit avoir une irréqularité dans la répartition de l'intensité des bandes d'émission X, à des distances de l'extrémité inféerieure de’ la bande, désignée par (E,), égales à (E, —E,) électron-volts, (E, — E,), etc.

Les renseignements théoriques que l’on pourra obtenir à partir de là, en plus de la répartition de l'intensité au début de la bande seront donc les suivants.

1° Largeur de la bande. — Si n est lenombre d’électrons par atome, situés dans la couche extérieure, la formule (4) déduite de la formule électrons libres donne :

a] ts

Ch War = (ou) =

le nombre d'électrons tombant pour cette valeur de l'énergie brusquement à zéro, la bande aura un bord net du côté des courtes longueurs d’onde. Cette formule néglige l'influence des zones de Brillouin ; elle suppose en particulier que la limite d’une zone n’est pas voisine de W,. Elle suppose aussi que les états occupés par des électrons sont représentés dans l’espace des vecteurs k par tous points situés à l’intérieur d’une sphère.

2 Position des irrégularités dues à la limite des zones. — Désignons par b la distance du point central d’un cristal

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à un des plans du réseau réciproque contruit à partir de ce point et dont le facteur de structure est différent de zéro. Ge plan limitera une zone, l'influence de cette face limitant la zone se produira d’ HhDEARe sur le vecteur d’onde perpendiculaire à ce plan lorsque | k | — b. Cette influence ne se fera sentir pour les autres directions que pour des valeurs de

IA | supérieures à b et cessera de se produire lorsque k sera dirigé vers le point de cette face, le plus éloigné de l’origine, et égal à la distance c de ce point à l'origine. Il y aura donc en première approximation une irrégularité dans la courbe donnant l'intensité émise en fonction de l'énergie à des distances du début de la bande données par la formule des CRUE libres et comprises entre :

(14) W—W, = — — — 1,54 .1071* b? électron-volts, et: :

hk3c?

(4) W—W, — D = 1.b4.10—1* c? électron-volts,

les distances b et c doivent se calculer pour chaque réseau métallique, c’est ce que j'ai fait au chapitre III pour chacun des métaux que j'ai étudiés expérimentalement.

Lorsque les électrons remplissent complètement la zone, la largeur de la bande n’est plus donnée par la formule (13), mais le nombre d'électrons décroîtra à partir de la valeur de l'énergie donnée par la formule (14) et ne deviendra nul que pour la valeur de l'énergie donnée par la formule {14') où c représente la plus grande distance d’un point de la zone à

l'origine. La courbe n’aura donc pas un bord net (c'est le cas du silicium).