DisjowcTio JONCTION. — La dis

aux fonctions y^, > transformée ne con

1" L'équation génér s'obtient par le cha

XiXjX,

Pour qu'on puis& déterminant doit é1

En identifiant, on

Les 6 paramètres y en a 2 d'arbitra jours possible. Mais,

dbyGOOglC

saire que les racines soient réelles. Or, si l'on considère les deux quantités (XiXjXj), (^^iL^\t^), le simple examen des équations montre que leur somme et leur produit sont N et — BiB^B^; elles sont donc racines de l'équation :

œ^ — Nj- — B,B,B3 — o.

Pour que ces racines soient réelles, il faut qu'on ait ; ^ + B,B2B3>o.

Remplaçant dans l'inégalité de condition BjBjBjN par leurs valeurs, nous obtenons :

('^a^b^ — mny — 4 ÇHafi^a^b^ — bfi^b^m — aja^a^n) > o.

2" L'équaUonne contient pas de terme en XjXsZs' mais contient un terme ■constant. — La considération des fonctions inverses de XiZîXa ^^' mène au cas précédent, et l'on trouve la condition : (So,6,)' — ^Xafi,a.^b., — a,a^a^n) > o.

qui rentre dans la précédente, puisque m— o.

3" L'équation ne contint pas de terme en yy/^^Xs "* "^ l&rme constant. — Sa forme est alors :

«1X2X3 + OaZsZi + "sZiZï + ^'/i + V/2 + Ky.3 = o-

L'un des coefficients au moins est différent de zéro. Supposons

que ce soit un a, a, par exemple, et posons Z, = — ; on a :

«iZ,Z2-/3 + V/s^i + MiXa + «j'/2 + «2X3 + 6, = o. On est ramené au premier cas, et la condition est : {^afi,Y — 4So,6,aj&2 > o.

qui rentre encore dans la condition précédente, puisque «i — o,

Si, au lieu de supposer un a différent de zéro, on supposait un b, il suffirait de recourir aux fonctions inverses, et l'on aurait évidemment la même condition, puisque celle-ci est symétrique par rapport aux a et aux b.

En résumé, la condition générale pour qu'on ait des réseaux réels est donc :

{Sflift, — mn)'^ — 4 (SOjÔjOjô, — bfi.^b^m — 0,0^03»!) ^ o.

DigitizcdbyGOOglC

Or le premier membre est le discriminant S) de la fonction F^j, de même que :

est le discriminant de la transformée en X.

Donc ; avec p = 5, /o condition nécessaire et suf^ante pour la dis- Jonction est que le discriminant de l'équation générale, (ou que le discriminant de sa transformée en X), soit positif ou nul.

On peut toujours alors mettre la proposée sous la forme : X, A3 1*3 E= i*, X, \

Xj |i, X3

où Xj, Xj, X3, 1*,, [ij, [A3 sont une qaelconque des solutions du système (S).

Parmi ces solutions, en nombre inâni, puisque 2 des 6 paramètres sont arbitraires, nous en avons cboîsi une qui dispense précisément de. résoudre le système (S); il suffit de résoudre l'équation :

dont les coefficients résultent immédiatement de la transformée en X, et dont les racines sont les deux quantités (XjXjX,), ([J-i[^;j.g)- Pour abréger, nous poserons :

X^XjX,

51. — Cas de 3) > o ; anamorphose logarithmique. — Dans ce cas, on a XjXjXg — )A,[^|j^ ^ o, ce qu'on peut écrire :

rdbyGOOgle

iut donc multiplier K par e, ce qui donne :

— [ijX^ + >,^ï., o À2X2 — tl3[,

-1^-21^8 >-2^a — t^ac^i "-^3X3 — }^,ix^

[j,,X, — XjÂ^ ' [XjXj — î-jX, ' [jijXj — À plions chacun des facteurs du premier membre par P; nous obtenons facilement :

i 11 désignant le produit de trois termes qui se déduir permutation circulaire de celui qui est écrit.

est la forme canonique remarquable sous laquelle nous 3 la proposée dans le cas de 3) > o; on peut l'écrire sans

dès qu'on a formé l'équation en X. Elle résout complèle problème, puisque c'est une équation génératrice de lie A„ et qu'on peut en déduire la famille A^ par anaise logarithmique.

n ne se propose pas de recourir aux abaques de la seconde , qui contiennent des fonctions transcendantes de Xn Xt "/si n cherche seulement un déterminant générateur de la re famille pour y choisir un abaque convenable, on prendre :

B.x, + p— R ax, -P

P-f R B^Xj + P — R

-(P-R) Cj + P + R o

Cj + p — R B3X3 + P + R jlte de la forme canonique (A).

— Cas de 3} ^^ o ; anamorphose exponentielle, — Avec 3} ^^ o, pas le droit de multiplier E par e, qui est nul. D'ailleurs, que la formule (A) n'a plus alors de signification, car vient une identité.

E peut revêtir une autre forme, résultant de la nouvelle

'■iV-3 ~- I^ll^#3 = ^■

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rdbyGOOgle

; parait iotéressant d'indiquer la part prise dans

ition d'ordre 3 par les différents ingénieurs qui

nne (1) utilisa l'anamorphose logarithmique pour

ibaques à 3 réseaux rectilignes les abaques car-

.tion :

A + f, + kf,f, = h.

[e l'équation générale d'ordre 3, Dans son Mémie des Sciences, il proposa de donner aux 'es à cette transformation le nom de Géométrie

; tard, en 1886, M. Lallemand imagina de subses anamorphoses de Lalanne ses ingénieux aba- X ; il en déduisit, comme nous le verrons, la e certaines équations à plus de 3 variables, lassau (2) indiqua la forme générale des équales représentables par des abaques à entrecroi- ', 3 réseaux sont susceptibles d'anamorphose ■e peuvent être transformés en 3 réseaux de

rOcagne (3) transforma à leur tour ces 3 réseaux ées. En 1897, il étudia tout particulièrement (4) droites cotées, ce qui, d'après notre terminoloà l'ordre nomographique 3. Par une méthode de celle qui vient d'être exposée, il établit la jonction 3) >- o en supposant -y;„=ra„, cas dans ina, en outre, les conditions pour que 1, 2 ou 3 5ue puissent être nsndues régulières. Ces conînt facilement avec notre théorie; mais, comme ; a„ est très particulière et que, d'ailleurs, la chelles ne s'obtient souvent qu'au détriment losition générale, nous n'avons pas cru devoir ?tte question secondaire.

itabiit l'existence d'une des familles d'abaques A ; et, comme il n'envisagea la transformation ; que pour les formes canoniques, il conclut que

et Chausseei, 18t6.

'que, dans tes Annales de l' Anociation des Ingénieurs det Écoles de

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ii, la condition de disjonction est alors («(A^ — o^^,y

ive la condition :

a,a,MN > o.

formes (a) (b) (c) (t/) (e) sont celles qui se présentent le équemmenl dans la pratique. L'étude générale qui préermet d'obtenir les deux familles d'abaques par lesquels iations peuvent être représentées; le problème est donc itement résolu par l'application de notre méthode. lis. il convient d'examiner plus spécialement certains de iques, qui ont des propriétés intéressantes, s'obtiennent iment sans grands calculs, et donnent le plus souvent une intation avantageuse de l'équation proposée.

b} Forme i\ + f ^ =: f^.

— On peut prendre comme équations génératrices : pour ille A,

[■ la famille A,

ieuK équations donnent donc, sous forme explicite, tous iques à points alignés, et, corrélativement, tous les aba- 3 réseaux de droites susceptibles de représenter la pro-

iertain nombre d'abaques A^ présentent des particularités [uables, et méritent d'être spécialement étudiés : ce sont iques hexagonaux, les abaques à échelles parallèles, les is à échelles concourantes dont une est la bissectrice des

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La valeur absdlue de d» étant la même pour deux valeurs supplémentaires de )., on ne fera varier X que de o à ^.

On obtient ainsi deux abacjues hexagonaux. En superposant les échelles [D], qui sont identiques dans ces abaques, on a les valeurs des deux corrections sur une échelle commune.

Se basant sur les propriétés de l'échelle logarithmique (6), M. Lallemand a fractionné l'échelle [D] au point 10, et a fait coïncider les tronçons 1 — 10 et 10 — 100 ; de la sorte deux points quelconques a et 10 a viennent en coïncidence. Comme les cor- ■ rections sont proportionnelles à D, il s'ensuit : l'que les deuxièmes tronçons des échelles [</„] et [rfi] coïncident avec les premiers, tout point 10 3 venant au point (3; 2» que les échelles [H] et [),] ne sont pas fractionnées.

Le même dispositif résulte aussi du principe des multiplicateurs correspondants. En effet, d'après les équations proposées, si da, D et H constituent une solution de la première, d», D et À une solution de la seconde, Krf,,, KD et H d'une part, KA, KD et ). d'autre part, sont aussi des solutions : en prenant K =: 10, on obtient les doubles graduations auxquelles on avait été conduit par le fractionnement de [D].

La clef de l'abaque est la suivante :

On amène un des index D, du transparent à passer par la cote H, de façon que cet index soit parallèle au système de parallèles tracées dans le but de faciliter l'orientation du transparent; puis on fait glisser celui-ci suivant Dj de façon que l'index Dj, perpendiculaire à l'échelle [D], passe par la cote D : l'index D, donne alors la valeur absolue de la correction d„, à laquelle on attribue le signe convenable. On opère de même pour trouver rf..

69. — Abaque à alignement à 3 supports parallèks. — Sur 3 droites parallèles AA', BB', ce (jig. iO), et à partir du point de rencontre de ces droites avec une droite quelconque ABC, portons des longueurs :

«i - hfi,

Posons CA — a, CB — 6. Pour que les points A'B'C soient ali-

rdBjGoogle

gnés, il faut qu'on ait h l'on imagine qu'on rappo

Développons par rappo avec :

On obtient ; bl^ -

d'où l'on tire aisément :

Ainsi donc, ayant choisi d'une part, et les module; d'après la relation (1), et 1

/g étant donné par l'équal

Il y a lieu, pour l'appli

miner la signification des

l'échelle [C] se trouve à di s'il a le signe — , c'est que est donc entre u, et u^ si 1, le cas contraire.

Ayant choisi la positiori signes de l, el de l^, de i tuelle soit entre les deux quel sens elles sont crc constante, on voit si a^ et puis on suppose à x^ une pour 23 et 2,.

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