JAUGEAGE DES TONNEAUX

Formel.. 1 l- M»™ •» "- "6"

} n. Hauteur en m

,.M68h(ft4D'-.0,2Dd-^0,iad') I ^' Diamètre à la bonde, en

l d, id. —auir extrémités ei

d en mitres

ABAQUe Vlll

DigmzcdbyGoOglC

rdbyGOOgle

Longueur de l'ellipse (Abaque IX). — irmule approchée :

avons écrire ;

i-V+i^ab

es axes de coordonnées

dont l'angle

a pour

.cosi

avons les 3 réseaux :

tion étant symétrique en œ et y, les cercles ont leurs a bissectrice de l'angle xOy ; d'autre part, ils sont : axes de coordonnées, car si l'on fait y ^ o on a ;

2 L Il point 3; = q- -une perpendiculaire à Ox jusqu'à

tion avec la bissectrice de xOy : nous aurons ainsi un cercle quelconque L, par exemple du cercle affira de diviser régulièrement la bissectrice, dont is cotes et 10, pour avoir les centres des diffé-

int (ab) passent deux cercles L, qui correspondent ^'oS et — v/oè dans la proposée. Or, c'est — y'âS qui 1 mesure de la longueur de l'ellipse; il faut donc ïrcles à la partie opposée au point 0, entre la bis- 1 point de contact avec Ox.

t été construit avec l = i. Pour a -- 10, 6^5, il 48,5.

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

isagé au n" 30. On a alors 3 ré-

„)' de (a^) en substituant dans

^X + i;.'Y + jl"

^ ~ vX + /Y + v" ■ inérale des figures homographiar Chasles (1). Par conséquent, le de tous les abaques bomotre eux (D); son équation s'ob- ' : c'est pourquoi nous dirons ateur des déterminants A. Le lir d'abord un déterminant D quant à présent, de la bonne

par conséquent s'embarrasser

res arbitraires, s'écrit alors :

M', i symboliquement la formation

îs F„, $„, T„ du déterminant A

irdonnée homogène.

rdbyGOOgle

où a désigne le coefficient de transparence du milieu, L l'intensité lumineuse, d la portée en kilomètres. ,

Nous pouvons

l'écrire :

log lOOL — — rf log (I + 2 log d.

En prenant:

X — — (i log o

y = /,loglOOL,

1 = d ^ + 2 log d.

L'abàque est donc constitué par 3 réseaux de droites, dont S sont formés de parallèles aux axes de coordonnées. M, Allard, Ingénieur en chef du Service des Phares, a construit ainsi un abaque, dont la figure X est un fragment (\). Au lieu de droites à cotes rondes pour les réseaux (a) et (L), il a pris des droites équidistantes. De plus, comme nous l'avons expliqué au paragraphe des multiplicateurs correspondants, la seconde gra- L ^ d

L et d étant les, cotes

duation de a donne les valeurs inscrites sur l'abaque.

2" Des équations (a) (L) (d) on déduit, en se . débarrassant des modules, c'est-à-dire en prenant (, = (^ = 1 :

logo

— log-lOOL

ilogd

d'où, en multipliant par S,

X + vlogo V + v'logo

fx -H V log lOOL [^' -1- v' log lOOL

Xd + [* + 2v log d X'd + n' + %' log d

Ce déterminant 4 donne les familles (4) et [A] dont il vient d'être parlé, et parmi lesquelles il convient de choisir l'abaque le plus convenable.

(1) Mèmtmt sur Vinteimié et £a ^aetit de» Phares, Imprimerie nationale, 1676.

log à

1 log lOOL

1 2 log d

X" + v"l0gO

l.." + v"loglOOL

rd + ^" + %'

log

rdbyGOOgle

Nous allons montrer sur cet exemple, et pour ne plus avoir à y insister dans la suite, comment on peut fixer le choix des paramètres. Tout d'abord, nous aurons recours à un abaque à points alignés, beaucoup plus clair qu'un abaque à réseaux entrecroisés.

Les courbes [a] et [L] sont des droites ; cherchons à les former de deux parallèles qui limiteront l'abaque, la courbe [d] étant comprise entre elles, comme il convient puisque d est généralement l'inconnue (7). En faisant coïncider [a] avec l'axe des y, on est conduit à annuler X, v et'v". D'autre part, on peut, sans que le déterminant 8 soit nul, annuler aussi V et [i.', ce qui simplifie les calculs.

Pour que [d] soit entre [a] et [L] il faut qu'on ait :

:'d'+ il'"

ce gui ^a lieu par exemple si l'on prend tous les paramètres positifs. Comme log a est négatif, l'abaque se présente alors sous la forme indiquée ^g. 7. Il convient évidemment, pour bien utiliser

la feuille de dessin, de donner la même longueur aux segments cotés ries échelles [o] et [L], et de les mettre en regard l'un de l'autre, de façon à avoir un abaque limité par un rectangle. Les valeurs des paramètres, eu égard à cette condition, devront ensuite être arrondies, pour simplifier les expressions. Étant donnée la grandeur delà feuille de dessin,. nous avons été conduit

à prendre ^, ~ 200 mm, -a—^ mm. Oa voit ensuite quel angle il convient d'adopter pour xOy, ce qui détermine 00' = -4;, que

DigmzcdbyGoOgle

DiailizodbyGOOgle

rdbyGOOgle

nous avons pris égal courbes ;

à 24 mm. Nous avo

iC — o,

y = ÎOO log a.

!/ = S log 100L.

où les coordonnées sont exprimées en mm.

Les échelles logarithmiques y^ et i/l se construisent immédiatement. Pour construire \d\, il est commode de considérer le

réseau- — ^\o^d, formé de droites issues de l'origine, et qui

coupent l'échelle L aux pointsy ~ 10 log d : il suffit donc de tracer cette échelle logarithmique pour avoir ces radiantes, dont on prend l'intersection avec le faisceau de parallèles «nies par ., = ^*.

Nous allons appliquer à la graduation de l'échelle linéaire générale Xi la construction indiquée au n° 6. Pour d = o, on a X4 = 24, c'est-à-dire le point 0'. Par ce point, menons une droite quelconque O'D, et donnons à D la cote 40 : sur x^ cette cote correspond au point M milieu de 00'; en menant MD, nous avons un premier lieu du centre de rayonnement I. D'autre part d = GO donne x^ — o, c'est-à-dire le point ; la parallèle à O'D menée par le point est un second lieu de I, qui se trouve ainsi déterminé. Il suffît donc de joindre le point f aux pointsde l'échelle régulière O'D pour avoir, aux interscotions avec 00', les points de l'échelle x^.

Nous avons également appliqué à cet abaque à points alignés le principe des multiplicateurs correspondants, d'où la seconde graduation de [a] qui correspond, comme cela est indiqué sur

l'abaque, aux valeurs j^^ et j^j-

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

eprésente une famille de droites, sur lesquelles points [a„], et qui passent par les deux points

I a; = — d, j/ — — -^ j. Or la valeur y = — ■—

rdonnées à l'origine des droites (a„) de l'abaque

it.

g. 8), à une droite (a„) quelconque de l'abaque

it, représentée par PO, correspond, dans l'abaque

éré, un point [a„], et ce point se trouve sur une

léfinie : O'x', O'y étant les axes de coordonnées.

Hg«

nques, de l'abaqu^ à points alignés, Au et Bu des telles que O'A — O'B ~ d, il suffit de prendre oindre les points A et P.

lit de même que le point corrélatif de PQ se lite BQ telle que AQ = OQ. Il est donc à Tinterdroites.

D'après cette construction, un faisceau de paour figure corrélative la droite Bu, un faisceau y a pour figure corrélative la droite Au, un faises passant par a pour figure corrélative la

DigmzcdbyGoOglC

rdbyGOOgle

le la a» P. L. M.

DigmzcdbyGoOglC

rdbyGOOgle

laisaut l'homogénéité, il ne e groupe, par exemple :

, fonction, et itiverseinent :

éduit la règle suivante :

l'équation F^^^ := o puisse se faut quî les 3 degrés nomogralomographiqae p soit compris

- p) échelles reclilignes.

ntes. Autrement dit, de ce égaux à 1, et que l'ordre il 0, il ne s'ensuit pas que ctîons /", /"j . . . <^3.

ition s'opère en dégageant [ fi . , . '^l ; il est bien éviis qu'il faut appliquer notre ourbes [«.] qui se réduisent

isidératîons sur des exemilir les abaques.

le l'ordre Domographiques à la forme éseaux de cercles et de droites. Le> eaomograpliîquep est compris entre

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

lème n'a pas encore été résolu is M. Duporcq, Ingénieur des ablir certaines équations fonclites, permettent d'affirmer Ici

e opération, il y aurait un réel gles pour Teffectuer : c'est ce ations générales à 3 variables e 4. Pour les équations d'un ms la suite de ce travail, les [ues formes types déjà connues, encontrées : ce sont d'ailleurs réquemment dans les applicarentre pas dans ces formes, îgement de fonctions, qui peut tains termes et d'obtenir une

ssées suivant leur ordre nomophiques étant i , ce que nous

is d'ordre 3.

fénérale.

oie de l'ordre nomographique,

équations d'ordre 3 sont de la

présentable par un abaque à en- )ites concourantes, ou par un

s rectilignes, est de la forme.

cette forme n'est pas nécessai-

baques,

i condition de disjonction, et à

apérer.

allons démontrer le théorème

48. — Des deux familles A, et A, kxlatives a l'ordre 3. — Théorème : Si la froposée est représentée par un abaque D à 3 réseaux de droites concourantes oii à 3 éckdles rectilignes, elle l'est par uni: infinité d'ahaques à alignement formant deux familles distinctes : l'une [AJ dans lamelle les échelles sont concourantes; l'autre [A,], dans laquelle les échelles sont en triangle. Corrélativement, les abaques à réseaux (Ac) et (A,) ap'partiemimt à deux familles.

Ces deux familles comprennent d^ailleurs tous les abaques à réseaux de droites et tous les abaques à simple alignement susceptibles de représenter la proposée.

Il sufSt d'établir la proposition en ce qui concerne les abaques â alignement; elle s'ensuit, par corrélation, pour les abaques à réseaux.

Nous savons déjà que la proposée est représentable par la famille [A] des abaques homographiques de [D]. Suivant que cet abaque [D] a ou n'a pas ses écbelles concourantes, il en est de même de tous les abaques [A], qui constituent ainsi une famille [AJ ou [A,]. Démontrons que la proposée est aussi représentable par une autre famille [A,] ou [AJ.

1" Supposons les écbelles concourantes, et, dans la famille [A^], considérons l'abaque formé de 3 droites parallèles. En le rapportant à un système d'axes Ox, Oj/ dans lequel Oy est parallèle aux échelles, on obtient une équation de la forme :

qu'on peut écrire A + A + /"s — o ;

L'anamorphose exponentielle de cette équation donne :

qui est représentable par une famille [A,] à échelles non concourantes, ayant pour déterminant générateur par exemple :

2" Supposons les échelles non concourantes, et, dans la famille [A,], considérons l'abaque qui a deux échelles parallèles. En

dbyGOOglC

prenant comme axes deux des échelles [a,] et [a^] non lèles, on obtient une équation de la forme :

d'où

qu'on peut écrire :

f,tJ,= i-

L'anamorphose logarithmique de cette équation donne : logf^ + logA + log/; = o, . qui est représentable par une famille [ij à échelles concourantes, ayant, entre autres, pour déterminant générateur : log/", I o logA o i -logA 1 1

Les deux familles [AJ et [A,] comprennent d'ailleurs tous les abaques à échelles rectilignes, car ces échelles sont forcément ou concourantes, ou en triangle.

Le théorème est donc démontré.

Remarque. — On voit que, pour passer d'une famille à l'autre, il faut ramener la proposée à l'une des formes :

puis passer d'une forme à l'autre par anamorphose logarithmique ou 'exponentielle.

Ces équations jouent donc un rôle important : nous leur avons donné le nom de formes canoniques, et nous aurons plus loin à en étudier tout spécialement la représentation.

49. — Méthode générale. — De ce qui précède, il résulte que l'étude complète de l'équation générale d'ordre 3 ;

■ '"Zr/îZa + «i'/îZï + «îZîXi + «3Z1Z2 + hXi + Wh + hXi + n — o. consiste : i" à donner une méthode de disjonction conduisant à un déterminant D = o, qui engendre une des deux familles

dbyGOOglC

AcOu Ai; %" àdédu formes canoniques, à l'autre famille, i réseaux rectilignes senter l'équation g Tel est le problt nous avons résolu i