KA

ïnt multiplier les ex

emples

précède il résulte qu'en associant les abaî variables déjà étudiés :

d'ordre j>' compris entre 3 et 5, id. p" id.

is d'équations à 4 variables représentables

luble alignement d'ordre p = p + p" — 2, ainsi que nous l'avons déjà établi (105).

h^î) (''a^i) étant supposés effectués, l'équanne là forme la plus générale de ces équa-

s particuliers les plus intéressants, qui comcas les plus fréquents dans les applications, ous avons rencontré :

AjXj + B ^ A3X, + A^X.+ G'

que la disjonction des équations de cette forme 1 effet, on peut l'écrire :

, + b A,X, + AjX, + B I , + c AgXj + A,X. + G I ~ '^*

dbyGOOglC

rdbyGOOgle

3. — Conditions de groupement, — II faut d'abord chercher à Iles conditions on peut grouper les variables «j»,, o-ja,. Pour , la méthode consiste à identifier la proposée avec la forme irale (!) du n'106, dans laquelle on prendrait X, = ^n- On 3nt ainsi 16 éqaations pour déterminer les 16 paramètres ..k en fonction des coefficients de la proposée. On -pourrait croire que le problème est toujours possible : mais, en l'exaint de près, on s'aperçoit que les 16 équations du système >nt compatibles qu'à certaines conditions, îst ce que nous allons indiquer sommairement sur le cas le général, où l'on a i ^ o. Pour bien mettre ces conditions en ince, formons encore l'équation en X, en posant :

s termes du 3' degré par rapport aux fonctions X dispar ajset l'on a l'éqnation en X :

LX,X,X,X, + SB„X,X, + SC.X, + K = o,

s'agit d'identifier avec :

S,X, + a.X, + a,X, + ii yX,X, + a,X, + a.X. + g .,X, + A,X, + A,X, + N ~ PX,X. + A,X, + A,X. + Q' /

système des 16 équations est alors ;

m? — Mp = L (l) n,A, — A,o, = B„ \

OjA, — AjOg = Bj3

r»Q - M? = B„ 1 ,P - Np = B., i <«>

nQ — N, = K

équations (2) on tire :

rdbyGOOgle

d'où, en substituant dans les équations (4) et (5), et en posant par analogie - — v, - = x.

0,0,(1* — tu) = B,s \ o,g()i — 1:) =^ C^ \

fl^a^ii. - ::) = B,, '*^ 03n(i. - v) = G, <^'

0,04(11 — Tc) — Bg, J a,n(ij, — v) = G( ;

Il est donc nécessaire qu'il existe entre les coefScients de l'équation en X les relations de condition :

C^ B,j B^ Çï ^i Çsa

Ci bH b.,*

Avec i — o, on obtiendrait des conditions analogues. Il n'y a aucun intérêt à insister sur ce point : nous voulions simplement mettre en garde contre cette déduction erronée que les lô équations fournissaient toujours les 16 valeurs des paramètres qui permettent les groupements des fonctions en a,»; d'une part, en jija, d'autre part.

113. — Conditions de disjoiiction. — Les conditions de groupement étant remplies et ce groupement effectué, l'équation générale d'ordre 4 prend alors la forme :

"'X.ya + '^.-/i + «2-/2 + " nsAi + «3X3 + «.><4 + g

11 s'agit maiuteDant d'opérer la disjonction des deux équations à 3 variables d'ordre 3 ; F^ — a, F3, = 3 ; il faut donc, d'après le n" B6, qu'on ait :

(mN — I.M)' + (o,A, — a,A,)" — 2(mN + >iM)(a,A, + a,k,)

+ 4(o,a,MN + A,A,m)i) > o,

(f Q — ^P)' + (o,A, — o.A,)' — 2(pQ + îP) (a,A, + o.A,)

+ 4(o,o,PO + A,A,fi5) > o.

€es équations sont toujours satisfaites, comme on sait, pour ;

». -Al + <'iLt + " ".Zi + a.Xi + 1 J*,-/,+ A,-/, + N A,x, + A,-/, + Q'

rdbyGOOgle

articiilier de l'équation d'ordre 8 dun' 110, pour laquelle,

eurs, la disjonction est toujours possible.

es sont toujours satisfaites également pour les équations :

g.Xi + "aXa + " «3^3 + g.Xt + g

«.'/. + «aXa + » ^ PZsX.

US avons opéré la disjonction de ces deux dernières comme

iples du n" 108.

j conditions de disjonction se réduisent à :

OjOjMN >> o,

flga^PQ > o (ou AjAjPç > o), les équations :

Mz,Zî + N - Pxax* + QA A3X3 + A,x.A

t. — Conditions d'existence de deux familles A„ A,. — Nous ! établi (n'* 60 et suivants) que l'équation générale à 3 vais d'ordre 3 admet deux familles distinctes A^, A, d'abaques graphiques qui comprennent tous les abaques à alignement isquels on peut représenter la proposée, ste-t-il de même deux familles distinctes pour l'équation aie à 4 variables d'ordre 4? Ou ces familles n'existent-elles certaines conditions? C'est ce que nous allons examiner. nous encore les transformées en X des équations en a, «,, «^

" XXjXj + BX + B,X, + B^Xa + N =0,

XT^X, + B'X' + B3X3 + B,X^ + N' = o.

3nt 2) le discriminant de l'équation en a, a,, x^, S)' le discriit de l'équation en a, a^, a^

'A l'on a 3) > o, 21' > o, les transformées en X peuvent se e sous la forme (A) du n" 51 ; on a ainsi deux équations (A) I dont l'anamorphose logarithmique donne deux abaques belles parallèles. Mais l'accolement de ces abaques ne peut ■e, et par suite la seconde famille A^ ne peut exister, que si lotions en « des deux équations (A) et (A') sont identiques, à iteur près. Or, il résulte des changements de fonctions effec-

DigitizcdbyGoOgle

tués pour obtenir les équations en X que ces fonctions en a sont de la forme algébrique ;

Sa + T s'g + r

na + V'

conditions

Ces conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes. En effet, divisons membre à membre les équations (A) et (A') ; nous obtenons une expression de la forme :

où chaque fonction /"„ est elle-même de la forme algébrique :

Rien n'est plus facile alors que de passer à la famille A^ par anamorphose logarithmique :

log /; + log fi — log /"j -\- log fi ;

2" Si Ton a, S) = o. Su' = o, les transformées en X peuvent se mettre sous l'une des formes (B) [ou (C)] du n" 62 ; on en déduit, par anamorphose exponentielle, deux abaques à échelles non concourantes; mais leur accolement ne peut se faire, et par suite la seconde famille A, ne peut exister, que si les fonctions en a des deux équations (B) et (B') sont identiques, à un facteur près.

En formant ces fonctions en a, on a des conditions analogues aux précédentes.

Ces conditions nécessaires sont d'ailleurs suffisantes. En effet, divisons membre à membre les équations (B) et (B') ; nous obtenons une expression de la forme :

où chaque fonction /"„ est de la forme algébrique déjà indiq uée La famille A, s'obtient alors par anamorphose exponentielle :

g/-igO — («efi,

3° Supposons 3> 's> o, 3)' = o, ou inversement. La variable auxiliaire a entre dans les secondes familles d'abaques par une fonction logarithmique pour la première équation, et par une

)Ue pour la deuxième . l'accolemeat est alors ation à 4 variables n'admet qu'une famille.

Eetix fcanilles n'existent que dons des conditions •posent impUeitement que la proposée puisse être ormes :

onc, pour l'équation générale à 4 variables rôle que :

UJ, = 1, f,+f, + f, = o, érale à 3 variables d'ordre 3. C'est pourquoi is aussi le nom de formes canoniques.

certains cas particuliers, voir immédiatement se ramener aux formes canoniques. Notre iformée en X permet, d'ailleurs, de résoudre le cas général, en opérant comme il vient

; Ainsi, soit l'équation :

- <SXt + ^ „ «3X3 + «g. + g

a)' > o, d'où : -p # .

iode du n" 51, et en remplaçant les fonctions primitives », Xn Za^Za-Xo OU décompose : équations équivalentes contenant la variable

i^b — (g|A^ — ^i^î)xt

)L^b + (o,Aj — A,aj)xj A,a — c - (ttjAt — ■ AgqJxa Ajj —

LgC + (o^Aj — AjaJxi

X familles existent, il faut donc qu'on ait :

o, «j A, Aa

La proposée se met alors sous la forme canonique :

a,B — A,6 + (a.A^ - A.a,)x2 ^ o,G - A,c + (a^. — A.ffl.)x/ 2' Supposons 3) = o, 2J' = 0, d'où -j-^ = -p = -, -p = -j-' = -. On trouve alors directement :

H<^a, + <*!Zî) + B {^(«3X3 + 04X.) + G"

On voit ici, sans autres calculs, que, la condition d'existence-, des deux familles est X =: ;*. On a alors la forme canonique ;

°<Xi + "aXi + ^ <tàx» + °*X + c B — >.6 G — ic

116. — Examinons maintenant d'une façon plus spéciale, et surtout au point de vue du tracé des abaques les plus simples, ' les équations d'ordre 4 qui se rencontrent le plus souvent dans^ ■ la pratique. Nous considérerons tout d'abord les formes canoniques :

Puis, nous étudierons l'équation :

a + a tf, + tt = K, (3)

déjà envisagée au n" 94, et d'où l'on déduit, par la considération des fonctions inverses :

(A + /.) </■. + /.) = KAf., (3)-

e' (f. + t.) (f, + fù = MM- (3)"

Enfin nous terminerons par :

f,=hif, + f.), (4)

qu'-on peut écrire ;

équation de la forme assez fréquente :

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de réintroduire la constante de l'équation. Nous avons pris ie système D = d , Q = ft = 300, qui donne immédiatement A = 1 ,81 ■ Les positions des index en pointillé montrent que, pour h — 2,3, A :^ 1,5, D — 4,6, l'abaque donne la solution Q — 1,25,

2" Abaque à double alignement concourant. — M, d'Ocagne a construit, pour la même équation, un abaque par sa méthode du du double alignement concourant..

Si les modules sont tous positifs, la droite auxiliaire est placée entre les droites qui composent chaque groupe. Pour que, dans chaque groupe (A,I>) (A,0), les longueurs utiles soient égales, il fout qu'on ait :

pour le premier groupe :

pour le deuxième groupe :

En arrondissant ces nombres, tout en conservant les relations nécessaires :

M. d'Ocagne a adopté :

Les distances des échelles à la droite, auxiliaire sont alors telles que :

Il suffit dès lors de prendre pour /, et pour la grandeur absolue des écartements, des valeurs suivant la hauteur et la largeur de la feuille dont on dispose.

C'est ainsi qu'a été construit l'abaque que l'on trouvera à la page 226 du Traité de M. d'Ocagne.

121. — 2° Vitesse de perforation des plaques de blindage (Abaque JiXXV). — Voici, du reste, un exemple d'abaque à double alignement concourant.

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