Précisons ce qui vient d'être dit par des exemples

" ' i" Considérons l'équation à 3 varia-

bles F,23 = G. Comme nous le verrons, [ctj on peut toujours la représenter par 3 ré- >. seaux (a,), {«j), («3), tels qu'une solution de la proposée soit donnée par 3 courbes concourantes; la clef est alors la suivante : a, et a^ étant connus, n prend les courbes ayant ces cotes, et onlit la cote a, de la courbe du troisièm e réseau qui passe par leur intersection (fig. 4). Ainsi les courbes a^ du réseau (a, ) ie coupent en M, où passe la courbe c, du reconstituent donc une solution de la proposée. isieurs des valeurs pondent pas à des tracées, on opère

Fig2

L formés de droites,

)les peut aussi être

ïurbes cotées [«,] ,

une solution soit

ts en 'ligne droite

)ints a^ de la courbe [aj et h^ de la courbe

ment ABC ; soit Cj la cote du point C ; a, , b^, c^

ition de la t

tis serait tout différent si la ligne droite était îercle, ou encore par une autre courbe de sujettie à une condition simple.

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ilculs. Si l'on prolongeait cette échelle au delà de 10, [iroduirait de 10 à 100, de 100 à 1 UOO, etc., les échelons 10, lOD fois plus grands ((ig. 4-4); nous donnons une m de cette propriété au n' 68.

elle isograde, dont la graduation est régulière; par suite, ms sont irréguliers, sauf pour la fonction Ix. Les réseaux îles correspondants sont formés de droites équidistantes ; ■ra un exemple dans le quadrillage de l'abaque X.

elle linéaire générale u = - — -J"- ■ ■, avec mq ^ np. Sa gra-

leut s'établir rapidement en raison de la propriété suiute échelle linéaire dérive d'une échelle régulière quelconque par

ortnation komograpbique.

t, soit L le support de l'échelle linéaire (fig. 6). Par un point quelconque de L, menons une droite quelconque L, et portons sur L, une échelle régulière quelconque dont le point ait la cote a' de la première échelle. Les graduations, comptées à partir de 0, sont donc définies par des équations de la forme :

égulière :

coordonnées OL, OL,, les droites qui joignent même cote a ont pour équation :

iquation étant linéaire en a, toutes les droites considés concourent au point -d'intersection I des droites ;

Ainsi l'échelle L peut se déduire d'une échelle régulière L, par simple projection à partir d'un point 1.

Si l'on prend le point coté oc de l'échelle OL, et qu'on mène parlée point la parallèle à OL^, ce qui revient à joindre les points

cotés X des deux échelles, on a un lieu de 1. C'est précisément

Nous donnerons des applications de cette construction, due à M. d'Ocagne.

IV. — Familles d'abaques ; choix d'un abaque dans une famille donnée.

7. — Une équation peut, en général, être représentée par une infinité d'abaques. Ainsi J'équation F,j3— o est représentable, comme nous le verrons, par des abaques à 3 réseaux concourants, dont 2 sont arbitraires.

Ces abaques d'une même équaiion sont plus ou moins profondément distincts. Leurs véritables caractéristiques étant les équations (a») ou [at] des systèmes figuratifs, ainsi que la clef, nous dirons que les abaques qui ont même clef et dont les systèmes figuratifs correspondants ont des équations de même degré constituent une famille. Ainsi, dans l'équation considérée F,jg = o, prenons pour les 2 réseaux arbitraires les parallèles aux axes :

Le 3* réseau ;

'iï-l'h"'

est formé de courbes dont le degré est le même, quelles que soient les valeurs prises pour (^ et pour (^ : on a donc pour représenter la proposée toute une famille d'abaques qui ne sont autres que les abaques du genre cartésien.

Le nombre des familles d'abaques susceptibles de représenter une équation se limite en raison même du but qu'on se propose, qui est de fournir un moyen rapide, simple et suffisamment précis pour résoudre cette équation. 11 convient donc de ne retenir que les familles les plus simples, soit comme clef, soit comme systèmes figuratifs. Ainsi", il y aura lieu, en général, de préférer les courbes cotées aux réseaux cotés, qui s'encbevêtrent, fatiguent la vue et la patience, prêtent à des erreurs. Il convient aussi que les courbes des réseaux soient à branches uniques, sans points singuliers ; autrement la lecture en serait inexlri-

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cable. Il en est, du reste, presque toujours ainsi des formules qui synthétisent les phénomènes physiques ou mécaniques : natura non fedt scUtus.

Le choix de la famille étant fait, il s'agira de choisir ensuite, dans cette famille, l'abaque le plus propre à donner une bonne représentation de la proposée, comme disposition générale de l'épure, et principalement comme précision, dans le champ des variations usuelles de a^a:^. . . a„.

Toutes choses égales d'ailleurs, la précision des solutions données par les abaques dépend de leurs dimensions. Elle dépend aussi de la grandeur de chacun des systèmes figuratifs des diverses variables, et il convient de chercher à ce que les uns n'aient pas des dimensions exagérées, tandis que les autres auraient des dimensions exiguës : on y parvient en introduisant des paramètres arbitraires dans les équations de ces systèmes, paramètres qu'on détermine de façon à obtçnir des dimensions convenables, eu égard au champ des variations ; l'emploi des déterminants, auquel nous avons donné une grande extension, est à ce pointde vue extrêmement commode. Enlin, la précision dépend aussi de la clef : ainsi, dans un abaque à alignement composé de 3 courbes [«,], [aj, [aj, il faut que la droite qui donne les solutions coupe toujours les 3 courbes sous un angle peu aigu. De plus, Oj étant l'inconnue habituelle, la précision s e'raltmédiocre si [«g] était extérieure aux courbes [«,] et [a^] ; elle est bien supérieure si cette courbe se trouve à l'intérieur, puisque la base d'alignement est alors plus grande : c'estcequiaété fait, par exemple, pour l'abaque XI, où l'inconnue est généralement la portée lumineuse, pour l'abaque XIV, où l'inconnue est généralement la vitesse du projectile, pour l'abaque X5.V, où l'inconnue est Le volume du ballast, etc...

8, — Ce qui précède montre clairement le' double but à poursuivre en Nomographie : 1° pour une forme générale d'équation, chercher le» familles d'abaques conduisant à des systèmes figuratifs et à une clef aussi simples que possible ; 2' pour chaque cas concret, déterminer, dans l'une de ces familles, un abaque qui donne une bonne disposition et une précision suffisante eu égard au champ dans lequel évoluent les variables.

Il est impossible de formuler des règles déterminées en vue de la bonne disposiUon des abaques, qui dépend de l'habileté mathématique du constructeur. Toutefois, nous devons signaler ici deux

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10. — Practionnemeni des courbes cotées. — Il peut être avantageux de fractionner une ou plusieurs échelles, ce qui revient à remplacer un abaque unique par plusieurs abaques partiels, qu'on peut alors dessiner sur la même feuille en leur donnant de plus grandes dimensions.

Ainsi, considérons un abaque à points alignés d'une équation /■jj, = o, dans laquelle les variables usuelles sont a, et a,, et supposons [œj] fractionnée en w, tronçons, [«J fractionnée en «j tronçons. Théoriquement, il faudrait associer chacun des premiers à chacun des seconds, d'où n,n^ abaques partiels. Mais, en pratique, les valeurs usuelles de a^ °6 varient qu'entre certaines limites quand les valeurs de a^ sont comprises entre certaines valeurs, de telle sorte que le nombre des abaques partiels est notablement réduit. C'est ainsi que, si a^ varie de a^ à c^ quand a, varie de a, à c,, et si a^ varie de c^ à b^ quand a, varie de c, à 6,, on peut fractionner chacune des échelles aux points . c, et Cj, et ae prendre que deux abaques partiels.

En outre, principalement dans les abaques à échelles rectilign es, tels que les abaques hexagonaux, il arrive que lessupports des tronçons sont superposables, ce qui simplifie les tracés : on a alors une double graduation sur ces supports.

Nous donnons au numéro 58 un exemple de fractionnement pour un abaque hexagonal.

Cet artifice du fractionnement des courbes cotées est dû à M. Ch. Lallemand, qui l'a souvent employé.

Nous exposerons plus loin (93) un artifice analogue, dû à M. Ghancel, pour le fractionnement des échelles binaires.

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