II. — Abaques accolés

- 11. arrive fréquemment qu'on peut effectuer les groude façon que certaines équations ç = o contiennent

>ui- «vittr cet inconiénient qu'au n' 134 nous n'avons pas reprpsetilK lus

iques dUtincls. A l'inverse de ce qui vient d'être dit coDcemant l'introduoblés auxiliaires, nous avons, au contraire, éliminé la fonction a, introduite lème pour arriver à des relations pins simples. Cetleélimiiuitionétaitlogique, lOus a cunduil à une foi'med'équaliondonl nous savions cens Ira ire l'abaque.

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placé pair Ici résean de para^èles(a)% Oïu a aimsi,. pouic représentET~ le point P,g«, une- figure talLs que 28.

Si les 3 réseaux (2,) («3) {0:4) sont foraiés de droites, oa

KJ.S

)Sg,

pourra, par application de notre théorème duo" 86, leur substituer des courbes cotées,, et l'on aura, aina le dispositif, de la figure 28 bis.

166. — Dans le cas ftarticuUer du point à % cotes, la représentation peut toujours se faire par un sgstème de 2 réseaux,, formant échelk binaire ou isolé» suivant qu'il ecdstfi au. qu'il n'eœtste pas de relation homogène entre ^i2,fi2,^,2- -

La première partie de ce théorème résulte du précédent, comme cas particulier.

S'il n'existe pas de relation homogène entre f,^, ç,2i 'l^iai on peut éliminer successivement a^ et a^, entre :

ce qui serait d'ailleurs impossible quand la relation liomogène existe. Cette élimination donne :

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ident. Les points flgiiratifs du point l'intersection de deux courbes des

point à 2 cotes représentable par H. d'Ocagne, qui a réservé à ce et a appelé point condensé le point ort d'une échelle binaire rectiligne.

us avons tenu à donner montre :

3 coordonnées du point sont :

= ùi

entable soit par 2 réseaux isolés, ,e échelle binaire à support recti- 3, c'est-à-dire condensés sur une es trois modes de représentation lires les uns des autres, nvient, croyons-nous, d'étendre le it point dont les coordonnées sont et de réserver à chaque mode de particulière. Nous donnerons donc agne le nom significatif de point à. jpposition à réseaux formant échelle échelle binaire.

TIPLES HECTILIGNES.

est ramené, en définitive, à cher- )n de l'équation à K + 1 variables

sut dans lequel (a) est un réseau de par un abaque à alignement dans

e générale contient le réseau de multiple <f contienne la droite [a], peut néanmoins se faire. Nous en 19) avec l'équation :

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d'où ; y =3 a,

La première équation est une échelle binaire rectiligne constituée (fts- 30) par un réseau de parallèles à Oy passant à travers deux réseaux (a,) (og), La deuxième équation est constituée par un faisceau de radiantes issues du point et passant à travers deux réseaux (sj) {x^). La troisième équation est le réseau (a) cherché, formé de parallèles à Oœ.

Ainsi donc, la droite MP du réseau (a) qui correspond à des valeurs a,a:2=<3a, des Variables s'obtient ■de la façon suivante : prendre la parallèle à Oy qui passe paT le point «,«3, puis la radiante qui passe par le .point 032, ; par leur intersection M, mener MP parallèle à Ox ; MP est une droite du réseau (a), P est un point de l'échelle [a].

D'après la figure même, on voit que l'ensemble des réseaux ■cotés (oj) (bj) peut être déplacé dans la direction Oy, et que l'ensemble des réseaux (sj) («,) peut être remjtlacé par deux réseaux semblables, le centre de similitude étant 0. On évite ainsi aisément la superposition des deux groupes de réseaux cotés.

b) Soit l'éche-Ue quaternaire :

Prenons :

<i'où:

L'abaque ne diffère du précédent qu'en ce que le réseau qui passe i tmvera les Tésewux (aij) (a() est formé de droites quelconques, et non de radiantes.

c) Soient les échelles ternaires :

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qui représente la draite, à la lorme :

' \ Ih o- o i U et de poser fi~ •x.

Ainsi, nous pouvons construire un abaque à courbes cotées de l'équalion :

f=UM, + f:i,

en prenant : /"= f,f^^,

Repr«aenlon5 la preinièiPe par Tabaque à double lUgB&iaeiit en équerre résultant de la froporlâon :

et la seconde par l'abaque à double alignement en équerre du n" 131. On donne à ces abaques même échelle &, et on les accole par cette échelle (%. 52). De ce nouvel abaque, on déduit une échelle d'ordre S à courbes cotées, en posant /' = a. La construction pour déterminer le point a corres-

fi

pondant aux valeurs a;,a2...a., est la suivante :

Faire passer une branche de l'équerre par aja^, l'autre par ag, d'où |ï; faite pivoter la deuxième branche autour du point p, de manière qu'elle lisser le (transpareat SMivamt gm^, de façon elle passe aleffs par a.

passe par oc,.;

que la première branche passe par

Ces opérations sont moins longues à exécuter qu'à décrire.

164. — Dans tout ce qui précède, nous avons considéré une équation donnée F,2'--i. =^ o, et, par certains groupements, nous avons ramené cette éiiuatiou à une autre *(«, a'..., «,+,.. .3*) — o, d'un nombre moindre de variables, dont nous savons construire l'abaque.

Inversement, considérons une forme d'équation * = o, dont nous savons construire l'abaque : en y remplaçant des fonctions d'une seule variable par des &uactions 'de plusieurs variables, on

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M,3 = OT'ï>3,, et par un couple de réseaux isolés (a,) (a,,). La clef est alors la suivante : otg étant l'inconniie, on mène par le point a^a^ la parallèle à la direction a; — a de la première échelle binaire, d'où le point P,j sur le support de cette échelle ; a^aj déterminent de même le point Pg,; la droite PtjPj. coupe la courbe «g en un pointe, et la cote de la courbe du réseau («s) qui passe par ce point donne la solution.

Si les réseaux (a^) («j) (x^) {a^) sont formés de droites, on pourra les remplacer par des courbes cotées (fig. 33 bis).

165. — De ce que nous avons dit sur les points multiples, il résulte que :

i° Si la ligne :

du déterminant primitif donne lieu à une courbe cotée, le point multiple P,2...t qu'on substitue au point simple est représentahle en général par 2 échelles multiples rectilignes, c'est-à-dire par fk systèmes figuratifs cotés;

2° S'il existe une relation homogène entre f,2---it, ?)2-"*, i{'i2-"*» la ligne du nouveau déterminant donne lieu à une seule échelle multiple, rectiligne ou curviligne suivant que cette relation est ou n'est pas linéaire. Une telle relation existe toujours quand le nouveau déterminant est déduit du premier, non pas en remplaçant f; fi (jij par des fonctions quelconques à k variables, mais en

remplaçant a, par une fonction de k variables xia.i, ). En

effet, le point à k cotes :

x-SA ' " -K-/.)'

est sur la courbe ^{xy) = o qu'on obtient par l'élimination de -/ entre ces deux équations. Or, éliminer % revient à éliminer a^ : l'échelle multiple a donc pour support la courbe [a,] de l'abaque primitif;

3° Si la ligne du nouveau déterminant ne contient que 2 variables, elle donne lieu, dans tous les cas, à 2 réseaux seulement, accolés ou non à un support.

La proposée F,^-..!, ~ o étant mise sous la forme d'un déterminant, il suffira de multiplier par le déterminant S à 9 ou 12 para-

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mètres précédemment envisagé f ques homographiques de l'abaqu paramètres de S en vue d'une bor

166. — D'une façon générale, en un système d'équations ^ tables par des abaques à dignement de l'ordre nomographique de ( système figuratif d'une variablt droite ou une courbe.

Quand ce-, n'a çu'un seul système fii fondions de a-, qià entrent dans la pro linéaire. Dans le cas contraire c'est m

Si tXi a plusieurs systètnes figurali les variables «^ correspondant à chaq ci-dessus subsistera.

Ces propositions supposent, i opérer la disjonction des équat des déterminants à 3 ou 4 liant

B- APPL