ABAQUE LXIX
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Cette équation est représentable par ui formé des 3 échelles binaires mises er échelle simple fs}. Les supports de 2 quelc [s] et [L, e] par exemple, sont pérpendie ports des 2 autreS' k Oy; il n'y a, q suivant la troisième direction O2-,
M. Lallemand a décomposé les échelle suivante :
( 9, = i, logB (■!,«, =(!ft-B,logD
( y, = l,log{i + M) I IfC, = m, log L — 2I1/,
Le dernier réseau (t') n'est pas donné tion de t', puisqu'il contient S, fonction impossible de donner cette relation sou:
il est facile de construire chaque courbe 1 en joignant à x^ la relation (1), qu'on pe tion de -. :
log (1-8) *-''• log(l+î)
Considérant S comme un paramètre, e leur Ti, on obtient les coordonnées x^, y^ mètre S, ce qui permet de construire uni du réseau (t').
L'emploi de l'abaque est le suivant:
D^ et D, par les points (L, S) et (B, D), pui parent suivant D, (c'est-à-dire suivant la ( du réseau auxiliaire), jusqu'à ce que D^pa alors [i] an point cherché.
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point A„ situé en face de A„, donne la eiîet, on a bien évidemment:
0, A, + 0^ Aj + ... + (>..-, ^■ d'où : w, + «2 4- ■ ■ . + i
Gomme pour les abaques à glissement, de déterminer les points situés sur les multiples, si l'on a pris soin de constri des axes rectangulaires. Ainsi, pour réch( considérer le point d'intersection des dei
204. — Exemples : /" Règle à calcul. — L* et le plus connu est donné par la règle à on sait, pour résoudre l'équation :
d'où ; log a, -r log -x^ = log
On a, dans ce cas, 3 échelles logarithmi il sufSt, pour obtenir «,, d'amener 0^ su le point «j sur le prolongement de a^.
Inversement, si l'on cherche le quoti amène en coïncidence «^ et a^, et on lit le gement de l'origine O^.
305. — 2° Règle pour la poussée des ten soiilènement (Abaque LXX). — Nous avo l'abaque LIV de M. Renard, une règle, h permet aux entrepreneurs et conducteurs immédiatement la poussée des terres.
Reprenons l'équation :
log w + 2 log H + 2 log tg (1 — 1) ^ le — logcosj^?, — ^~0J
Choisissons le point !7 = 1, H — 10 po (sr. H), le point ^ := o, 9^ — o pour orig L'origine de l'échelle [P] est déterminée ;
log P = 2 — log 2 = log 100 —
d'où : P = 50.
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"Nous plaçons donc sur le prolf points 10 et 50 des échelles TeCtilig l'échelle mobile est alors (ç, ç,), ç ^ o, f, — o. Nous avons retourn de M. Renard, de façon que cette
La position de la réglette mobile à l'asemple déjà envisagé au ai" 171 57^ 2(, H- 4,5fn,
On amène un curseur mobile, g exactement les coïncidences, sur occupe ainsi la position indiquée ej l'origine de l'écheTlejnobile par ce le curseur de façon qu'il vienne s de T'éclielle mobile; il occupe a:
traits pleins^ On lil a:iors, à l'interst solution '3,87 t.
200. — ff* 'Régk pour la tracHo M. "Vaes a étaljH une règle à calcul Pour cela, il a rendu celte formule
(^BV»-C)
{0,0025 p+EV'') (
Les 2 échelles ûxes sont [n] et | 2 binaires (V, «), (V, p) et 1 lernai figuratifs cOtés pour 4 variables, ce Finconvénient signailé au n" 200 ; mes.
Aussi, la Tègle à calcul de M. Va dans l'article déjà cité, et dont j fragment dans son Traité, est-elle i peut d'aiîlleurs servir qu'à la dét( Notre abaque LXIII est d'une lect peut servir à déterminer une quel on connaît les 3 autres.
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/ Langenskjiild et du capitaine Lafay fui n'ont pas la forme canontqve. — On pproximativemenl l'équation :
i usuelles de a^, a^, x^. Gela revient e de la surface (1) une portion de
;inée par le colonel Langenskjôld, 5 qui donnent rapidement, et avec ante, les éléments du tir courbe (1) :
tâtonnements la forme d'une des et l'on en déduit les 2 autres.
)itaine Lafay (2) vient de substituer
permet d'obtenir l'échelle f, corrme (2), qui se rapproche le plus de envisagé. Comme il n'est fait aucune e de /",, il est souvent possible d'ues limites considérées, tout en conjffisante.
Die translation.
le plan deux droites fixes Ox, O.y
le [W[], qui est parallèle à 0^ et a les deux déplacements suivants:
L'abscisse OP, d'un quelconque de ses points M, est définie par la longueur %= 0, P, interceptée sur une échelle [uj, d'origine Og. qui se déplace ellemême sur une échelle fixe [o], à
î laquelle on peut donner par conséquent le point pour origine.
L'ordonnée P,M, est définie par la distance Oi M, du point à l'origine 0, de l'échelle [u,], et
[ue l'axe des x intercepte sur une
icolée à [«,].
Bq prenant pour origine de [uj] le point 0„ on a donc pour les coordonnées de M, :
Si, au lieu d'un tel système d'échelles mobiles [«(OjU,], on imagine 3 systèmes d'échelles mobiles analogues [u, u, uj, [u^ u^ Ug], [u, Ug u,] rapportés aux mêmes droites fixes Ox et Ot/, l'alignement des points M, M^ M, ainsi définis donne une représentation de l'équation :
ti + U, 1
est indépendante de
u, puisqu'on
li, — u.
Si les échelles sont primaires, on a ainsi une équation à 9 variables; si elles sont binaires, on a une équation à 18 variables, etc.
De même, en considérant 4 systèmes, le double alignement parallèle des points M, M„ M^ M,, donne un abaque de l'équation :
à là variables si les échelles sont primaires, à â4 variables si les échelles sont binaires, etc.
Remarque. — Quand Uj ne diflere de «, que par la substitution des variables 0^,0,11 >i^ . . - aux variables a^, »„,, «,, . . . , les
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deux échelles sont identiques, etily a ïïeu de n'en tracer qu'une seule, qui sert à la fois pour les V '^' points P, et M,.
209. — Exemple ; Résolution des équations trinômes à exposants quel- - Soit l'équatio n :
Eg.i
a; où a est l'inconnue. On peut
l'écrire ;
log s — log m.— jj. log z = o, qui donne immédiatement :
Ilog s — log m [A 1
log s 1 I ""'
log s — log m lA 1
log Z — log 1 1 1
C'est une équation de la forme précédente, qu'on peut représenter (fig. 43) par l'abaque suivant. Soit une échelle régulière tracée sur Oa:. Le point s de la première ligne est donné par une échelle logarithmique mobile qui passe par le point n de Ox, sa cote m venant en [j.. Le point s de la deuxième ligne est donné par une échelle logarithmique identique, mais fixe, qui passe par le point 1 de Oj;, sa cote 1 étant en ce point 1. Le point de la troisième ligne est l'origine 0. Par suite l'alignement Os donne la solution z.
Comme l'a remarqué M. d'Ocagne, cet exemple donne le principe de l'ingénieuse machine inventée par M. L. Torres (1) pour résoudre les équations trinômes à exposants quelconques. En effet, ces équations peuvent être ramenées à la forme ;
Posons s = ms'^.
(1) M. d'Ocagnea analjsé une autre machine très remarquabledeM. Torres, qui donne ion seulement les racines réelles, mais aussi les racines imaginaires des éqttatioi» algéiriques de. degré quelconque {Génie Civil, 1898). .
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Traçons (^g. 44) une échelle régulière et, perpendiculairement à cette échelle régulière : 1° une échelle logarithmique fixe [a] dont la cote 1 est au point 1 de l'échellerégulière ; 2" deux échelles logarithmiques identiques à la précédente, mais susceptibles de deux déplacements, l'un de façon que ces échelles passent respectivement par les points [^ et v de l'échelle régulière, l'autre de façon que leurs cotes m et n viennent chacune en i* et en t. Cela étant, pour avoir les solutions s, on fera pivoter une droite autour de de façon à obtenir s±t=i suivant qu'on a le signe + ou le signe — dans la proposée. La position de la droite est facile à déterminer, à cause de la continuité des fonctions s + t et s — t.
La position des échelles mobiles de la figure 44 correspond au cas de l'équation :
ri ■ -î
Fig.
L'alignement donne s = 0,55.
Remarque. — Si l'on ne possède pas un appareil à échelles mobiles et qu'on ait à résoudre une équation trinôme à exposants quelconques, on opérera rapidement comme suit :
Porter sur une droite, à partir d'un point 0, des longueurs l, /|ji, k, le module l étant choisi suivant la précision qu'on désire; par ces points faire passer 3 droites parallèles D, l)[i Dv ; construire exactement sur le bord d'une feuille de papier l'échelle
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lue [Lj entre \ et 10, à une grandeur suffisante, puis iur les droites D^ et Dv de façon que les cotes 10*m, prises entre 1 et 10, coïncident avec les points i|j. et h ; s positions, marquer les cotes 1 et 10, puis les cotes . , . , 0,1, 0,01 ... en portant la longueur de l'échelle 6 et à gauche des points 1 des 3 échelles D, B^, Dy; , par la continuité de sait, quelles sont les régions ;s D^ et Dv que doit traverser l'index pour qu'on ait reporter la graduation de [L] dans ces deux régions et tracer alors exactement la position de l'index.
