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Un mouvement de plans a pour but de changer les conditions d'emploi d'un abaque, soit afin d'en rendre l’utilisation plus commode, soit plus généralement afin de permettre de prendre d’autres variables comme inconnues. Il ne peut s'effectuer que dans certaines conditions, au sujet desquelles nous donnerons plus loin quelques indications.
La notion de mouvement de plans étant acquise, on conçoit immédiatement que des formes différentes puissent se ramener les unes aux autres par des modifications apportées à l'ordre de positionnement des plans, suivies d'aménagements convenables dans l’ordre de succession horizontal des contacts.
Des formes qui peuvent se ramener les unes aux auires par des
mouvements de plans suivis de reclassements horizontaux des contacts
seront dites FORMES EQUIVALENTES.
On remarquera que le seul facteur intéressant, dans l'opération qui permet de ramener l'une à l’autre deux formes équivalentes, est le mouvement des plans. Le reclassement des contacts ne présente qu'un intérêt de pure forme car il n'affecte que la présentation des schémas et aucunement leurs propriétés.
C'est pourquoi nous considérons comine identiques les formes que l’on peut ramener les unes aux autres en modifiant simplement l’ordre de succession des contacts et il sera toujours sous-entendu, quand nous parlerons de mouvement de plans, que cette dénomination inclut l'opération secondaire de reclassement des contacts.
Exécutions des mouvements de plans.
Tout mouvement de plans dans une forme peut être décomposé en une succession d'opérations partielles consistant chacune à déplacer #» seul plan vers le bas (en avant) ou vers le haut (en arrière).
Au cours de ces changements, des éléments qui dans la forme se trouvent sur une même verticale restent sur cette verticale, puisque des éléments qui participent à un même contact avant le mouvement participent encore à ce contact quand le mouvement est terminé. Seule la nature des éléments (primaire ou secondaire) change quand la position relative de deux éléments est modifiée.
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Un mouvement de plans est dès lors facile à exécuter. On choisit une nouvelle disposition de plans 4 priori et on place les éléments des contacts sur les nouveaux alignements, sans modifier leur nature quand la position relative des éléments n'est pas changée, en transformant l'élément primaire en élément secondaire et vice versa quand la position relative des deux éléments est inversée par le mouvement.
Pour qu'un mouvement présente un intérêt pratique il faut évidemment que le nouveau schéma auquel il conduit présente encore la structure d'une forme. Ce n'est pas toujours le cas.
Mouvements de plans et résolution.
L'étude des conditions de mouvement des plans présente un intérêt fondamental, car c'est de ces conditions que dépend la possibilité, pour certaines variables représentées dans un abaque, d'être prises pour inconnues.
Nous avons vu, en effet, que seules peuvent être déterminées les variables dont les éléments représentatifs appartiennent au dernier plan ou forment contact avec des éléments de ce plan. Et cette simple remarque montre que le problème du mouvement des plans et celui de la résolution sont intimement liés.
Nous mettrons en évidence ici quelques propriétés du mouvement des plans et nous montrerons ultérieurement, dans un paragraphe eonsacré à la résolution, les incidences que peuvent avoir les conditions de mouvement des plans sur les conditions d'utilisation des abaques constitués par ces plans.
Conditions de mouvement des plans.
L'étude du mouvement des plans peut s'appuyer sur les lemmes suivants :
LEMME I. — Tout mouvement de plans effectué dans une forme ne peut affecter que la nature des éléments, c'est-à-dire transformer des éléments primaires de contact en éléments secondaires et inversement.
La répartition des éléments entre les différents plans et l'ordre de conjugaison des divers couples de plans ne sont pas modifiés.
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LEMME I — Dans les plans que l’on déplace vers le bas, les seules modifications qui peuvent se produire sont des transformations d'éléments primaires en éléments secondaires, dans les plans que l’on déplace vers le haut, des transformations d'éléments secondaires en éléments primaires.
La propriété résulte immédiatement de ce qu’un élément primaire n'a aucun élément au-dessus de Jui et un élément secondaire aucun élément au-dessous de lui.
LEMME I. — Les transformations envisagées dans le lemme précédent ne peuvent se produire, pour un plan qui descend, que quand il passe sur un de ses plans conjugués et, pour un plan qui monte, que quand il passe sur un plan dont il est conjugué.
En effet les transformation n'intéressent que des éléments se trouvant deux à deux sur une même verticale. Ces éléments forment contact
entre eux et appartiennent toujours à des plans conjugués.
LEMME IV. — A chaque transformation de la nature d'un élément dans un plan en mouvement correspond, dans le plan sur lequel
il passe au moment du changement, une transformation inverse.
LEMME V. — Le nombre des transformations correspondant à un changement de position relative de deux plans est égal à l’ordre de conjugaison de ces plans.
LEMME VI. — Les transformations résultant de mouvements donnés de différents plans dépendent seulement des positions initiales et finales des plans et non de la nature des mouvements effectués pour
passer de la configuration initiale à la configuration finale.
Sur chaque verticale en effet la nature des éléments est déterminée par leurs positions relatives. Ces positions ne dépendent que de l'ordre
de succession des plans.
Nous pouvons dès lors préciser par les théorèmes donnés ci-après
quelques propriétés des mouvements de plans, et en particulier les con-
