LENS
ditions dans lesquelles certains plans à quatre éléments peuvent être
amenés en dernière position.
THEOREME I. — Tout plan appartenant à une forme complète à contacts tangentiels peut être déplacé arbitrairement dans la zone limitée vers le bas par son premier plan conjugué, vers le haut par le dernier plan * dont il est conjugué.
Soit en effet le mouvement d’un plan dans la zone considérée. Ce mouvement n'entraîne, en vertu du lemme IT, aucun changement quant à la nature des éléments du plan déplacé car il ne modifie pas la position relative de ce plan par rapport aux plans avec lesquels il est conjugué.
COROLLAÏRE. — On peut toujours permuter entre eux deux plans voisins qui ne Sont pas conjugués.
THEOREME II. — Un plan ne peut généralement pas être dé: placé en dehors de la zone définie dans l'énoncé du théorème 1 sans
entraîner le mouvement d'autres plans de la forme.
Le déplacement d'un plan vers le bas, en passant en-dessous d'un ou de plusieurs plans qui lui sont conjugués, transforme des éléments primaires du plan en mouvement en éléments secondaires (en vertu des lemmes IT et IT).
De même le transport d'un plan vers le haut, au-dessus d'un ou de plusieurs plans dont il est conjugué, transforme dans ce plan des éléments secondaires en éléments primaires.
Dans les deux cas la structure normale — 3 éléments secondaires, sauf si le plan en mouvement devient le premier ou le dernier plan de la forme (voir exceptions ci-dessous) — ne peut être éventuellement rétablie que par le mouvement d'un ou de plusieurs autres plans de la forme.
EXCEPTIONS. — Les deux premiers plans peuvent toujours être
* En considérant successivement les plans de haut en bas dans la représentation schématique.
ie
permutés entre-eux. Il en est de même pour les deux derniers si l’avantdernier plan est un plan à quatre éléments.
THEOREME II. — Un plan donné ne peut généralement pas être amené au-dessous d'un ensemble de plans qui lui sont conjugués et tels que la somme des ordres de conjugaison correspondants soit supérieure à IOIs.
En effet, le passage d’un plan sur des plans qui lui seraient conjugués et tels que la somme des ordres de conjugaison correspondants soit supérieure à trois, ferait apparaître dans ce plan, en vertu des lemmes Il, III et V, des éléments secondaires dont le nombre serait, lui aussi, supérieur à trois.
Ces éléments secondaires ne pourraient pas être retransformés en éléments primaires par d’autres mouvements. Ils devraient donc tous subsister dans le plan, ce qui est impossible sauf dans le cas d’un plan à quatre éléments amené en dernière position (voir exception ci-après).
EXCEPTION. — Dans le seul cas où le plan donné est le premier plan de l’abaque et comporte quatre éléments, la somme définie plus haut peut être égale à quatre * sans qu'il en résulte a priori une impossibilité pour ce plan d’être amené en dernière position.
THEOREME IV. — Un plan donné ne peut généralement pas être amené au-dessus d'un ensemble de plans dont il est conjugué et tels que la somme des ordres de conjugaison correspondants soit supérieure au nombre d'éléments primaires du plan.
La propriété résulte immédiatement de ce que le mouvement considéré transforme en éléments primaires, dans le plan que l'on déplace et en vertu des lemmes II, III et V, des éléments secondaires dont le nombre correspond chaque fois à l'ordre de conjugaison des plans audessus desquels on passe.
Il faut dès lors que, par d’autres mouvements de plans, on puisse redonner au plan considéré les éléments secondaires dont il a été privé (voir exceptions ci-après).
* Le plan doit bien être initialement le premier plan de l'abaque, car sinon il ne pourrait avoir qu'un seul plan conjugué avec un ordre de conjugaison égal à un.
Ces éléments ne pourront provenu que d'éléments primaires préexistant dans le plan et qui doivent donc bien, dans le cas général, être en nombre au moins égal au nombre des éléments secondaires
disparus.
EXCEPTIONS. — Le théorème ne s'applique évidemment pas au passage éventuel au-dessus du premier plan, un plan amené en seconde position pouvant toujours être permuté avec le plan de tête.
D'autre part le dernier plan ne possède pas d'élément primaire mais peut cependant être amené au-dessus d’un plan dont il serait conjugué, à condition que l’ordre de conjugaison soit égal à l'unité.
REMARQUE. — On peut généraliser facilement les théorèmes qui précèdent et les étendre au mouvement de groupes de plans que l'on
déplacerait d'un seul bloc.
THEOREME V. — Tout plan à quatre éléments qui est relié par une chaîne de conjugués successifs à quatre éléments au dernier plan
de l’abaque *, peut être amené en dernière bosition.
Soit K un plan à quatre éléments, situé dans le corps de l’abaque, et pour lequel la condition est satisfaite.
Amenons le plan K en dernière position.
Le plan K n'ayant qu'un élément primaire n'a qu'un seul plan conjugué. Soit L ce plan.
Le passage de K sur L entraîne, en vertu des lemmes II, III et IV, la transformation de l'élément primaire de K en élément secondaire et, dans Z, la transformation d'un élément secondaire en élément primaire. Le mouvement n'a pas d'incidence sur les autres plans.
A partir de ce moment le plan K, comportant quatre éléments secondaires, présente bien le caractère d'un dernier plan et sa position est déterminée par rapport aux plans qui précèdent. Mais l’ensemble des plans ne présente plus la structure d'un abaque car le plan L, qui ne comporte plus que deux éléments secondaires, ne peut plus être fixé.
* Nous entendons par là que ce plan a un conjugué qui est lui-même un plan à quatre éléments, lequel à son tour a comme conjugué un nouveau plan à quatre éléments et ainsi de suite, le dernier conjugué de la série étant le dernier plan de la forme,
HT
Rejetons le plan L en avant-dernière position, donc au-dessus du plan K, et soit M le conjugué unique de L.
Le passage de L sur M entraine la transformation d’un élément primaire de Z en élément secondaire et dans M, la transformation d’un élément secondaire en élément primaire.
Tous les plans peuvent alors être fixés, sauf M. Ce plan est à son tour rejeté contre le plan L et l'on continue ainsi pour les conjugués successifs jusqu'à ce que l'on aboutisse à un plan P dont le conjugué soit le dernier plan Q de la forme (considérée dans son état primitif).
Le rejet du plan P contre le plan O, déplacé immédiatement avant lui, fait passer P sur Q. Ce mouvement rétablit dans P une structure normale en y transformant un élément primaire en élément secondaire, tandis que dans le plan Q un des quatre éléments secondaires devient primaire, ce qui confère à ce plan le caractère de plan intermédiaire dont il doit maintenant jouer le rôle.
Dès ce moment tous les plans peuvent être positionnés et le plan K se trouve bien en dernière position.
COROLLAIRE. — S; à partir d'un plan de rang p d'un abaque à n plans les (n — p) plans restants sont des plans à quatre éléments,
ces plans peuvent tous être amenés en dernière position.
Pour chacun des (n — p}) plans considérés la condition énoncée dans le théorème est satisfaite.
En effet un quelconque de ces plans ne peut avoir qu'un conjugué ; ce conjugué est nécessairement un des plans à quatre éléments qui suivent. Ce plan, à son tour, a pour conjugué un plan à quatre éléments se trouvant après lui, et ainsi de suite. Et la chaîne ne peut se terminer qu'à un conjugué qui est le dernier plan de l’abaque.
Les plans considérés peuvent dès lors, en vertu du théorème, être
tous amenés en dernière position.
REMARQUE. — La démonstration du théorème V donne la marche à suivre pour déterminer l’ordre de succession des plans qui permet de placer en dernière position un des plans visés par le théorème ou par
son corollaire.
Il suffit de rabattre au-dessous du dernier plan de l'abaque, en inversant leur ordre de succession, les plans impliqués dans les conjugaisons successives à partir du plan que l'on désire amener en dernière position.
La figure 10 donne, à titre d'exemple, un abaque à cinq plans dans lequel les plans II, IV et V (forme supérieure) répondent aux conditions du théorème. Le plan II a été amené en dernière position (forme inférieure) moyennant adoption de l'ordre 1 — III — V — IV — II de succession des plans.
Critères d'équivalence
Il est évidemment intéressant de pouvoir reconnaître par un examen direct l'équivalence de formes données, sans devoir rechercher s'il est possible de les ramener les unes aux autres par des mouvements
de plans.
Nous donnerons trois critères G’équivaience, basés respectivement
sur l'examen :
1° — de la répartition des éléments entre les différents plans ; 2° — du groupement des contacts dans les formes ; 3° — du groupement des éléments dans les plans.
Attirons l'attention sur le fait que ces critères ne constituent pas des critères complets, sauf dans les conditions particulières qui seront précisées. Leur emploi n'en restera cependant pas moins utile en dehors de ces conditions car il permettra de limiter les recherches par transformation effective des formes aux seuls cas douteux.
Critère de la répartition des éléments.
Le critère de la répartition des éléments est basé sur cette constatation évidente, que /e nombre des éléments d'un plan reste invariable quand on déplace ce plan dans la forme à laquelle 1] appartient ou
quand on déplace d'autres plans dans cette forme.
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Pour que des formes distinctes puissent être ramenées les unes aux autres il est donc nécessaire que la répartition des éléments entre les plans, abstraction faite de l’ordre de succession de ces plans, soit identique.
On vérifie facilement que la condition n’est généralement pas suffisante. À des répartitions identiques ne correspondent pas nécessairement des formes équivalentes, sawf dans le cas particulier des abaques à trois plans * (Voir plus loin : Etude des formes à trois plans).
On peut dès lors énoncer le critère de la répartition des éléments sous la forme suivante :
Etant donné deux formes tangentielles complètes à n plans indépendants :
1° — Si la répartition des éléments entre les plans est différente,
les deux formes ne sont pas équivalentes ;
2° — Si la répartition des éléments est identique avec n —3, les
deux formes sont équivalentes ;
3° — Si la répartition des éléments est identique avec n > 3, on
ne peut rien affirmer.
En pratique le critère est d'application immédiate. On associe à chaque plan un nombre égal à celui des éléments qu'il comporte. Ces nombres doivent se retrouver, abstraction faite de leur ordre de succession, dans toutes les formes pour lesquelles la répartition des éléments est identique.
On conviendra de représenter cette répartition par la suite des nombres d'éléments, placés entre tirets, et écrits dans leur ordre de succession décroissante sans tenir compte de la position relative des plans
correspondants.
Critère du groupement des contacts.
Le critère du groupement des contacts est basé sur la propriété
* Nous excluons évidemment le cas des abaques tangentiels complets à Zezx plans, pour lesquels il n'existe qu'une seule forme. Le problème de l'équivalence ne se pose pas à leur sujet.
