ENTRE
Détermination du champ de pleine lumière. — Les dimensions de notre petit miroir ne nous permettent pas d'utiliser toute la surface de nos plaques. Déterminons en effet le champ de pleine lumière, dans le plan focal virtuel. La courbe qui le limite n’est pas un cercle. Elle est fournie par la solution du problème suivant :
Trouver, dans ce plan, le lieu des points P tels que les cônes, admettant P pour sommet et pour directrices respectives les bords du grand et du petit miroir, soient tangents.
Les données analytiques sont, en prenant comme origine le centre du cercle de base du grand miroir, l'axe optique pour axe des 3 , et des axes ox et oy évidents : :
== (6) Cercle de base du grand miroir : (G ercle de ba u gran iroir ) leon / \ x—=2—h Petit miroir : (c) à \ ; | DE Te ee te NS Pniocal virtuels 20)
La solution purement analytique conduit à des équations ME: compliquées : elles contiennent en même temps le problème
Ir 4 du champ total (cônes tangents extérieurement) (1).
L'important pour nous n'est pas tellement de connaître Ve ia l'équation de la courbe ; il nous suffira de pouvoir la consme truire, et il est tout indiqué, pour cela, de recourir à la géométrie descriptive. Mais une épure ne permet pas, à elle. seule, d'obtenir une précision suffisante, à cause de la disproportion qui existe entre les dimensions r et . Pour représenter la projection verticale, il faudrait donner à la projection
horizontale des proportions lilliputiennes. (Dans la figure 4, nous avons triché sur les cotes). La méthode suivante, migraphique mi-numérique, semble la plus commode :
Soient, dans le plan focal virtuel, £ ,n, les coordonnées d'un point P répondant à la question. La génératrice de
contact des deux cônes coupe en 77 le petit miroir et en M le
Fig. 4. — Soluti hi NT 2 ; Le :
S RS nr grand miroir. Soit (D) la droite d'intersection des plans des (Les cotes ne correspondent pas aux données)
Le tracé de l’ellipse (e) est inutile cercles (c) et (C)\. C'est une droite de bout, sur laquelle se coupent les tangentes respectives à (C) en M et à (c)en m.
La projection du cercle {c) sur le plan des xy est l’ellipse : (e) D'ÉRETEr
Son cercle générateur est :
(1) On peut par exemple procéder ainsi : soit (a) la conique intersection avec le plan du petit miroir du cône variable ayant pour sommet un point du plan focal et s'appuyant sur le grand miroir. On forme l'équation aux À de la conique variable (a) et du cercle limitant le petit miroir. En exprimant que cette équation a une racine double, on obtient la relation cherchée entre é et n - Elle est du 8e degré, mais doit se décomposer en deux courbes du 4° degré, l’une courbe du champ total, l'autre courbe du champ de pleine lumière. Une épure faite
dans un cas graphiquement possible, fournit pour cette dernière une ovale à faible dissymétrie.
Te
Nous pouvons prendre, comme représentations paramétriques du cercle (C) et de l'ellipse (e) :
& | x=R cos q
| y=Rsine
= r sind
cos Ÿ
La solution graphique consiste à mener la tangente GT en un point G du cercle (g) , d'où l’on déduit la tangente correspondante Tm au point m1 de l'ellipse (e). Elle coupe la droite (D) en un point D d'où l'on mène la tangente DM au cercle (C). La droite Mm est la projection horizontale de la génératrice de contact. Sa projection verticale M'm' coupe le plan focal en P’, dont la projection horizontale P fournit les coordonnées £ , n cherchées.
Mais, dans la pratique, la droite (D) est très loin, et, si l'on veut représenter le cercle (C) à une échelle suffsante, l’épure devient impossible. Il est préférable de déterminer numériquement la relation entre les anomalies & et Ÿ.
La tangente en M au cercle (C) a pour équation : X COS FT y Sin 9 R —0 De même, la tangente en "m à l'ellipse (e) : \ x V/2 cos Ÿ + y sin Ÿ —r—=0
En écrivant que l'abscisse de leur point d'intersection est + h , on obtient la relation :
h cos o —R h V2 cos Ÿ —r
sin ® sin Ÿ
Cette relation permet d'établir un tableau de correspondance entre & et , , que représentent les courbes de la figure s. L'épure permet ensuite de déterminer la projection horizontale My de la génératrice de contact.
ol” lé taus
__hcosZ—R h 42 cos Y — 2
Fig. s. — Relation entre ® et Y : k 5 :
sin @ sin Ÿ
La projection verticale M'm' s'en déduit, ainsi que le point P°, par des calculs élémentaires de triangles semblables. On marque sur la projection horizontale Mn le point P correspondant à l'abscisse 5 du point P', eton
en déduit n. Sur la figure 6, nous avons représenté la détermination de a courbe point par point, pour les génératrices correspondant aux angles 9 0, ? — 30°, ? — 60° etc... Le carré représente la plaque photographique. On constate qu’elle n'est pas tout entière dans le champ de pleine lumière.
Fig. 6
Vérification expérimentale. — On peut estimer, en examinant le faisceau réfléchi, le moment où il commence à être entamé par le petit miroir. On peut prendre un certain nombre de photographies d'une même étoile dans de telles positions (fig. 7). Pour les images extrêmes il y a un accord tout à fait satisfaisant avec les résultats précédents. Il faut noter que l'estimation n'est pas très précise, et qu il existe un léger décalage dû à l'effet d'œil de chat du grand miroir, qui ampute légèrement le cône lumi-
neux. Néanmoins, 4 des 8 images viennent se placer à peu près exactement sur la courbe théorique. Quant à la partie centrale, elle est décalée par l'apparition de l'ombre de la monture du petit miroir.
Fig,07
Conclusions. — Le problème posé par la question du champ de pleine lumière dans le cas du télescope newtonien demanderait à être traité d'une manière plus complète ; cette étude serait utile pour déterminer certaines données de construction de l'instrument. Elle doit s'étendre au calcul de la perte de lumière à mesure qu'on s'écarte de la courbe limite. Dans certains cas une perte au bord peut être tolérée, mais on a souvent intérêt à la connaître à
priori. Les mêmes formules s'appliquent d'une manière générale aux systèmes optiques comportant des diaphragmes inclinés à 45° sur l'axe.
— MIO 1e
[ci i: s'agissait uniquement de déterminer les conditions d'emploi de notre télescope. et nous connaissons un tracé pratique de la courbe limite. La région à gauche de cette courbe correspond à la partie de la plaque située hors du champ de pleine lumière. Elle varie avec l'orientation du cliché dans le champ, comme le montre la figure 8. Une
Fig. 8. — Effet de l'angle de position de la plaque
autre portion de la courbe tombe dans la région opposée de la plaque. Mais elle est plus près du bord, et ce n'est pas la peine de la tracer. En effet, nous négligerons dans nos mesures photométriques toute la partie de la plaque susceptibie de tomber hors du champ de pleine lumière. Le champ se trouve ainsi restreint, mais son calibrage photométrique admet la symétrie de révolution (1), ce qui évite des corrections inextricables. Les effets énumérés page 7 sont en même temps rendus négligeables. Nous verrons d’ailleurs que, pour diminuer certaines causes d'erreurs, il faut se garder de faire des mesures près des bords des clichés.
Petit miroir elliptique. — Supposons le petit miroir elliptique de sorte que sa projection sur le plan des x y Soit le cercle :
sin sin Ÿ
Problème inverse. — Cherchous maintenant la forme à donner au petit miroir, ainsi que son emplacement,
pour que le champ de pleine lumière admette la symétrie de révolution. Soit p le rayon du champ de pleine lumière, supposé circulaire, dans le plan focal.
Un point limite a pour coordonnées :
| n = p sin Ô
Considérons le cône de sommet (£.n) et s’ appuyant sur le cercle de base du grand miroir. Cherchons l'enveloppe de l'intersection de ce cône (variable lorsque le point de coordonnées £ et n parcourt le cercle de rayon p),
avec le plan :
